沪科版数学七年级下册6.1平方根、立方根 同步练习
一、单选题
1．（2022七上·衢州期中）下列说法正确的是（ ）
A．9的算术平方根是±3 B．-8没有立方根
C．-8的立方根-2 D．8的立方根是±2
2．（2022七上·苍南期中），，则的值是（ ）
A．1或15 B．-1或-15 C．1或-15 D．-1或15
3．（2022七下·中山期末）一个正方体的体积为63，则它的棱长a的取值范围是（ ）
A．3＜a＜4 B．4＜a＜5 C．7＜a＜8 D．8＜a＜9
4．（2022七下·西山期末）如果的算术平方根是2，27的立方根是，则（ ）
A． B．1 C． D．3
5．（2022七上·柯桥期中）如图为洪涛同学的小测卷，他的得分应是（ ）
姓名：洪涛 得分：？. 填空（每小题25分，共100分） ①2的相反数是-2. ②倒数等于本身的数是1. ③8的立方根是2， ④的平方根是±2.
A．25分 B．50分 C．75分 D．100分
6．（2022七上·上城期中）实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022七下·凉山期末）下列说法正确的有（ ）
（ 1 ）带根号的数都是无理数；（2）立方根等于本身的数是0和1；（3）﹣a一定没有平方根；（4）实数与数轴上的点是一一对应的；（5）两个无理数的差还是无理数；（6）若面积为3的正方形的边长为a，a一定是一个无理数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
8．（2022七下·广安期末）若 的平方根是 ， 的立方根是2，则 的算术平方根是 ．
9．（2022七上·宁海期中）若=3，且（y-2x+1）2+=0，则x+y+z的值为 ．
10．（2022七上·金东期中）有一个数值转换器，其流程如图所示：
当输入的值是64时，则输出的值是 .
11．（2022七下·亭湖期末）在数学学习中，我们常把数或表示数的字母与图形结合起来，著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”.如图是由四个长为a，宽为b的长方形拼摆而成的正方形，其中a＞b＞0，若ab=3，a+b=4，则a-b的值为 .
三、计算题
12．（2022七下·云阳期中）计算：
（1）
（2）4x2－16＝0
四、作图题
13．（2021七上·嵊州期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中.
（1）求 .
（2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形.
五、解答题
14．（2022七上·鄞州月考）一个正方体的体积是16cm3，另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的边长及其表面积．
六、综合题
15．（2021七下·永吉期中）若8的立方根是a，b的算术平方根是3，m的两个平方根分别是5和n．
（1）求的平方根；
（2）求的立方根．
16．（2022七上·苍南期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
(1)，
(2)，
(3)，
(4).
（1）观察算式规律，计算 ； .
（2）用含正整的式子表示上述算式的规律： .
（3）计算：.
17．（2022七下·椒江期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”.
例如：-9，-4，-1这三个数， ， ， ，其结果6，3，2都是整数，所以-1，-4，-9这三个数称为“完美组合数”.
（1）-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由.
（2）若三个数-3，m，-12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值.
18．（2021七上·文登期末）本学期第四章《实数》中，我们学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即 ，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即 ，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
表示方法 正数a的平方根可以表示为“ ” 一个数a的立方根可以表示为“ ”
今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根．
（类比探索）
（1）探索定义：填写下表
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：
．
（2）探究性质：
① 的四次方根是 ；② 的四次方根是 ；
③ 的四次方根是 ；④ 的四次方根是 ；
⑤ 的四次方根是 ；⑥ （填“有"或"“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：
；
（3）在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个： ．
（拓展应用）
① ；
② ；
③比较大小： ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：A、9的算术平方根是3，故A不符合题意；
B、-8的立方根为-2，故B不符合题意；
C、-8的立方根为-2，故C符合题意；
D、8的立方根是2，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用正数的算术平方根只有一个，可对A作出判断；利用任何数都立方根，可对B作出判断；利用正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，可对C，D作出判断.
