2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册《6.3空间点、直线、平面之间的位置关系》第2课时课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
6.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
第2课时
导入新课
问题1　在初中，我们曾学过“平行于同一直线的两条直线平行”，这一事实可以拓展到空间吗？
可以．
a
b
新知探究
AB∥C1D1．
问题2　观察长方体ABCD－A1B1C1D1，显然AB∥CD，CD∥C1D1，则AB与C1D1有何位置关系？
A
B
C
D
C1
D1
B1
A1
新知探究
问题3　你能把上述结论推广到空间吗？如何用语言和符号表示所得的结论？
能，
用符号a∥b且b∥c a∥c．
平行于同一直线的两条直线平行，
问题4　我们知道直线与直线有两种位置关系：相交和不相交，不相交一定平行吗？
不一定，
如问题2中的BD1与AC就不相交，但它们也不平行．
新知探究
问题5　观察长方体ABCD－A1B1C1D1，棱A1D1所在的直线与棱BB1所在的直线在同一平面内吗？它们是什么关系？
A
B
C
D
C1
D1
B1
A1
A1D1所在的直线与棱BB1所在的直线不在同一平面内，它们是异面关系．
新知探究
追问1 分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
不一定．它们可能异面，可能相交，也可能平行．
追问2 你能归纳出异面直线的概念吗？
异面直线：不同在任何一个平面内（不共面）的两条直线叫异面直线．
新知探究
问题6　你能说出空间两条直线的位置关系吗？
两直线的位置关系有：
（2）异面直线：不共面的两条直线且没有公共点．
（1）共面直线
相交直线：在同一平面内有且有一个公共点，
平行直线：在同一平面内没有公共点．
新知探究
∠ADC＝∠A′D′C′，
∠ADC＋∠A′B′C′＝180°．
问题7　如图，在四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，底面ABCD为菱形，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
A
B
C
D
C′
D′
B′
A′
新知探究
追问 一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角一定相等吗？
不一定相等．
当两个角的两边分别平行且方向相同或相反时，这两个角相等；
如图中∠D′A′B′=∠ DAB．
当两个角的一组边的方向相同，而另一组边的方向相反时，这两个角互补；
如图中∠A′B′C′=∠DAB．
A
B
C
D
C′
D′
B′
A′
新知探究
问题8　平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°称为它们的夹角，那么两平行直线所成的角是多少？
两平行直线所成的角是0°或180°．
追问1 异面直线所成的角如何度量？范围是什么？
a
b
θ
O
a′
a′
b′
O
θ
（1）已知两条异面直线a，b，过空间任选一点O，过
的锐角（或直角），就是异面直线a，b所成的角．
点O分别作a′∥a，b′∥b，则a′，b′这两条相交直线所成
（2）异面直线所成的角的取值范围为．
新知探究
追问2 当异面直线所成角为 时，a与b位置关系是什么？如何表示？
a与b互相垂直，记作a⊥b．
B1
C
C1
A
B
D
A1
D1
a
b
初步应用
例1　四个顶点不在同一平面内的四边形称为空间四边形，如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
A
H
D
G
C
F
B
E
证明：连接BD．
因为FG是△CBD的中位线，
所以EH∥FG，EH＝FG，
所以FG∥BD，且，
同理EH∥BD，且，
所以四边形EFGH是平行四边形．
初步应用
例2　如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a．
（1）正方体的哪些棱所在的直线与直线BC1是异面直线？
（2）求异面直线AA1与BC所成的角；
（3）求异面直线BC1与AC所成的角．
A1
B1
C1
D1
C
D
B
A
解析：（1）A1A，A1B1，A1D1，DA，DC，DD1；
（2）将AA1平移到BB1； BB1与BB1的夹角为90°，故AA1与BC所成的角为90°；
（3）连接A1B，A1C1，因为AA1//CC1且AA1=CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形．
故AC//A1C1且AC=A1C1，故∠A1C1B为异面直线BC1与AC所成的角．
在 A1C1B中，因为A1B=BC1=A1C1=，所以∠A1C1B=60°．
初步应用
例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
（1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形；
（2）求证：∠BMC＝∠B1M1C1．
A
B
C
D
C1
D1
B1
A1
M1
M
证明： （1）∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，
