2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册4.2.2指数函数的图象和性质 同步练习（含答案）

4.2.2指数函数的图象和性质
一、单选题（本大题共8小题）
1. 已知，，，则.( )
A. B. C. D.
2. 不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
3. 若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值可以是( )
A. B. C. 2 D. 4
4. 函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是( )
A. ，，， B. ，，，
C. ，，，， D. ，，，，
5. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度可由公式：求得．其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有的物体，放在的空气中冷却，5分钟以后物体的温度是，则k约等于参考数据： ( )
A. B. C. D.
6. 若函数，且满足对任意的实数都有成立，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
7. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如：，已知函数，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，函数若任意的，存在，使得，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题）
9. 已知函数，，对任意，则( )
A.
B.
C.
D.
10. 下列函数中，最小值为4的是( )
A. B.
C. D.
11. 已知函数其中且，则下列结论正确的是( )
A. 函数是奇函数
B. 函数在其定义域上有零点
C. 函数的图象过定点
D. 当时，函数为定义域上的增函数
12. 已知函数，设，，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题（本大题共4小题）
13. 若函数且的图象恒过点，则__________.
14. 若函数，当时，有最大值，则实数a的取值范围__________.
15. 下列说法正确的是__________填序号
①任取，均有；
②当且时，均有；
③是R上的增函数；
④的最小值为1；
⑤在同一坐标系中，与的图象关于y轴对称．
16. 设是定义在R上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则符合条件的实数b的一个值是__________.
四、解答题（本大题共2小题）
17. 已知函数，
当，且时，求函数的值域；
若函数在的最小值为1，求实数a的值；
18. 已知函数为奇函数．
求b的值，判断函数在上的单调性并证明；
若对任意实数a恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【解答】
解：在R上单调递增，，即；
在R上单调递减，，即
故选

2.【答案】B
【解析】
【解答】
解：不等式，，即
或，解集是
故选：

3.【答案】A
【解析】
【解答】
解：画出两个函数在同一坐标系下的图象，
若有两个交点，则，
故选

4.【答案】C
【解析】
【解答】
解：由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，
而，
所以
故选：

5.【答案】A
【解析】
【解答】
解：由题意可得，，，，即，
故选：

6.【答案】D
【解析】
【解答】
解：对任意的实数都有成立，
函数 在R上单调递增，
，
解得
故选

7.【答案】C
【解析】
【解答】
解：令 ，
则，
由二次函数的图像和性质可知，当时，
，
所以
故选：

8.【答案】D
【解析】
【解答】
解：对任意的，存在，使得，
即在上的值域是在上的值域的子集，
，
当时，，
在上单调递增，的值域为，
又在上单调递减，的值域为：，
，
，方程无解
当时，，在上单调递减，的值域为，
的值域为：，，
，解得，
当时，，显然不满足题意.
综上，实数m的取值范围为
故选：

9.【答案】BCD
【解析】
【解答】
解：对于选项A：，故选项A错误，
对于选项B：的定义域为R，且，
为R上的奇函数，，故选项B正确，
对于选项C：，在R上单调递减，
设，则，
，
展开整理得，故选项C正确，
对于选项D：，且在R上单调递减，
，
又为R上的奇函数，，
，故选项D正确，
故选：

10.【答案】BD
【解析】
【解答】
解：由题知关于选项
，
，
当且仅当，即时取等，
故等号取不到，
所以选项A错误;
关于选项
，
，
当且仅当，即时取等，
，
所以选项B正确;
关于选项
，
，
所以最小值取不到4，
所以选项C错误;
关于选项
，
当时，，
所以选项D正确.
故选：BD

11.【答案】ABD
【解析】
【解答】
解：函数其中且，由于，且R，
所以函数为奇函数，故A正确；
当时，，所以函数在其定义域上有零点，故B正确，C错误；
当时，函数和都为R上的增函数，
故当时，函数为R上的增函数，故D正确.
故选：

12.【答案】ABD
【解析】
【解答】
解：作出函数的图象，如图所示：
当时，由于，可知，，
则，即 ，即，故A正确；
，当且仅当，即时取得等号，又，所以等号不成立，即当时，，所以 ，，故B正确；
当时，单调递增，当时，有 ，
即，不符合C，D选项；
当时，，由于，则，即；
当时，单调递增，若，
则，即，
当时，单调递减，
若，则，即 ；
若，则由 ，令，
由于此时，则，
由，可得，即 ，故C错误，D正确.
故选

13.【答案】1
【解析】
【解答】
解：因为函数且恒过定点
即，即，所以
故答案为：

14.【答案】
【解析】
【解答】
解：作出函数的图象，如下图所示，
函数在和上单调递减，在上单调递增，
，令，解得，
因为时，函数有最大值，则最大值应为，则
故答案为：

15.【答案】①④⑤
【解析】
【解答】
解：
对于①，任意，，故，①正确
对于②，若，则，②错误
对于③，，在R上单调递减，③错误
对于④，，故，④正确
对于⑤，由指数函数图象知与的图象关于y轴对称，⑤正确
故答案为：①④⑤.

16.【答案】内的任意一个数均可
【解析】
解：由题意，是定义在R上的偶函数，
对任意的，不等式恒成立，
则对任意的，不等式恒成立，
当时，，
则对任意的恒成立，
函数在上单调递增，
对任意的恒成立，
则或对任意的恒成立，
①变形为，则，无解；
②变形为，则，解得；
又，，故实数b的取值范围为
故答案为：内的任意一个数均可

17.【答案】解：当时，；
令，则当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，，的值域为
令，则当时，，
则转化为，对称轴为；
当，即时，在上单调递增，
，
解得：舍；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得：舍或；
当，即时，在上单调递减，
，
解得：舍；
综上所述：
18.【答案】解：因为，
又因为为奇函数，
所以，
所以，
所以，经检验，满足题意；
在上单调递增，证明如下：
任取，使，则
，
因为，
所以，
所以，
即，
所以，
所以在上单调递增；
由可知为R上的单调递增的奇函数，
由可得：
，
即，
设，则，
所以对任意恒成立，
又因为在上单调递增，
所以，
所以，
故m的取值范围为
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