2．【答案】B
【知识点】立方根及开立方；有理数的加法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：，
，
又，
，
当，时，，
当，时，，
故答案为：B.
【分析】根据有理数乘方及立方根的定义可得a=±7，b=-8，然后分两种情况，根据有理数的加法法则算出答案.
3．【答案】A
【知识点】立方根及开立方；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵一个正方体的体积为63，它的棱长a
∴，
，
，
，
，
即3＜a＜4，
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
4．【答案】A
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：的算术平方根是2，
，
，
27的立方根是，
，即，
，
．
故答案为：A．
【分析】根据算术平方根和立方根求出a和b的值，再求解即可。
5．【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数；平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：①2的相反数是-2，故本小题正确；
②倒数等于本身的数是±1，故本小题错误；
③8的立方根是2，故本小题正确；
④=4，4的平方根是±2，故本小题正确.
故答案为：C.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可判断①；根据乘积为1的两个数互为倒数，可判断②；如果x3=a，则x是a的立方根，据此判断③；如果x2=a（x＞0），则x是a的算术平方根，据此先化简=4，再根据x2=a，则x是a的平方根，据此再求4的平方根，从而可判断④.
6．【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；算术平方根；整式的加减运算
【解析】【解答】解：由数轴知： ， ，
，
原式
.
故答案为：A.
【分析】根据数轴上的点所表示数的特点可知c＜0，b＜0＜a ，从而根据有理数的减法法则判断出b-a的正负，进而根据绝对值的性质及二次根式的性质分别化简，再合并同类项即可.
7．【答案】B
【知识点】平方根；立方根及开立方；无理数的概念
【解析】【解答】解：(1) 带根号的数不一定是无理数，如，不是无理数，错误；
(2)立方根等于本身的数是0、1和-1，错误；
(3) 当a≤0时，﹣a有平方根，错误；
(4) 实数与数轴上的点是一一对应的，正确；
(5) 两个无理数的差不一定是无理数，如+1-=1是有理数，错误；
(6) 若面积为3的正方形的边长为a，则a=，是一个无理数，正确．
综上所述，正确的有2个.
故答案为：B.
【分析】根据无理数的概念、立方根与平方根的定义、实数与数轴的关系逐个判断，即可作答.
8．【答案】
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解： ∵ 的平方根是 ，
∴x-2=4，
∴x=6，
∵ 的立方根是2，
∴y+7=8，
∴y=1，
∴ ，
∴ 的算术平方根是.
故答案为： .
【分析】先根据平方根的定义求出x的值，再根据立方根的定义求出y值，然后代值求 ，最后根据算术平方根的定义解答即可.
9．【答案】83
【知识点】立方根及开立方；二次根式的定义；偶次方的非负性；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵＝3，
∴，
根据题意得：，
解得：，
则．
故答案为：83.
【分析】根据已知条件可得x=27，由偶次幂的非负性以及二次根式的定义可得y-2x+1=0、z-3=0，结合x的值可得y、z的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
10．【答案】
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；无理数的概念
【解析】【解答】解：64的算术平方根为：，是有理数，
8的立方根为：，是有理数，
2的算术平方根为：是无理数，
∴ 当输入x的值是64时，则输出的y值是.
故答案为：.
【分析】根据算术平方根的定义可知64的算术平方根是8，是有理数，进而根据立方根的定义求出8的立方根是2，是有理数，故再求2的算术平方根即可.
11．【答案】2
【知识点】平方根；完全平方公式的几何背景；数学常识
【解析】【解答】解：由图可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴.
故答案为：2.
【分析】根据大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积建立等式，然后代值计算，结合a>b，即可求出a-b的值.
12．【答案】（1）解：原式=
=-1-1+2-+3
=3-；
（2）解：4x2－16＝0
4x2=16
x2＝4
x=.
