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江苏省南通市2022-2023学年高三上学期数学期中试卷
一、单选题
1．（2022高三上·南通期中）已知，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】，，则.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交、并、补运算的定义进行运算即可.
2．（2022高三上·南通期中）已知复数，且是纯虚数，则（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】，因为为纯虚数，所以，解得，所以.
故答案为：A.
【分析】根据复数的乘法运算，结合复数的分类及复数模的计算，即可求出.
3．（2022高三上·南通期中）已知角满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】由，，，，解得，
，
故答案为：B.
【分析】根据诱导公式，结合余弦的二倍角公式即可求出相应式子的值.
4．（2022高三上·南通期中）随着我县“三河六岸”工程主要设施的陆续建成，我县的城市生态功能得到恢复，城市景观风貌持续改善，居民的幸福感不断提升.该工程中的某圆拱的跨度是96m，拱高是16m，则该圆拱所在圆的半径是（ ）
A．64m B．80m C．100m D．40m
【答案】B
【知识点】直角三角形的射影定理
【解析】【解答】如图：
设圆拱所在圆的半径为，圆拱的跨度m，
拱高是m，则在直角中有：
即
解得：
故答案为：B.
【分析】作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理，即可求出圆拱所在圆的半径.
5．（2022高三上·南通期中）已知等差数列的公差不为0，且，则集合的子集个数是（ ）
A． B．9 C．1024 D．512
【答案】D
【知识点】子集与真子集；等差数列的性质
【解析】【解答】由于等差数列的公差不为0，且，所以；
由等差数列的性质可知，，即；
以此类推，即可得，，，；
所以，数列的前12项是6对互为相反数的数，且绝对值互不相等；
即数列中的前12个数在集合中只能算6个元素；
又由等差数列性质可知，三个数互不相等且与前面12个数的绝对值也互不相等，
所以集合中共有9个元素；
由个元素的集合共有个子集可得：
集合的子集个数是个.
故答案为：D.
【分析】根据等差数列的性质，结合个元素的集合共有个子集，即可求出相应集合的子集个数.
6．（2022高三上·南通期中）在平面直角坐标系中，已知，长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】如图所示建立直角坐标系：
由题意设，其中，
所以
令
所以
所以
所以
所以
所以的取值范围是
故答案为：D.
【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，结合平面向量的数量积运算及三角函数的取值范围，即可求出的取值范围.
7．（2022高三上·南通期中）已知两个圆锥的母线长均为6，它们的侧面展开图恰好拼成一个半圆，若它们的侧面积之比是1：2，则它们的体积之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】因为两个圆锥的母线长为6，侧面展开图恰好拼成一个半圆，所以两个圆锥的底面圆的周长和为6π，因为侧面积之比为1：2，所以底面圆的周长比为1：2，则底面圆的周长分别为2π，4π，底面圆的半径分别为1，2，所以两个圆锥的高分别为，，则体积之和为.
故答案为：A.
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，结合侧面展开图的特点，求出圆锥的底面圆的半径和高，即可求出相应的体积之和.
8．（2022高三上·南通期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，，
令，
因为，所以，
所以，
所以，，，
令，
则有，
所以当时，单调递减；当时，单调递增；
所以，
即有，
所以有(当时取等号)，
所以，即；
令，
则，
所以单调递减，
所以当时，，
即，
所以，
即有，
所以，
故排除A，D；
令，
则，
，
所以单调递减，
当时，，
所以单调递减，
所以当时，，
即，
所以，
所以，
即，
所以.
故答案为：B.
【分析】构造函数，利用导数确定函数的单调性，即可比较相应值的大小.
二、多选题
9．（2022高三上·南通期中）已知函数的最小正周期满足，且，是的一个对称中心，则（ ）
A． B．的值域是
C．是的一条对称轴 D．是偶函数
【答案】A,C
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的周期性
【解析】【解答】由为函数的一个对称中心，则，且，解得，
由，且，即，解得，则，A符合题意；
故，由，则，B不符合题意；
将代入，可得，根据正弦函数的对称性，可得C符合题意；
，显然该函数不是偶函数，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】根据正弦函数的周期性、对称中心、对称轴、最值及奇偶性逐一进行判断即可.
10．（2022高三上·南通期中）已知实数x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【解析】【解答】对于A，由题可知，此时必有满足等式，即该方程必有实数根；
所以，即可得；所以A不符合题意；
对于B，由于，再根据不等式，
得，所以，
当且仅当时，不等式的等号成立，
当且仅当时，不等式的等号成立；
即B符合题意；
对于C，，再根据不等式，
得，即可得，
当且仅当时，不等式的等号成立，
当且仅当时，不等式的等号成立；
所以C符合题意；
对于D，由，可知，即；
当且仅当或时，不等式的等号成立，
由得，
而，即
所以，即可得；
当且仅当或时，不等式的等号成立；
所以；即D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】
三、填空题
11．（2022高三上·南通期中）在中，三边长是公差为2的等差数列，若是钝角三角形，则其最短边长可以为 .（写出一个满足条件的值即可）
【答案】3（答案不唯一）
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：设三角形的三边长为，所以.
