平面向量的概念
一、向量的概念及几何表示
1．向量的概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量．
2．向量的表示
(1)有向线段
具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．
以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度，记作||.
(2)向量的表示
①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||.
②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，)．
二、零向量和单位向量
向量名称 定义
零向量 长度为0的向量，记作0
单位向量 长度等于1个单位长度的向量
反思感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题．
三、相等向量与共线向量
平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量；向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行
相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b
反思感悟 相等向量与共线向量的探求方法
(1)相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
(2)共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
考点一 向量与数量的区别
【例1】(2020·全国高一)下列各量中是向量的是( )
A．时间 B．速度 C．面积 D．长度
【答案】B
【解析】既有大小，又有方向的量叫做向量；时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．
而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．故选：．
【练1】(2021·全国高三专题练习)给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移. 正确的是 ( )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
【答案】D
【解析】由物理知识可得：密度，温度，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量；而速度、位移既有大小又由方向，因此是向量．选D．
考点二 向量的几何表示
【例2】(2020·全国高一专题练习)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求 的模．
【答案】(1)见解析；(2)米
【解析】(1)作出向量，，；如图所示：
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，
所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，
所以AD＝＝(米)，所以|米.
【练2】(2020·全国高一课时练习)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且.
(1)画出所有的向量；
(2)求的最大值与最小值．
【答案】(1)见解析；(2)最大值为，最小值为.
【解析】(1)画出所有的向量，如图所示：
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值=；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值=；
所以||的最大值为，最小值为．
考点三 相等向量与共线向量
【例3】(2020·全国)如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形.
(1)图中与共线的向量有________；
(2)图中与相等的向量有________；
(3)图中与模相等的向量有_________________；
(4)图中与是______向量(填“相等”或“不相等”)；
(5)与相等吗？
【答案】(1)，，(2)(3)，，，(4)相等(5)不相等
【解析】根据题意得，(1)图中与共线的向量为、、；
(2)与相等的向量有；
(3)图中与模相等的向量有，，，；
(4)相等；
(5)与不相等；
故答案为：(1)，，(2)(3)，，，(4)相等(5)不相等
【练3】(2020·全国高一课时练习)如图所示，在等腰梯形中，，对角线交于点，过点作，交于点，交BC于点N，则在以，，为起点和终点的向量中，相等向量有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】B
【解析】由题，故相等向量有两对故选：B
考法四 平面向量概念的区分
【例4】(2020·天津静海区·高一学业考试)下列关于向量的结论：(1)任一向量与它的相反向量不相等；(2)向量与平行，则与的方向相同或相反；(3)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量与同向，且，则.其中正确的序号为( )
A．(1)(2) B．(2)(3) C．(4) D．(3)
【答案】D
【解析】零向量与它的相反向量相等，故(1)错误；
当向量为零向量时，其方向是任意的，不能说与的方向相同或相反，故(2)错误；
相等向量是方向相同且模相等的向量，故(3)正确；
向量是既有大小又有方向的量，向量只能相等，不能比较大小，故(4)错误.
故选：D.
【练4】(2021·武汉市)下列说法中，正确的个数是( )
①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量与不共线，则与都是非零向量( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】①时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①错误；
②零向量的模为零，故②错；
③相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故③正确；
④零向量与任意向量都共线，因此若向量与不共线，则与都是非零向量，即④正确.
故选：B.
课后习题
（2021高二上·安徽月考）已知平行六面体 的各棱长均为 ， ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【考点】向量的模，向量加减混合运算及其几何意义，平面向量数量积的运算
【解析】由已知可得 ， ，
，
所以， ，所以 .
故答案为：A.
【分析】首先由数量积公式结合题意计算出 ， 再由向量的加减运算以及向量模的公式，代入数值计算出结果即可。
（2021·玉溪模拟）已知向量 ， 的夹角为120°， ，则 （ ）
A. B. C. 7 D. 13
【答案】 A
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由 可得
，
所以 ．
故答案为：A．
【分析】结合向量模的性质得到 ， 利用数量积的运算性质结合已知条件把数值代入到上式计算出结果即可求出向量模的值。
（2021高一下·石景山期末）已知向量 的夹角为 ，则 （ ）
A. 4 B. 2 C. D. 1
【答案】 D
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算
【解析】由 ，得 ，即 ，则 ，解得 （舍去）或 ，
故答案为：D.
【分析】 根据向量的数量积和向量的模计算即可.