又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，
∴四边形AMM1A1为平行四边形，
又AA1＝BB1且AA1∥BB1，
∴四边形BB1M1M为平行四边形．
∴AD A1D1，
∴AM A1M1，
∴MM1 AA1．
∴MM1 BB1，
初步应用
例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
（1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形；
（2）求证：∠BMC＝∠B1M1C1．
A
B
C
D
C1
D1
B1
A1
M1
M
（2）法一：由（1）知四边形 BB1M1M 为平行四边形，
所以 B1M1∥BM．
同理，可得四边形 CC1M1M 为平行四边形，
由平面几何知识，可知∠BMC 和 ∠B1M1C1 都是锐角，
所以 C1M1∥CM．
故 ∠BMC＝∠B1M1C1．
初步应用
例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
（1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形；
（2）求证：∠BMC＝∠B1M1C1．
A
B
C
D
C1
D1
B1
A1
M1
M
法二：由（1）可知四边形 BB1M1M 为平行四边形，
∴B1M1＝BM．
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
又∵B1C1＝BC，
∴C1M1＝CM．
∴△BCM≌△B1C1M1，
∴∠BMC＝∠B1M1C1．
归纳小结
问题9　本节课我们学习了基本事实4和等角定理以及异面直线、异面直线所成的角，请你通过下列问题，归纳所学知识．
（1）基本事实4及等角定理的作用是什么？
（2）已知直线a，b是两条异面直线，如何作出这两条异面直线所成的角？
（3）a′与b′所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？
（1）基本事实4又叫平行线的传递性．
等角定理的主要作用是证明空间两个角相等．
作用主要是证明两条直线平行．
归纳小结
问题9　本节课我们学习了基本事实4和等角定理以及异面直线、异面直线所成的角，请你通过下列问题，归纳所学知识．
（1）基本事实4及等角定理的作用是什么？
（2）已知直线a，b是两条异面直线，如何作出这两条异面直线所成的角？
（3）a′与b′所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？
（2）如图，在空间中任取一点O，作直线a′∥a，b′∥b，
则两条相交直线 a′，b′ 所成的锐角或直角 θ 即两条异面直线a，b所成的角．
归纳小结
问题9　本节课我们学习了基本事实4和等角定理以及异面直线、异面直线所成的角，请你通过下列问题，归纳所学知识．
（1）基本事实4及等角定理的作用是什么？
（2）已知直线a，b是两条异面直线，如何作出这两条异面直线所成的角？
（3）a′与b′所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？
（3）a′与b′所成角的大小只由a，b的相互位置确定，
一般情况下为了简便，点O选取在两条直线中的一条直线上．
与点O的选择无关．
作业布置
作业：教科书第215页B组1，2，3．
1
目标检测
B
已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于（　　）
A．30°
B．30°或150°
C．150°
D．以上结论都不对
解析：∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，
∴∠PQR＝30°或150°．
2
目标检测
D
若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论正确的是（　　）
A．OB∥O1B1且OB与O1B1方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
解析：如图，在正方体中，OB与O1B1不平行，
若它们在同一平面内，则OB∥O1B1．
B
B1
O1
A
O
A1
3
目标检测
90°
如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线B1D与BC1所成的角为________．
A1
B1
C1
D1
C
D
B
A
解析：取CD的中点E，连接B1C交BC1于F，连接EF，则EF∥B1D．
异面直线B1D与BC1所成的角即为EF与BC1所成的锐角或直角，显然EF⊥BC1，
故所求角为90°．
E
F
4
目标检测
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，求异面直线A1M与DN所成的角的大小．
A
B
C
D
C1
D1
B1
A1
K
解析：取CN 的中点K，连接A1K，MK，
所以∠A1MK或其补角为异面直线 A1M 与 DN 所成的角，连接 A1C1，AM．
设正方体棱长为4，
A1M＝＝6，
∴A1M2＋MK2＝A1K2，
∴∠A1MK＝90°．
则MK为△CDN的中位线，所以MK∥DN，
则A1K＝
M
N