安徽省滁州市定远县民族中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题（含解析）

定远县民族中学2022-2023学年高二下学期开学考试
数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则( )
A. B. C. D.
2. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3. “”是“直线：与直线：垂直”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知实数满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯约公元前公元前年的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆已知，是平面上的两定点，，动点满足，，动点在直线上，则距离的最小值为( )
A. B. C. D.
6. 若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则( )
A. B. C. 或 D. 或
7. 中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美．现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为( )
A. B. C. D.
8. 已知点在抛物线上，过焦点且斜率为的直线与相交于两点，且两点在准线上的投影分别为两点，则三角形的面积( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知正方体棱长为，为棱的中点，为底面上的动点，则( )
A. 存在点，使得
B. 存在唯一点，使得
C. 当，此时点的轨迹长度为
D. 当为底面的中心时，三棱锥的外接球体积为
10. 已知直线，，则( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 当时，与相交，交点为
D. 当时，不经过第三象限
11. 如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则( )
A. 曲线与轴围成的图形的面积等于
B. 与的公切线的方程为
C. 所在圆与所在圆的公共弦所在直线的方程为
D. 所在的圆截直线所得弦的长为
12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点在双曲线上，则下列结论正确的是
A. 该双曲线的离心率为
B. 若，则的面积为
C. 点到两渐近线的距离乘积为
D. 直线和直线的斜率乘积为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知平面的一个法向量为，原点在平面内，则点到的距离为 ．
14. 若直线 经过直线与直线的交点，且点到直线 的距离为，则直线 的方程为 ．
15. 已知两定点，，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为 ．
16. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，，，分别为椭圆的左、右、下、上顶点，为其右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，正三棱柱中，，点，分别为，的中点．
求异面直线与所成角的余弦值；
求直线与平面所成角的正弦值．
18. 本小题分已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的倍．
Ⅰ求点的轨迹方程：
Ⅱ若点与点关于点对称，求、两点间距离的最大值；
Ⅲ若过点的直线与点的轨迹相交于、两点，，则是否存在直线，使取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由．
19. 本小题分
已知动圆过定点，且与直线：相切，圆心的轨迹为．
Ⅰ求动点的轨迹方程；
Ⅱ过点作倾斜角为的直线交轨迹于，两点，求．
20. 本小题分
已知椭圆离心率为，过右焦点的直线交椭圆于椭圆，两点．
Ⅰ若有，求直线的方程；
Ⅱ若线段的中点为，延长交椭圆于另一个交点，求面积的最大值．
21. 本小题分
已知双曲线的焦距为，坐标原点到直线的距离是，其中，的坐标分别为，．
求双曲线的方程；
是否存在过点的直线与双曲线交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形？若存在，求出所有直线的方程；若不存在，请说明理由．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线：，点，过点的直线与抛物线交于，两点，当与抛物线的对称轴垂直时，．
求抛物线的标准方程；
若点在第一象限，记的面积为，的面积为，求的最小值．
答案和解析
1. 【解析】因为，
所以，
由，
则
，故选A．
2. 【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
在长方体中，，，
，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
则，
异面直线与所成角的余弦值为．故选C．
3. 【解析】若直线：与直线：垂直，
则满足，即，