因为三角形是钝角三角形，所以，
所以.
综合得最短边的取值范围为.
故答案为：3（答案不唯一）
【分析】根据三角形的三边关系，结合余弦定理解不等式，即可求出最短边的取值范围.
12．（2022高三上·南通期中）已知，则 .
【答案】
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】由，则，
由，则，
由，则，
由，则，
故答案为：.
【分析】根据对数的运算性质，代入相应的区间求出函数值即可.
13．（2022高三上·南通期中）如图是一个“双曲狭缝”模型，直杆旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线.已知该模型左、右两侧的两段曲线AB与CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且，，则该双曲线的离心率是 .
【答案】2
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】以最窄处的中点为原点建立直角坐标系，如下图：
设双曲线的方程为 ，则 ， ，
代入双曲线方程得： ，解得： ， ；
故答案为：2.
【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，用待定系数法求出双曲线的标准方程，即可求出双曲线的离心率.
14．（2022高三上·南通期中）在四棱锥中，底面是正方形，底面.若四棱锥的体积为9，且其顶点均在球上，则当球的体积取得最小值时， ，此时球心到平面的距离是 .
【答案】3；
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】如下图所示，
设四棱锥底面边长为，则该四棱锥的体积，
所以；
设四棱锥的外接球半径为，通过构造长方体可知满足；
即
令，则，
令，即；
所以，在上单调递减，在上单调递增；
即函数在处取最小值，此时外接球的半径最小，体积最小；
所以，，半径；
此时四棱锥可以看成是由棱长为3的正方体截取的一部分，
则球心应在正方体对角线的中点，
设平面
由正方体中的几何关系可知，且平面；
所以即为球心O到平面的距离.
又因为，即
所以球心O到平面的距离为.
故答案为：.
【分析】根据棱锥的体积计算公式，表示出圆锥的体积，构造函数，求导数，利用导数确定函数的单调性，求出体积的最小值及球心到平面的距离即可.
四、解答题
15．（2022高三上·南通期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.
（1）求；
（2）若边AB上的高为1，求的面积.
【答案】（1）解：因为，所以，
在中，由正弦定理，所以，
所以，所以，
因为，所以.
在中，，
所以
，
所以，
所以，
所以，所以.
（2）解：方法一：
因为，，所以.
因为边上的高，所以.
因为，，所以，，
在中，，
所以
.
在中，由正弦定理，
所以.
所以的面积.
方法二：
过点C向AB作垂线，垂足为H.
在中，，，
所以，.
在中，，，
所以，所以，
所以的面积.
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理，进行边角转化，求出角A，结合两角和的余弦公式，即可求出B的正切值；
（2）根据正弦定理，求出边c，结合三角形的面积公式，即可求出三角形的面积.
16．（2022高三上·南通期中）已知为正项数列的前n项和，且，当时，.
（1）证明为等差数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）证明：因为，所以，
所以为等差数列.
因为，所以，所以，
所以
当时，
，
当时，，所以.
（2）解：因为，所以.
因为，
所以.
所以
.
【知识点】等差关系的确定；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义，求出，即可判断为等差数列，求出首项和公差，结合等差数列的通项公式，求出即可求出的通项公式，得到Sn，即可求出的通项公式；
（2）根据两角差的正切公式，采用累加法，即可求出数列的前项和.
17．（2022高三上·南通期中）在平面直角坐标系中，已知点A，B在抛物线：上，抛物线C在A，B处的切线分别为，，且，交于点P.
（1）若点，求的长；
（2）从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立.
①直线AB过抛物线C的焦点；②点P在抛物线C的准线上.
【答案】（1）解：抛物线：的焦点，准线，
设，，
∵，即，所以，
∴抛物线C在A处的切线斜率，切线方程是，即.
同理可得：抛物线在B处的切线方程是.
联立方程，解得，即，
又∵，则，即，可得，
∴.
（2）证明：①→②：
∵，，
∴，，
因为，则，可得：，
由于，即，
所以，即，由（1）可得：，
故点P在抛物线C的准线上.
②→①：
，，
因为点P在抛物线C的准线上，则，即，
所以，则，
又因为F是公共点，所以A，B，F三点共线，
所以直线AB过抛物线C的焦点.
【知识点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线方程，写出焦点坐标和准线方程，设出交点坐标，求出切线方程，根据韦达定理，根据定义求出AB的长度即可；
（2）写出点的坐标，表示相应的向量，结合两向量共线的坐标表示，即可证明直线过焦点.