（2021高二上·龙江期中）若向量 ， ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】 C
【考点】向量的模
【解析】因为 ，所以 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合三角形法则和向量的坐标运算，从而求出向量的坐标，再结合向量的模的坐标表示，从而求出向量的模。
（2021高二上·子洲开学考）已知向量 ，向量 满足 的夹角为 ，则
A.
B.2
C.
D.
【答案】 A
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算
【解析】由题意可得： ，
则： .
故答案为：A.
【分析】 由已知的坐标求出,然后直接代入数量积公式求解.
（2021·新乡模拟）已知向量 ， ，则当 时， .
【答案】
【考点】向量的模
【解析】【解答】由已知 ，解得 ，
所以 ．
故答案为： ．
【分析】根据向量模的定义进行计算即可。
（2021·菏泽模拟）设 为单位向量，且 则 ．
【答案】
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算
【解析】由已知 ， ，
所以 ．
故答案为： ．
【分析】 根据 为单位向量，对 两边平方，进行数量积的运算即可求出 ，然后根据 即可求出 的值．
（2021高一下·湖北期末）已知 ， ，且 ，则 的坐标为 ．
【答案】 或
【考点】向量的模，平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】设向量 ，因为 ， ，且 ，
可得 ，即 ，解得 或 ，
即向量 的坐标为 或 。
故答案为： 或 。
【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示结合向量的模的坐标表示，从而求出向量 的坐标 。
（2021高一下·南安期中）已知向量 ， 夹角为 ， ， ，则 .
【答案】
【考点】向量的模，平面向量数量积的性质及其运算律
【解析】因为向量 ， ，夹角为 ， ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
【分析】将 化为 , 然后再由模及夹角就可以求解。
（2020高一上·贵港期末）已知向量 ，则 （ ）
A. 3 B. 6
C. 10 D. 5
【答案】 D
【考点】向量的模，平面向量的坐标运算
【解析】因为向量 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：D
【分析】 求出 的坐标，再根据平面向量模的公式，求出 的值即可.
（2021高一下·桂林期末）已知向量 ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 ．
【答案】 （1） ， .
解得 .
（2） ， .
所以 ，解得 .
.从而 .
【考点】向量的模，平面向量共线（平行）的坐标表示，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】（1）根据向量平行的坐标表示求解即可；
（2）根据向量垂直的坐标表示，结合向量的模求解即可.
（2021高一下·大理期中）向量 ，
（1）求向量 的模长；
（2）若向量 ，且 ，求实数 的值．
【答案】 （1） ， ．
（2） ，且 ，
∴ ．
【考点】向量的模，平面向量的坐标运算，平面向量数量积的运算
【解析】 (1)由向量模的坐标公式结合题意计算出结果即可。
(2)根据题意由数量积的坐标公式代入数值计算出k的值即可。
（2021高一下·通化期中）已知非零向量 ， 满足| |＝1，且( － )·( ＋ )＝ ．
（1）求| |；
（2）当 · ＝ 时，求向量 与 的夹角 q 的值．
【答案】 （1）因为
所以 ，即
因为 ，所以
（2）
因为 ，所以
【考点】向量的模，向量加减混合运算及其几何意义，数量积表示两个向量的夹角
【解析】（1）由向量的运算法则直接求解即可；
（2）由向量的夹角公式直接求解即可.
（2021高一下·通州期末）已知向量 ．
（1）求向量 的模的取值范围；
（2）从条件①： ，②： 这两个条件中选择一个作为条件，求向量 与 夹角的余弦值．（注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】 （1） ，则 ， ，
故 ，故 .
（2）若选择条件①： ， ，
则 ，即 ，即 ， ，
故 .
， ，故 .
若选择条件②： ， ，
则 ，即 ， ， ，
故 或 ，故 或 .
当 时， ， ，故 .
当 时， ， ，故 .
综上所述：当 时， 或 .
【考点】向量的模，平面向量的坐标运算，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，数量积表示两个向量的夹角
【解析】 (1)根据题意由向量模的坐标公式，计算出再由余弦函数的性质即可得出向量模的取值范围。
(2) 若选择条件① 由共线向量的坐标公式代入数值计算出 ， 由此得出角然后再由夹角的数量积坐标公式计算出结果即可。 若选择条件② ，根据数量积的坐标公式代入数值计算出
由此得到角的大小再由夹角的数量积公式计算出结果即可。平面向量的概念
一、向量的概念及几何表示
1．向量的概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量．
2．向量的表示
(1)有向线段
具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．
以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度，记作||.