【知识点】平方根；立方根及开立方；实数的运算
【解析】【分析】（1）先算乘方和开方运算，同时化简绝对值；再进行合并，可得答案.
（2）先移项，再将x2的系数化为1，然后利用平方根的性质，可求出x的值.
13．【答案】（1）10
（2）解：边长为的正方形，则面积为，
则每个三角形的面积为，
则作图如下：
.
【知识点】算术平方根；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：10；
【分析】（1）观察图形可知阴影部分的面积=大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列式计算即可.
（2）观察图形可知大正方形的面积为16，所画出的正方形的面积为13，由此可求出每一个直角三角形的面积为3，因此可得到直角三角形的两直角边的长为2和3，然后画出边长为的正方形.
14．【答案】解：∵一个正方体的体积是16cm3，另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，
∴另一个正方体的体积为16×4=64，
∴另一个正方体的边长为；
其表面积为4×4×6=96.
答：另一个正方体的边长为4cm，其表面积为96cm2
【知识点】立方根及开立方；几何体的表面积
【解析】【分析】利用已知条件：另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，可求出另一个正方体的体积，利用正方体的体积等于边长的立方，可求出另一个立方体的边长；然后求出另一个立方体的表面积.
15．【答案】（1）解：由题意可知：
，．
∴．
（2）解：由题意可知：
，．
∴．
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【分析】（1）根据立方根、算术平方根求出a、b的值，再代入计算即可；
（2）根据（1）结论及平方根的性质求出m、n的值，再代入计算即可.
16．【答案】（1）7；21
（2）
（3）解：
.
【知识点】算术平方根；实数的运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1），，
故答案为：7，21；
（2）用含正整的式子表示上述算式的规律：；
故答案为：；
【分析】（1）由于根号具有括号的作用，先含加减乘除混合运算的运算顺序计算根号内的被开方数，再根据算术平方根的定义化简即可；
（2）通过观察发现，左边式子的被开方数是：等式序号×（序号+4）+4，右边是等式序号+2，据此规律即可得出第n个等式表示为： ；
（3）利用（2）发现的规律将每一个加数化简，再从左至右每两项一组结合进行计算，确定“-1”的个数，即可计算得出答案.
17．【答案】（1）解：是.
∵ ， ， ，
∴-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”.
（2）解：①当 时，
解得 ；
②当 时，
解得
综上所述，m的值为-48或-12.
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】（1）根据阅读材料，利用“完美组合数”的定义，进行判断，可得到-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”.
（2）利用“完美组合数”的定义，由已知三个数-3，m，-12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，分情况讨论：当 时，当 时，分别解方程求出m的值.
18．【答案】（1）±1；±2；±3；一般地，如果一个数 的四次方等于 ，即 ，那么这个数 就叫做 的四次方根
（2）；；； 没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数； 的四次方根是 ；负数没有四次方根
（3）类比、分类讨论、从特殊到一般等；；；
【知识点】平方根；立方根及开立方；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）类比平方根，立方根的定义，当 时 ，当 时 ，当 时 ，所以填表如下：
结合上述表格，类比平方根和立方根的定义，则四次方根的定义为：一般地，如果一个数的四次方根等于a，那么这个数叫做a的四次方根，这就是说，如果 ，那么x叫做 a的四次方根．
（2）根据四次方根的定义计算：
① 的四次方根是 ；② 的四次方根是 ；③ 的四次方根是 ；④ 的四次方根是 ；⑤ 的四次方根是 ；⑥ 没有四次方根；
类比平方根，立方根的性质可得四次方根的性质为：一个正数由两个四次方根，他们互为相反数； 的四次方根是 ；负数没有四次方根．
（3）探索四次方根的定义和性质时，运用了类比，分类讨论的和由特殊到一般的思想，
【拓展应用】
根据四次方根的定义计算得：
① ；
②
③ ， ， ，
【分析】根据平方根和立方根来求出四次方根的定义，再进行作答求解即可。
1 / 1沪科版数学七年级下册6.1平方根、立方根 同步练习
一、单选题
1．（2022七上·衢州期中）下列说法正确的是（ ）
A．9的算术平方根是±3 B．-8没有立方根
C．-8的立方根-2 D．8的立方根是±2
【答案】C
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：A、9的算术平方根是3，故A不符合题意；
B、-8的立方根为-2，故B不符合题意；
C、-8的立方根为-2，故C符合题意；
D、8的立方根是2，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用正数的算术平方根只有一个，可对A作出判断；利用任何数都立方根，可对B作出判断；利用正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，可对C，D作出判断.