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江苏省南通市2022-2023学年高三上学期数学期中试卷
一、单选题
1．（2022高三上·南通期中）已知，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高三上·南通期中）已知复数，且是纯虚数，则（ ）
A． B．0 C．2 D．
3．（2022高三上·南通期中）已知角满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高三上·南通期中）随着我县“三河六岸”工程主要设施的陆续建成，我县的城市生态功能得到恢复，城市景观风貌持续改善，居民的幸福感不断提升.该工程中的某圆拱的跨度是96m，拱高是16m，则该圆拱所在圆的半径是（ ）
A．64m B．80m C．100m D．40m
5．（2022高三上·南通期中）已知等差数列的公差不为0，且，则集合的子集个数是（ ）
A． B．9 C．1024 D．512
6．（2022高三上·南通期中）在平面直角坐标系中，已知，长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高三上·南通期中）已知两个圆锥的母线长均为6，它们的侧面展开图恰好拼成一个半圆，若它们的侧面积之比是1：2，则它们的体积之和是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高三上·南通期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·南通期中）已知函数的最小正周期满足，且，是的一个对称中心，则（ ）
A． B．的值域是
C．是的一条对称轴 D．是偶函数
10．（2022高三上·南通期中）已知实数x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．（2022高三上·南通期中）在中，三边长是公差为2的等差数列，若是钝角三角形，则其最短边长可以为 .（写出一个满足条件的值即可）
12．（2022高三上·南通期中）已知，则 .
13．（2022高三上·南通期中）如图是一个“双曲狭缝”模型，直杆旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线.已知该模型左、右两侧的两段曲线AB与CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且，，则该双曲线的离心率是 .
14．（2022高三上·南通期中）在四棱锥中，底面是正方形，底面.若四棱锥的体积为9，且其顶点均在球上，则当球的体积取得最小值时， ，此时球心到平面的距离是 .
四、解答题
15．（2022高三上·南通期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.
（1）求；
（2）若边AB上的高为1，求的面积.
16．（2022高三上·南通期中）已知为正项数列的前n项和，且，当时，.
（1）证明为等差数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
17．（2022高三上·南通期中）在平面直角坐标系中，已知点A，B在抛物线：上，抛物线C在A，B处的切线分别为，，且，交于点P.
（1）若点，求的长；
（2）从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立.
①直线AB过抛物线C的焦点；②点P在抛物线C的准线上.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】，，则.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交、并、补运算的定义进行运算即可.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】，因为为纯虚数，所以，解得，所以.
故答案为：A.
【分析】根据复数的乘法运算，结合复数的分类及复数模的计算，即可求出.
3．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】由，，，，解得，
，
故答案为：B.
【分析】根据诱导公式，结合余弦的二倍角公式即可求出相应式子的值.
4．【答案】B
【知识点】直角三角形的射影定理
【解析】【解答】如图：
设圆拱所在圆的半径为，圆拱的跨度m，
拱高是m，则在直角中有：
即
解得：
故答案为：B.
【分析】作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理，即可求出圆拱所在圆的半径.
5．【答案】D
【知识点】子集与真子集；等差数列的性质
【解析】【解答】由于等差数列的公差不为0，且，所以；
由等差数列的性质可知，，即；
以此类推，即可得，，，；
所以，数列的前12项是6对互为相反数的数，且绝对值互不相等；
即数列中的前12个数在集合中只能算6个元素；
又由等差数列性质可知，三个数互不相等且与前面12个数的绝对值也互不相等，
所以集合中共有9个元素；
由个元素的集合共有个子集可得：
集合的子集个数是个.
故答案为：D.
【分析】根据等差数列的性质，结合个元素的集合共有个子集，即可求出相应集合的子集个数.
6．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】如图所示建立直角坐标系：
由题意设，其中，
所以
令
所以
所以
所以
所以
所以的取值范围是
故答案为：D.
【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，结合平面向量的数量积运算及三角函数的取值范围，即可求出的取值范围.
7．【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】因为两个圆锥的母线长为6，侧面展开图恰好拼成一个半圆，所以两个圆锥的底面圆的周长和为6π，因为侧面积之比为1：2，所以底面圆的周长比为1：2，则底面圆的周长分别为2π，4π，底面圆的半径分别为1，2，所以两个圆锥的高分别为，，则体积之和为.
故答案为：A.
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，结合侧面展开图的特点，求出圆锥的底面圆的半径和高，即可求出相应的体积之和.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，，
令，
因为，所以，
所以，
所以，，，
令，
则有，
所以当时，单调递减；当时，单调递增；
所以，
即有，
所以有(当时取等号)，
所以，即；
令，
则，
所以单调递减，
所以当时，，
即，
所以，
即有，
所以，
故排除A，D；
令，
则，
，
所以单调递减，
当时，，
所以单调递减，
所以当时，，
即，
所以，
所以，
即，
所以.
