沪科版数学七年级下册6.1.1平方根 同步练习
一、单选题
1．（2022七下·辛集期末）下列计算正确的是（ ）
A．＝±4 B．±＝3 C． D．＝﹣3
【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：A．＝4，不符合题意；
B．±＝±3，不符合题意；
C．，符合题意；
D．＝3，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用平方根、算术平方根和二次根式的性质逐项判断即可。
2．（2022七下·崇川期末）已知正方形的面积是17，则它边长的长度在（ ）
A．5与6之间 B．4与5之间 C．3与4之间 D．2与3之间
【答案】B
【知识点】平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a，
∵正方形的面积是17，
故答案为：B．
【分析】设正方形的边长为a，根据正方形的面积为17列方程求解，再根据平方根的定义估算a的范围即可.
3．下列各数，3.14，，，-0.2020020002…（它的位数无限且相邻两个“2”之间“0”的个数依次加1个），，中，无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】立方根及开立方；无理数的概念；分数指数幂
【解析】【解答】解：∵，，，
∴无理数有，-0.2020020002…（它的位数无限且相邻两个“2”之间“0”的个数依次加1个），共3个；
故答案为：B.
【分析】根据立方根的概念可得=-2，根据分数指数幂的运算性质以及幂的乘方法则可得，然后根据无限不循环小数叫做无理数进行判断.
4．（2022七上·萧山期中）若，，且，则的值是（ ）
A．1或7 B．-1或7 C．1或-7 D．-1或-7
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；平方根；有理数的减法法则
【解析】【解答】解： ， ，
， .
，
当 ，则 不存在；
当 ，则 或 ，此时 或-1.
故答案为：D.
【分析】根据绝对值的概念可得a=±4，根据平方根的概念可得b=±3，结合a+b<0可得a=-4，b=3或-3，然后根据有理数的减法法则进行计算.
5．（2022七下·承德期末）如图，把两个边长均为1的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A．1 B．1.5 C． D．
【答案】C
【知识点】平方根；正方形的性质
【解析】【解答】解：大正方的面积等于2个小正方形的面积，小正方形的面积为1，
大正方形的面积等于2，
设大正方形的边长为，则，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】设大正方形的边长为，则，再求出a的值即可。
二、填空题
6．（2022七上·柯桥期中）已知一个数的两个平方根分别是a+2和a-18，则这个数是 .
【答案】10
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵一个数的两个平方根分别是a+2和a-18，
∴a+2＝-（a-18），
∴a＝8，
∴a+2＝8+2＝10，
∴这个数是10.
故答案为：10.
【分析】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0，建立方程，求解可得a的值，进而根据如果一个数的平方等于x，这个数就是x的平方根，可求出这个数.
7．（2022七下·西城期末）在等式中，（ ）内的数等于 ．
【答案】2或-12
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴=2或-12，
故答案为：2或-12．
【分析】根据平方根的意义可得，据此分别求解即可.
8．（2022七上·镇海期中）如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为 ．
【答案】1-
【知识点】算术平方根；无理数在数轴上表示
【解析】【解答】∵正方形ABCD的面积为5，
∴AE=AE=
∴点E表示的数是1-.
故答案为：1-
【分析】利用正方形的面积，可求出正方形的边长，点E在数轴上的负半轴，可得到点E表示的数.
9．（2022七上·义乌期中）任何实数，可用[]表示不超过的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对87进行如下操作：87[]＝9[]＝3[]＝1，这样对87只需进行3次操作后变为1，类似的：（1）对15只需进行 次操作后变为1；（2）只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
【答案】2；65535
【知识点】算术平方根；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：2
∵，，，，，
∴只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是65535
∴.
故答案为：65535.
【分析】（1）根据 任何实数，可用[]表示不超过的最大整数，对15进行操作，可得答案.
（2）要想确定进行4次操作后变为1的所有正整数，可知第三次操作后根号内的数不能大于4，第三次操作时，根号内的数必须小于16，第二次操作时根号内的数必须小于256，由此可得到第一次操作的数，据此可得答案.