解得或，
则“”是“直线：与直线：垂直”的充分不必要条件，故选A．
4. 【解析】由实数满足，
则表示点与直线上的点之间的距离，
所以的最小值为点到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得最小值为 故选A
5. 【解析】以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
则不妨设，设，
因为，
所以，
整理，得，即，
所以动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
又动点在直线上，，
所以圆心到直线的距离为，
所以距离的最小值为．故选：．
6. 【解析】由双曲线定义得，
即，解得舍或．故选A．
7. 【解析】根据椭圆的定义，可得，，解得，，
所以，
所以焦距．故选：．
8. 【解析】将代入抛物线：得，解得：，
所以抛物线方程为，
则焦点，准线方程为，
所以直线方程为，
所以，解得：或
则，
所以，
所以，故选C．
9. 【解析】以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系．
，，设点坐标为，
为求的最小值，找出点关于平面的对称点，设该点为，则点坐标为，
，
故A选项错误；
由可得，故B选项正确；
时，即，此时由点坐标为，，
，
得到，
点轨迹是连接棱中点与棱中点的线段，其长度为线段的一半，即长为，故C选项正确；
当为底面的中心时，由选项知．
易得，
外接球球心为棱的中点，从而求得球半径为
，，
故D选项正确．故选BCD．
10. 【解析】若，则，得，故A错误；
若，则，得，故B正确；
当时，直线，．
由，得，所以交点为，故 C错误；
当时，的斜率为负，在轴截距为正，不会过第三象限，
当时，：，不过第三象限，当时，：，不过第三象限，
故当时，不经过第三象限，故D正确；故选BD．
11. 【解析】各圆弧所在圆的方程分别为
，，，
对于，曲线与轴围成的图形为一个半圆、一个矩形、两个圆，
面积为，故A错误；
对于，设与的公切线的方程为，
由直线和圆相切的条件可得，解得，，
与的公切线的方程为，即，故B正确；
对于，由，，两式相减得，
即为交点弦所在直线的方程，故C正确；
对于，所在圆的方程为，
圆心到直线的距离为，
则弦长为，故D错误．故选BC．
12. 【解析】由双曲线方程得，，离心率为，A正确
若，不妨设，，，B错误
设，则，，渐近线方程为，
点到两渐近线的距离乘积为，C正确
，，，D正确故选ACD．
13.
【解析】已知平面的一个法向量为，原点在平面内，
则点到平面的距离为．
故答案为．
14.或
【解析】将 的方程联立，可解得其交点坐标为．
当直线 的斜率不存在时，方程为，显然点到直线 的距离为，符合题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为，即，
根据题意，得，解得，
直线 的方程为．
综上，直线 的方程为或．
故答案为：或．
15.
【解析】设点坐标，
，
，
，即，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
又点是圆上的动点，
如图，
由图可知，的最大值为．
故答案为．
16.
【解析】设椭圆的标准方程为，．
由题意，得，，，
则，．
因为为向量与的夹角，且为钝角，
所以，所以．
又，所以，
即，解得或，
因为，所以，
即该椭圆的离心率的取值范围为．
故答案为．
17.解：如图，在正三棱柱中，
设，的中点分别为，，
则，，，
故以为基底，建立空间直角坐标系，
，
，，，
，，．
点为的中点．
，
，．
．
异面直线与所成角的余弦值为；
为的中点．
，，
设平面的一个法向量为，
由，可取，
设直线与平面所成角的正弦值为，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：Ⅰ由已知，
化简得，即，
所以点的轨迹方程为；
Ⅱ设，
点与点关于点对称，点坐标为，
点在圆上运动，，
即点的轨迹方程为，
；
Ⅲ由题意知的斜率一定存在，
设直线的斜率为，且，，
则：，
联立方程，得，
，可得．
又直线不经过点，则，
点到直线的距离，，
，
，，，
当时，取得最大值，此时，，得．
直线的方程为或．
19.解：Ⅰ设，
动圆过定点，且与直线：相切，
，整理得，
故动点的轨迹方程为．
Ⅱ设，，直线的方程为，
则由，整理得．
．
20.解：由题意可得：，，，
解得：，．
椭圆的方程为：．
设直线的方程为：，，
联立，化为：，
，
，，
，，
解得．
直线的方程为：，即．
，
设，由可得：，
，
，
直线的方程为：
代入椭圆方程解得
点到直线的距离．
，
令，
则，
令
则，
，
可得函数在上单调递增，在上单调递减．
时函数取得极大值即最大值．
的最大值．
21.解：由题知：，，
因为，的坐标分别为，，
直线的方程为，即，
原点到直线的距离，
解得，，
所以双曲线的方程为．
由知点坐标为，
设直线为，，，
由得，
因直线与双曲线有两个交点，所以，
所以，，
，
要使得成以为顶点的等腰三角形，则，
取中点，点坐标为，即，
，即，解得或，
所以直线的方程为或．
22.解：当与抛物线的对称轴垂直时，，
则令，，则代入抛物线方程，则，解得，
所以抛物线方程是．
设直线的方程为，，
联立抛物线整理得：，，，
，，
有，由在第一象限，则，即，
，可得，，
又到的距离，
，而，
，，
，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
的最小值为．