故答案为：B.
【分析】构造函数，利用导数确定函数的单调性，即可比较相应值的大小.
9．【答案】A,C
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的周期性
【解析】【解答】由为函数的一个对称中心，则，且，解得，
由，且，即，解得，则，A符合题意；
故，由，则，B不符合题意；
将代入，可得，根据正弦函数的对称性，可得C符合题意；
，显然该函数不是偶函数，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】根据正弦函数的周期性、对称中心、对称轴、最值及奇偶性逐一进行判断即可.
10．【答案】B,C,D
【解析】【解答】对于A，由题可知，此时必有满足等式，即该方程必有实数根；
所以，即可得；所以A不符合题意；
对于B，由于，再根据不等式，
得，所以，
当且仅当时，不等式的等号成立，
当且仅当时，不等式的等号成立；
即B符合题意；
对于C，，再根据不等式，
得，即可得，
当且仅当时，不等式的等号成立，
当且仅当时，不等式的等号成立；
所以C符合题意；
对于D，由，可知，即；
当且仅当或时，不等式的等号成立，
由得，
而，即
所以，即可得；
当且仅当或时，不等式的等号成立；
所以；即D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】
11．【答案】3（答案不唯一）
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：设三角形的三边长为，所以.
因为三角形是钝角三角形，所以，
所以.
综合得最短边的取值范围为.
故答案为：3（答案不唯一）
【分析】根据三角形的三边关系，结合余弦定理解不等式，即可求出最短边的取值范围.
12．【答案】
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】由，则，
由，则，
由，则，
由，则，
故答案为：.
【分析】根据对数的运算性质，代入相应的区间求出函数值即可.
13．【答案】2
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】以最窄处的中点为原点建立直角坐标系，如下图：
设双曲线的方程为 ，则 ， ，
代入双曲线方程得： ，解得： ， ；
故答案为：2.
【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，用待定系数法求出双曲线的标准方程，即可求出双曲线的离心率.
14．【答案】3；
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】如下图所示，
设四棱锥底面边长为，则该四棱锥的体积，
所以；
设四棱锥的外接球半径为，通过构造长方体可知满足；
即
令，则，
令，即；
所以，在上单调递减，在上单调递增；
即函数在处取最小值，此时外接球的半径最小，体积最小；
所以，，半径；
此时四棱锥可以看成是由棱长为3的正方体截取的一部分，
则球心应在正方体对角线的中点，
设平面
由正方体中的几何关系可知，且平面；
所以即为球心O到平面的距离.
又因为，即
所以球心O到平面的距离为.
故答案为：.
【分析】根据棱锥的体积计算公式，表示出圆锥的体积，构造函数，求导数，利用导数确定函数的单调性，求出体积的最小值及球心到平面的距离即可.
15．【答案】（1）解：因为，所以，
在中，由正弦定理，所以，
所以，所以，
因为，所以.
在中，，
所以
，
所以，
所以，
所以，所以.
（2）解：方法一：
因为，，所以.
因为边上的高，所以.
因为，，所以，，
在中，，
所以
.
在中，由正弦定理，
所以.
所以的面积.
方法二：
过点C向AB作垂线，垂足为H.
在中，，，
所以，.
在中，，，
所以，所以，
所以的面积.
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理，进行边角转化，求出角A，结合两角和的余弦公式，即可求出B的正切值；
（2）根据正弦定理，求出边c，结合三角形的面积公式，即可求出三角形的面积.
16．【答案】（1）证明：因为，所以，
所以为等差数列.
因为，所以，所以，
所以
当时，
，
当时，，所以.
（2）解：因为，所以.
因为，
所以.
所以
.
【知识点】等差关系的确定；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义，求出，即可判断为等差数列，求出首项和公差，结合等差数列的通项公式，求出即可求出的通项公式，得到Sn，即可求出的通项公式；
（2）根据两角差的正切公式，采用累加法，即可求出数列的前项和.
17．【答案】（1）解：抛物线：的焦点，准线，
设，，
∵，即，所以，
∴抛物线C在A处的切线斜率，切线方程是，即.
同理可得：抛物线在B处的切线方程是.
联立方程，解得，即，
又∵，则，即，可得，
∴.
（2）证明：①→②：
∵，，
∴，，
因为，则，可得：，
由于，即，
所以，即，由（1）可得：，
故点P在抛物线C的准线上.
②→①：
，，
因为点P在抛物线C的准线上，则，即，
所以，则，
又因为F是公共点，所以A，B，F三点共线，
所以直线AB过抛物线C的焦点.
【知识点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线方程，写出焦点坐标和准线方程，设出交点坐标，求出切线方程，根据韦达定理，根据定义求出AB的长度即可；
（2）写出点的坐标，表示相应的向量，结合两向量共线的坐标表示，即可证明直线过焦点.
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