三、计算题
10．（2022七下·成都月考）求下列各式的值
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】算术平方根；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方法则可得(±13)2=169，然后根据平方根的概念进行计算；
（2）根据有理数的乘方法则可得(±8)2=64，然后根据算术平方根的概念进行计算；
（3）根据有理数的乘方法则可得(±)2=，然后根据算术平方根的概念进行计算；
（4）直接根据二次根式的性质化简即可.
四、综合题
11．（2022七上·余姚期中）已知|a|=5，b2=4，c是-2的倒数，d是的整数部分．
（1）若a＜b，求a+b的值；
（2）若abc＞0，求a-3b-2c+d的值．
【答案】（1）解：∵ |a|=5，b2=4
∴a=±5，b=±2，
∵a＜b，
∴a=-5，b=±2
当a=-5，b=2时，a+b=-5+2=-3；
当a=-5，b=-2时，a+b=-5-2=-7；
∴a+b的值为-3或-7
（2）解： c是-2的倒数，d是的整数部分，
∴ ，
∵，
∴d=2；
∵abc＞0，
∴当a=-5，b=2时，
当a=5，b=-2时
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数；有理数的加减乘除混合运算的法则；平方根；无理数的估值
【解析】【分析】（1）利用绝对值的性质和平方根的性质可求出a，b的值，再根据a＜b，可得到a=-5，b=±2；再分别求出当a=-5，b=2时和当a=-5，b=-2时的a+b的值.
（2）利用 c是-2的倒数，可求出c的值，利用估算无理数的大小，可求出d的值；再根据 abc＞0 ，分情况讨论：当a=-5，b=2时；当a=5，b=-2时；分别代入代数式进行计算，可求出结果.
12．（2020七上·拱墅期中）
（1）如果 是 的整数部分， 是 的小数部分，求 的平方根.
（2）当 为何值时，关于 的方程 的解与方程 的解互为相反数.
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴x=6，y= ，
∴ =9，
∴ 的的平方根为±3；
（2）解： ，
解得：x=-9，
∴ 的解为x=9，代入，
得 ，
解得：m=-4.
【知识点】平方根；无理数的估值；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）利用估算无理数的大小的方法，分别求出x，y的值，然后将x，y的值代入代数式进行计算，再求出此代数式的平方根.
（2）先求出方程 的解，再将x的值代入方程5m+4x=7+x，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
13．（2020七下·沙河口期末）一个长方形的长宽之比为 ，面积为 .
（1）求长方形的长与宽.
（2）将这个长方形的长减少 ，宽增加 后，就成为一个正方形，并且它与原来的长方形的面积相等，请判断 的大小，并说明理由.
【答案】（1）解：设长方形的长 为，则宽为 ，
由题可得： ，
化简得： ，
解得： ，
答：长方形的长为 ，宽为
（2）解： ，
理由如下：
由题意得 ，
解得： ，
，
∵ ，
∴ ，即
【知识点】算术平方根；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1） 设长方形的长 为，则宽为 ， 根据长方形的面积计算方法建立方程，求解即可；
（2）长方形变为正方形时面积相等及两邻边相等建立方程组，可求解.
14．（2022七上·苍南期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
(1)，
(2)，
(3)，
(4).
（1）观察算式规律，计算 ； .
（2）用含正整的式子表示上述算式的规律： .
（3）计算：.
【答案】（1）7；21
（2）
（3）解：
.
【知识点】算术平方根；实数的运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1），，
故答案为：7，21；
（2）用含正整的式子表示上述算式的规律：；
故答案为：；
【分析】（1）由于根号具有括号的作用，先含加减乘除混合运算的运算顺序计算根号内的被开方数，再根据算术平方根的定义化简即可；
（2）通过观察发现，左边式子的被开方数是：等式序号×（序号+4）+4，右边是等式序号+2，据此规律即可得出第n个等式表示为： ；
（3）利用（2）发现的规律将每一个加数化简，再从左至右每两项一组结合进行计算，确定“-1”的个数，即可计算得出答案.
15．（2020七下·巩义期末）有一块正方形钢板，面积为16平方米.
（1）求正方形钢板的边长.
（2）李师傅准备用它裁剪出一块面积为12平方米的长方形工件，且要求长宽之比为 ，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由.（参考数据： ， ）.