2．（2022七上·苍南期中），，则的值是（ ）
A．1或15 B．-1或-15 C．1或-15 D．-1或15
【答案】B
【知识点】立方根及开立方；有理数的加法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：，
，
又，
，
当，时，，
当，时，，
故答案为：B.
【分析】根据有理数乘方及立方根的定义可得a=±7，b=-8，然后分两种情况，根据有理数的加法法则算出答案.
3．（2022七下·中山期末）一个正方体的体积为63，则它的棱长a的取值范围是（ ）
A．3＜a＜4 B．4＜a＜5 C．7＜a＜8 D．8＜a＜9
【答案】A
【知识点】立方根及开立方；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵一个正方体的体积为63，它的棱长a
∴，
，
，
，
，
即3＜a＜4，
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
4．（2022七下·西山期末）如果的算术平方根是2，27的立方根是，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】A
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：的算术平方根是2，
，
，
27的立方根是，
，即，
，
．
故答案为：A．
【分析】根据算术平方根和立方根求出a和b的值，再求解即可。
5．（2022七上·柯桥期中）如图为洪涛同学的小测卷，他的得分应是（ ）
姓名：洪涛 得分：？. 填空（每小题25分，共100分） ①2的相反数是-2. ②倒数等于本身的数是1. ③8的立方根是2， ④的平方根是±2.
A．25分 B．50分 C．75分 D．100分
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数；平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：①2的相反数是-2，故本小题正确；
②倒数等于本身的数是±1，故本小题错误；
③8的立方根是2，故本小题正确；
④=4，4的平方根是±2，故本小题正确.
故答案为：C.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可判断①；根据乘积为1的两个数互为倒数，可判断②；如果x3=a，则x是a的立方根，据此判断③；如果x2=a（x＞0），则x是a的算术平方根，据此先化简=4，再根据x2=a，则x是a的平方根，据此再求4的平方根，从而可判断④.
6．（2022七上·上城期中）实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；算术平方根；整式的加减运算
【解析】【解答】解：由数轴知： ， ，
，
原式
.
故答案为：A.
【分析】根据数轴上的点所表示数的特点可知c＜0，b＜0＜a ，从而根据有理数的减法法则判断出b-a的正负，进而根据绝对值的性质及二次根式的性质分别化简，再合并同类项即可.
7．（2022七下·凉山期末）下列说法正确的有（ ）
（ 1 ）带根号的数都是无理数；（2）立方根等于本身的数是0和1；（3）﹣a一定没有平方根；（4）实数与数轴上的点是一一对应的；（5）两个无理数的差还是无理数；（6）若面积为3的正方形的边长为a，a一定是一个无理数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平方根；立方根及开立方；无理数的概念
【解析】【解答】解：(1) 带根号的数不一定是无理数，如，不是无理数，错误；
(2)立方根等于本身的数是0、1和-1，错误；
(3) 当a≤0时，﹣a有平方根，错误；
(4) 实数与数轴上的点是一一对应的，正确；
(5) 两个无理数的差不一定是无理数，如+1-=1是有理数，错误；
(6) 若面积为3的正方形的边长为a，则a=，是一个无理数，正确．
综上所述，正确的有2个.
故答案为：B.