(2)向量的表示
①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||.
②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，)．
二、零向量和单位向量
向量名称 定义
零向量 长度为0的向量，记作0
单位向量 长度等于1个单位长度的向量
反思感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题．
三、相等向量与共线向量
平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量；向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行
相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b
反思感悟 相等向量与共线向量的探求方法
(1)相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
(2)共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
考点一 向量与数量的区别
【例1】(2020·全国高一)下列各量中是向量的是( )
A．时间 B．速度 C．面积 D．长度
【练1】(2021·全国高三专题练习)给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移. 正确的是 ( )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
考点二 向量的几何表示
【例2】(2020·全国高一专题练习)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求 的模．
【练2】(2020·全国高一课时练习)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且.
(1)画出所有的向量；
(2)求的最大值与最小值．
考点三 相等向量与共线向量
【例3】(2020·全国)如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形.
(1)图中与共线的向量有________；
(2)图中与相等的向量有________；
(3)图中与模相等的向量有_________________；
(4)图中与是______向量(填“相等”或“不相等”)；
(5)与相等吗？
【练3】(2020·全国高一课时练习)如图所示，在等腰梯形中，，对角线交于点，过点作，交于点，交BC于点N，则在以，，为起点和终点的向量中，相等向量有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
考法四 平面向量概念的区分
【例4】(2020·天津静海区·高一学业考试)下列关于向量的结论：(1)任一向量与它的相反向量不相等；(2)向量与平行，则与的方向相同或相反；(3)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量与同向，且，则.其中正确的序号为( )
A．(1)(2) B．(2)(3) C．(4) D．(3)
【练4】(2021·武汉市)下列说法中，正确的个数是( )
①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量与不共线，则与都是非零向量( )
A． B． C． D．
课后习题
（2021高二上·安徽月考）已知平行六面体 的各棱长均为 ， ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
（2021·玉溪模拟）已知向量 ， 的夹角为120°， ，则 （ ）
A. B. C. 7 D. 13
（2021高一下·石景山期末）已知向量 的夹角为 ，则 （ ）
A. 4 B. 2 C. D. 1
（2021高二上·龙江期中）若向量 ， ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（2021高二上·子洲开学考）已知向量 ，向量 满足 的夹角为 ，则
A.
B.2
C.
D.
（2021·新乡模拟）已知向量 ， ，则当 时， .
（2021·菏泽模拟）设 为单位向量，且 则 ．
（2021高一下·湖北期末）已知 ， ，且 ，则 的坐标为 ．
（2021高一下·南安期中）已知向量 ， 夹角为 ， ， ，则 .
（2020高一上·贵港期末）已知向量 ，则 （ ）
A. 3 B. 6
C. 10 D. 5
（2021高一下·桂林期末）已知向量 ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 ．
（2021高一下·大理期中）向量 ，
（1）求向量 的模长；
（2）若向量 ，且 ，求实数 的值．
（2021高一下·通化期中）已知非零向量 ， 满足| |＝1，且( － )·( ＋ )＝ ．
（1）求| |；
（2）当 · ＝ 时，求向量 与 的夹角 q 的值．
（2021高一下·通州期末）已知向量 ．
（1）求向量 的模的取值范围；
（2）从条件①： ，②： 这两个条件中选择一个作为条件，求向量 与 夹角的余弦值．（注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分）
精讲答案
【例1】
【答案】B
【解析】既有大小，又有方向的量叫做向量；时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．
而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．故选：．
【练1】
【答案】D
【解析】由物理知识可得：密度，温度，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量；而速度、位移既有大小又由方向，因此是向量．选D．
【例2】
【答案】(1)见解析；(2)米
【解析】(1)作出向量，，；如图所示：
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，
所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，
所以AD＝＝(米)，所以|米.
【练2】
【答案】(1)见解析；(2)最大值为，最小值为.
【解析】(1)画出所有的向量，如图所示：
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值=；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值=；
所以||的最大值为，最小值为．
【例3】
【答案】(1)，，(2)(3)，，，(4)相等(5)不相等
【解析】根据题意得，(1)图中与共线的向量为、、；
(2)与相等的向量有；
(3)图中与模相等的向量有，，，；
(4)相等；
(5)与不相等；
故答案为：(1)，，(2)(3)，，，(4)相等(5)不相等
【练3】
【答案】B
【解析】由题，故相等向量有两对故选：B
【例4】
【答案】D
【解析】零向量与它的相反向量相等，故(1)错误；
当向量为零向量时，其方向是任意的，不能说与的方向相同或相反，故(2)错误；
相等向量是方向相同且模相等的向量，故(3)正确；
向量是既有大小又有方向的量，向量只能相等，不能比较大小，故(4)错误.