【答案】（1）解： 正方形的面积是16平方米，
正方形钢板的边长是 米；
（2）解：设长方形的长宽分别为 米、 米，
则 ，
，
，
， ，
长方形长是 米，而正方形的边长为4米，所以李师傅不能办到.
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】（1）根据正方形边长与面积间的关系求解即可；
（2）设长方形的长宽分别为 米、 米，由其面积可得x值，比较长方形的长和宽与正方形边长的大小可得结论.
16．（2021七下·西丰期中）已知关于的方程组的解为．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：把代入得，
，
①+②得
把代入①得，，
，
；
（2）解：由（1）得，，
所以的平方根是．
【知识点】平方根；二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将代入可得，再利用加减消元法求解二元一次方程组即可；
（2）将a、b的值代入，再根据平方根的性质求解即可。
17．（2022七上·富阳期中）如图，每个小正方形的边长均为1．
（1）图中阴影部分的面积是 ；阴影部分正方形的边长a是 .
（2）估计边长a的值在两个相邻整数 与 之间.
（3）我们知道π是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此π的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用(π－3)表示它的小数部分.设边长a的整数部分为x，小数部分为y，求(x－y)的相反数.
【答案】（1）13；
（2）3；4
（3）解：∵a=，
∴x=3，y= -3，
∴x-y=6 - ，
∴（x-y）的相反数是 -6.
【知识点】算术平方根；无理数的估值；列式表示数量关系；实数的相反数
【解析】【解答】解：（1） 阴影部分的面积=5×5-4××2×3=13，
∴阴影部分正方形的边长a=，
故答案为：13；；
（2）∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
故答案为：3；4；
【分析】 （1）利用阴影部分的面积=总面积-4个直角三角形的面积，即可得出阴影部分的面积 ；
再根据正方形的边长=面积的算术平方根，即可得出阴影部分正方形的边长a；
（2）根据估算无理数大小的方法，即可得出答案；
（3）先求出x，y的值，再计算出x-y的值，即可得出答案.
1 / 1沪科版数学七年级下册6.1.1平方根 同步练习
一、单选题
1．（2022七下·辛集期末）下列计算正确的是（ ）
A．＝±4 B．±＝3 C． D．＝﹣3
2．（2022七下·崇川期末）已知正方形的面积是17，则它边长的长度在（ ）
A．5与6之间 B．4与5之间 C．3与4之间 D．2与3之间
3．下列各数，3.14，，，-0.2020020002…（它的位数无限且相邻两个“2”之间“0”的个数依次加1个），，中，无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2022七上·萧山期中）若，，且，则的值是（ ）
A．1或7 B．-1或7 C．1或-7 D．-1或-7
5．（2022七下·承德期末）如图，把两个边长均为1的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A．1 B．1.5 C． D．
二、填空题
6．（2022七上·柯桥期中）已知一个数的两个平方根分别是a+2和a-18，则这个数是 .
7．（2022七下·西城期末）在等式中，（ ）内的数等于 ．
8．（2022七上·镇海期中）如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为 ．
9．（2022七上·义乌期中）任何实数，可用[]表示不超过的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对87进行如下操作：87[]＝9[]＝3[]＝1，这样对87只需进行3次操作后变为1，类似的：（1）对15只需进行 次操作后变为1；（2）只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
三、计算题
10．（2022七下·成都月考）求下列各式的值
（1）
（2）
（3）
（4）
四、综合题
11．（2022七上·余姚期中）已知|a|=5，b2=4，c是-2的倒数，d是的整数部分．
（1）若a＜b，求a+b的值；
（2）若abc＞0，求a-3b-2c+d的值．
12．（2020七上·拱墅期中）
（1）如果 是 的整数部分， 是 的小数部分，求 的平方根.
（2）当 为何值时，关于 的方程 的解与方程 的解互为相反数.
13．（2020七下·沙河口期末）一个长方形的长宽之比为 ，面积为 .
（1）求长方形的长与宽.
（2）将这个长方形的长减少 ，宽增加 后，就成为一个正方形，并且它与原来的长方形的面积相等，请判断 的大小，并说明理由.
14．（2022七上·苍南期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
(1)，
(2)，
(3)，
(4).