【分析】根据无理数的概念、立方根与平方根的定义、实数与数轴的关系逐个判断，即可作答.
二、填空题
8．（2022七下·广安期末）若 的平方根是 ， 的立方根是2，则 的算术平方根是 ．
【答案】
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解： ∵ 的平方根是 ，
∴x-2=4，
∴x=6，
∵ 的立方根是2，
∴y+7=8，
∴y=1，
∴ ，
∴ 的算术平方根是.
故答案为： .
【分析】先根据平方根的定义求出x的值，再根据立方根的定义求出y值，然后代值求 ，最后根据算术平方根的定义解答即可.
9．（2022七上·宁海期中）若=3，且（y-2x+1）2+=0，则x+y+z的值为 ．
【答案】83
【知识点】立方根及开立方；二次根式的定义；偶次方的非负性；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵＝3，
∴，
根据题意得：，
解得：，
则．
故答案为：83.
【分析】根据已知条件可得x=27，由偶次幂的非负性以及二次根式的定义可得y-2x+1=0、z-3=0，结合x的值可得y、z的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
10．（2022七上·金东期中）有一个数值转换器，其流程如图所示：
当输入的值是64时，则输出的值是 .
【答案】
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；无理数的概念
【解析】【解答】解：64的算术平方根为：，是有理数，
8的立方根为：，是有理数，
2的算术平方根为：是无理数，
∴ 当输入x的值是64时，则输出的y值是.
故答案为：.
【分析】根据算术平方根的定义可知64的算术平方根是8，是有理数，进而根据立方根的定义求出8的立方根是2，是有理数，故再求2的算术平方根即可.
11．（2022七下·亭湖期末）在数学学习中，我们常把数或表示数的字母与图形结合起来，著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”.如图是由四个长为a，宽为b的长方形拼摆而成的正方形，其中a＞b＞0，若ab=3，a+b=4，则a-b的值为 .
【答案】2
【知识点】平方根；完全平方公式的几何背景；数学常识
【解析】【解答】解：由图可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴.
故答案为：2.
【分析】根据大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积建立等式，然后代值计算，结合a>b，即可求出a-b的值.
三、计算题
12．（2022七下·云阳期中）计算：
（1）
（2）4x2－16＝0
【答案】（1）解：原式=
=-1-1+2-+3
=3-；
（2）解：4x2－16＝0
4x2=16
x2＝4
x=.
【知识点】平方根；立方根及开立方；实数的运算
【解析】【分析】（1）先算乘方和开方运算，同时化简绝对值；再进行合并，可得答案.
（2）先移项，再将x2的系数化为1，然后利用平方根的性质，可求出x的值.
四、作图题
13．（2021七上·嵊州期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中.
（1）求 .
（2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形.
【答案】（1）10
（2）解：边长为的正方形，则面积为，
则每个三角形的面积为，
则作图如下：
.
【知识点】算术平方根；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：10；
【分析】（1）观察图形可知阴影部分的面积=大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列式计算即可.
（2）观察图形可知大正方形的面积为16，所画出的正方形的面积为13，由此可求出每一个直角三角形的面积为3，因此可得到直角三角形的两直角边的长为2和3，然后画出边长为的正方形.
五、解答题
14．（2022七上·鄞州月考）一个正方体的体积是16cm3，另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的边长及其表面积．
【答案】解：∵一个正方体的体积是16cm3，另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，
∴另一个正方体的体积为16×4=64，
∴另一个正方体的边长为；
其表面积为4×4×6=96.
答：另一个正方体的边长为4cm，其表面积为96cm2
【知识点】立方根及开立方；几何体的表面积
【解析】【分析】利用已知条件：另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，可求出另一个正方体的体积，利用正方体的体积等于边长的立方，可求出另一个立方体的边长；然后求出另一个立方体的表面积.