故选：D.
【练4】
【答案】B
【解析】①时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①错误；
②零向量的模为零，故②错；
③相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故③正确；
④零向量与任意向量都共线，因此若向量与不共线，则与都是非零向量，即④正确.
故选：B.
练习答案
1.【答案】 A
【考点】向量的模，向量加减混合运算及其几何意义，平面向量数量积的运算
【解析】由已知可得 ， ，
，
所以， ，所以 .
故答案为：A.
【分析】首先由数量积公式结合题意计算出 ， 再由向量的加减运算以及向量模的公式，代入数值计算出结果即可。
2.【答案】 A
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由 可得
，
所以 ．
故答案为：A．
【分析】结合向量模的性质得到 ， 利用数量积的运算性质结合已知条件把数值代入到上式计算出结果即可求出向量模的值。
3.【答案】 D
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算
【解析】由 ，得 ，即 ，则 ，解得 （舍去）或 ，
故答案为：D.
【分析】 根据向量的数量积和向量的模计算即可.
4.【答案】 C
【考点】向量的模
【解析】因为 ，所以 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合三角形法则和向量的坐标运算，从而求出向量的坐标，再结合向量的模的坐标表示，从而求出向量的模。
5.【答案】 A
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算
【解析】由题意可得： ，
则： .
故答案为：A.
【分析】 由已知的坐标求出,然后直接代入数量积公式求解.
6.【答案】
【考点】向量的模
【解析】【解答】由已知 ，解得 ，
所以 ．
故答案为： ．
【分析】根据向量模的定义进行计算即可。
7.【答案】
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算
【解析】由已知 ， ，
所以 ．
故答案为： ．
【分析】 根据 为单位向量，对 两边平方，进行数量积的运算即可求出 ，然后根据 即可求出 的值．
8.【答案】 或
【考点】向量的模，平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】设向量 ，因为 ， ，且 ，
可得 ，即 ，解得 或 ，
即向量 的坐标为 或 。
故答案为： 或 。
【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示结合向量的模的坐标表示，从
而求出向量 的坐标 。
9.【答案】
【考点】向量的模，平面向量数量积的性质及其运算律
【解析】因为向量 ， ，夹角为 ， ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
【分析】将 化为 , 然后再由模及夹角就可以求解。
10.【答案】 D
【考点】向量的模，平面向量的坐标运算
【解析】因为向量 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：D
【分析】 求出 的坐标，再根据平面向量模的公式，求出 的值即可.
11.【答案】 （1） ， .
解得 .
（2） ， .
所以 ，解得 .
.从而 .
【考点】向量的模，平面向量共线（平行）的坐标表示，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】（1）根据向量平行的坐标表示求解即可；
（2）根据向量垂直的坐标表示，结合向量的模求解即可.
12.【答案】 （1） ， ．
（2） ，且 ，
∴ ．
【考点】向量的模，平面向量的坐标运算，平面向量数量积的运算
【解析】 (1)由向量模的坐标公式结合题意计算出结果即可。
(2)根据题意由数量积的坐标公式代入数值计算出k的值即可。
13.【答案】 （1）因为
所以 ，即
因为 ，所以
（2）
因为 ，所以
【考点】向量的模，向量加减混合运算及其几何意义，数量积表示两个向量的夹角
【解析】（1）由向量的运算法则直接求解即可；
（2）由向量的夹角公式直接求解即可.
14.【答案】 （1） ，则 ， ，
故 ，故 .
（2）若选择条件①： ， ，
则 ，即 ，即 ， ，
故 .
， ，故 .
若选择条件②： ， ，
则 ，即 ， ， ，
故 或 ，故 或 .
当 时， ， ，故 .
当 时， ， ，故 .
综上所述：当 时， 或 .
【考点】向量的模，平面向量的坐标运算，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，数量积表示两个向量的夹角
【解析】 (1)根据题意由向量模的坐标公式，计算出再由余弦函数的性质即可得出向量模的取值范围。
(2) 若选择条件① 由共线向量的坐标公式代入数值计算出 ， 由此得出角然后再由夹角的数量积坐标公式计算出结果即可。 若选择条件② ，根据数量积的坐标公式代入数值计算出
由此得到角的大小再由夹角的数量积公式计算出结果即可。