（1）观察算式规律，计算 ； .
（2）用含正整的式子表示上述算式的规律： .
（3）计算：.
15．（2020七下·巩义期末）有一块正方形钢板，面积为16平方米.
（1）求正方形钢板的边长.
（2）李师傅准备用它裁剪出一块面积为12平方米的长方形工件，且要求长宽之比为 ，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由.（参考数据： ， ）.
16．（2021七下·西丰期中）已知关于的方程组的解为．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
17．（2022七上·富阳期中）如图，每个小正方形的边长均为1．
（1）图中阴影部分的面积是 ；阴影部分正方形的边长a是 .
（2）估计边长a的值在两个相邻整数 与 之间.
（3）我们知道π是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此π的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用(π－3)表示它的小数部分.设边长a的整数部分为x，小数部分为y，求(x－y)的相反数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：A．＝4，不符合题意；
B．±＝±3，不符合题意；
C．，符合题意；
D．＝3，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用平方根、算术平方根和二次根式的性质逐项判断即可。
2．【答案】B
【知识点】平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a，
∵正方形的面积是17，
故答案为：B．
【分析】设正方形的边长为a，根据正方形的面积为17列方程求解，再根据平方根的定义估算a的范围即可.
3．【答案】B
【知识点】立方根及开立方；无理数的概念；分数指数幂
【解析】【解答】解：∵，，，
∴无理数有，-0.2020020002…（它的位数无限且相邻两个“2”之间“0”的个数依次加1个），共3个；
故答案为：B.
【分析】根据立方根的概念可得=-2，根据分数指数幂的运算性质以及幂的乘方法则可得，然后根据无限不循环小数叫做无理数进行判断.
4．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；平方根；有理数的减法法则
【解析】【解答】解： ， ，
， .
，
当 ，则 不存在；
当 ，则 或 ，此时 或-1.
故答案为：D.
【分析】根据绝对值的概念可得a=±4，根据平方根的概念可得b=±3，结合a+b<0可得a=-4，b=3或-3，然后根据有理数的减法法则进行计算.
5．【答案】C
【知识点】平方根；正方形的性质
【解析】【解答】解：大正方的面积等于2个小正方形的面积，小正方形的面积为1，
大正方形的面积等于2，
设大正方形的边长为，则，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】设大正方形的边长为，则，再求出a的值即可。
6．【答案】10
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵一个数的两个平方根分别是a+2和a-18，
∴a+2＝-（a-18），
∴a＝8，
∴a+2＝8+2＝10，
∴这个数是10.
故答案为：10.
【分析】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0，建立方程，求解可得a的值，进而根据如果一个数的平方等于x，这个数就是x的平方根，可求出这个数.
7．【答案】2或-12
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴=2或-12，
故答案为：2或-12．
【分析】根据平方根的意义可得，据此分别求解即可.
8．【答案】1-
【知识点】算术平方根；无理数在数轴上表示
【解析】【解答】∵正方形ABCD的面积为5，
∴AE=AE=
∴点E表示的数是1-.
故答案为：1-
【分析】利用正方形的面积，可求出正方形的边长，点E在数轴上的负半轴，可得到点E表示的数.
9．【答案】2；65535
【知识点】算术平方根；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：2
∵，，，，，
∴只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是65535
∴.
故答案为：65535.
【分析】（1）根据 任何实数，可用[]表示不超过的最大整数，对15进行操作，可得答案.
（2）要想确定进行4次操作后变为1的所有正整数，可知第三次操作后根号内的数不能大于4，第三次操作时，根号内的数必须小于16，第二次操作时根号内的数必须小于256，由此可得到第一次操作的数，据此可得答案.
10．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】算术平方根；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方法则可得(±13)2=169，然后根据平方根的概念进行计算；
（2）根据有理数的乘方法则可得(±8)2=64，然后根据算术平方根的概念进行计算；
（3）根据有理数的乘方法则可得(±)2=，然后根据算术平方根的概念进行计算；
（4）直接根据二次根式的性质化简即可.