六、综合题
15．（2021七下·永吉期中）若8的立方根是a，b的算术平方根是3，m的两个平方根分别是5和n．
（1）求的平方根；
（2）求的立方根．
【答案】（1）解：由题意可知：
，．
∴．
（2）解：由题意可知：
，．
∴．
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【分析】（1）根据立方根、算术平方根求出a、b的值，再代入计算即可；
（2）根据（1）结论及平方根的性质求出m、n的值，再代入计算即可.
16．（2022七上·苍南期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
(1)，
(2)，
(3)，
(4).
（1）观察算式规律，计算 ； .
（2）用含正整的式子表示上述算式的规律： .
（3）计算：.
【答案】（1）7；21
（2）
（3）解：
.
【知识点】算术平方根；实数的运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1），，
故答案为：7，21；
（2）用含正整的式子表示上述算式的规律：；
故答案为：；
【分析】（1）由于根号具有括号的作用，先含加减乘除混合运算的运算顺序计算根号内的被开方数，再根据算术平方根的定义化简即可；
（2）通过观察发现，左边式子的被开方数是：等式序号×（序号+4）+4，右边是等式序号+2，据此规律即可得出第n个等式表示为： ；
（3）利用（2）发现的规律将每一个加数化简，再从左至右每两项一组结合进行计算，确定“-1”的个数，即可计算得出答案.
17．（2022七下·椒江期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”.
例如：-9，-4，-1这三个数， ， ， ，其结果6，3，2都是整数，所以-1，-4，-9这三个数称为“完美组合数”.
（1）-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由.
（2）若三个数-3，m，-12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值.
【答案】（1）解：是.
∵ ， ， ，
∴-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”.
（2）解：①当 时，
解得 ；
②当 时，
解得
综上所述，m的值为-48或-12.
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】（1）根据阅读材料，利用“完美组合数”的定义，进行判断，可得到-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”.
（2）利用“完美组合数”的定义，由已知三个数-3，m，-12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，分情况讨论：当 时，当 时，分别解方程求出m的值.
18．（2021七上·文登期末）本学期第四章《实数》中，我们学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即 ，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即 ，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
表示方法 正数a的平方根可以表示为“ ” 一个数a的立方根可以表示为“ ”
今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根．
（类比探索）
（1）探索定义：填写下表
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：
．
（2）探究性质：
① 的四次方根是 ；② 的四次方根是 ；
③ 的四次方根是 ；④ 的四次方根是 ；
⑤ 的四次方根是 ；⑥ （填“有"或"“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：
；
（3）在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个： ．
（拓展应用）
① ；
② ；
③比较大小： ．
【答案】（1）±1；±2；±3；一般地，如果一个数 的四次方等于 ，即 ，那么这个数 就叫做 的四次方根
（2）；；； 没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数； 的四次方根是 ；负数没有四次方根
（3）类比、分类讨论、从特殊到一般等；；；
【知识点】平方根；立方根及开立方；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）类比平方根，立方根的定义，当 时 ，当 时 ，当 时 ，所以填表如下：
结合上述表格，类比平方根和立方根的定义，则四次方根的定义为：一般地，如果一个数的四次方根等于a，那么这个数叫做a的四次方根，这就是说，如果 ，那么x叫做 a的四次方根．
（2）根据四次方根的定义计算：
① 的四次方根是 ；② 的四次方根是 ；③ 的四次方根是 ；④ 的四次方根是 ；⑤ 的四次方根是 ；⑥ 没有四次方根；
类比平方根，立方根的性质可得四次方根的性质为：一个正数由两个四次方根，他们互为相反数； 的四次方根是 ；负数没有四次方根．
（3）探索四次方根的定义和性质时，运用了类比，分类讨论的和由特殊到一般的思想，
【拓展应用】
根据四次方根的定义计算得：
① ；
②
③ ， ， ，
【分析】根据平方根和立方根来求出四次方根的定义，再进行作答求解即可。
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