11．【答案】（1）解：∵ |a|=5，b2=4
∴a=±5，b=±2，
∵a＜b，
∴a=-5，b=±2
当a=-5，b=2时，a+b=-5+2=-3；
当a=-5，b=-2时，a+b=-5-2=-7；
∴a+b的值为-3或-7
（2）解： c是-2的倒数，d是的整数部分，
∴ ，
∵，
∴d=2；
∵abc＞0，
∴当a=-5，b=2时，
当a=5，b=-2时
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数；有理数的加减乘除混合运算的法则；平方根；无理数的估值
【解析】【分析】（1）利用绝对值的性质和平方根的性质可求出a，b的值，再根据a＜b，可得到a=-5，b=±2；再分别求出当a=-5，b=2时和当a=-5，b=-2时的a+b的值.
（2）利用 c是-2的倒数，可求出c的值，利用估算无理数的大小，可求出d的值；再根据 abc＞0 ，分情况讨论：当a=-5，b=2时；当a=5，b=-2时；分别代入代数式进行计算，可求出结果.
12．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴x=6，y= ，
∴ =9，
∴ 的的平方根为±3；
（2）解： ，
解得：x=-9，
∴ 的解为x=9，代入，
得 ，
解得：m=-4.
【知识点】平方根；无理数的估值；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）利用估算无理数的大小的方法，分别求出x，y的值，然后将x，y的值代入代数式进行计算，再求出此代数式的平方根.
（2）先求出方程 的解，再将x的值代入方程5m+4x=7+x，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
13．【答案】（1）解：设长方形的长 为，则宽为 ，
由题可得： ，
化简得： ，
解得： ，
答：长方形的长为 ，宽为
（2）解： ，
理由如下：
由题意得 ，
解得： ，
，
∵ ，
∴ ，即
【知识点】算术平方根；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1） 设长方形的长 为，则宽为 ， 根据长方形的面积计算方法建立方程，求解即可；
（2）长方形变为正方形时面积相等及两邻边相等建立方程组，可求解.
14．【答案】（1）7；21
（2）
（3）解：
.
【知识点】算术平方根；实数的运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1），，
故答案为：7，21；
（2）用含正整的式子表示上述算式的规律：；
故答案为：；
【分析】（1）由于根号具有括号的作用，先含加减乘除混合运算的运算顺序计算根号内的被开方数，再根据算术平方根的定义化简即可；
（2）通过观察发现，左边式子的被开方数是：等式序号×（序号+4）+4，右边是等式序号+2，据此规律即可得出第n个等式表示为： ；
（3）利用（2）发现的规律将每一个加数化简，再从左至右每两项一组结合进行计算，确定“-1”的个数，即可计算得出答案.
15．【答案】（1）解： 正方形的面积是16平方米，
正方形钢板的边长是 米；
（2）解：设长方形的长宽分别为 米、 米，
则 ，
，
，
， ，
长方形长是 米，而正方形的边长为4米，所以李师傅不能办到.
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】（1）根据正方形边长与面积间的关系求解即可；
（2）设长方形的长宽分别为 米、 米，由其面积可得x值，比较长方形的长和宽与正方形边长的大小可得结论.
16．【答案】（1）解：把代入得，
，
①+②得
把代入①得，，
，
；
（2）解：由（1）得，，
所以的平方根是．
【知识点】平方根；二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将代入可得，再利用加减消元法求解二元一次方程组即可；
（2）将a、b的值代入，再根据平方根的性质求解即可。
17．【答案】（1）13；
（2）3；4
（3）解：∵a=，
∴x=3，y= -3，
∴x-y=6 - ，
∴（x-y）的相反数是 -6.
【知识点】算术平方根；无理数的估值；列式表示数量关系；实数的相反数
【解析】【解答】解：（1） 阴影部分的面积=5×5-4××2×3=13，
∴阴影部分正方形的边长a=，
故答案为：13；；
（2）∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
故答案为：3；4；
【分析】 （1）利用阴影部分的面积=总面积-4个直角三角形的面积，即可得出阴影部分的面积 ；
再根据正方形的边长=面积的算术平方根，即可得出阴影部分正方形的边长a；
（2）根据估算无理数大小的方法，即可得出答案；
（3）先求出x，y的值，再计算出x-y的值，即可得出答案.
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