四川省泸州市部分中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学（理）试题（含答案）

泸州市部分中学2022-2023学年高三下学期开学考试
数 学（理工类）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3． 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 考试结束后，请将答题卡交回。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合,,则
A． B． C． D．
2．已知复数（为虚数单位），则
A． B．2 C． D．5
3．已知函数，则
A． B．2 C． D．1
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知变量，满足约束条件，则
A．存在最小值，存在最大值 B．存在最小值，存在最大值
C．存在最小值，不存在最大值 D．存在最小值，不存在最大值
6．近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月……中国航天硕果累累，令国人备感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：m/s），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：m/s），是火箭起飞时的总质量（单位：kg），m是火箭自身的质量（单位：kg）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用的某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为50m/s，火箭自身的质量为4kg，燃料的质量为5kg，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为（ ）（，）
A．40m/s B．36m/s C．78m/s D．95m/s
7．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的（ ）
A．25 B．45 C．55 D．75
8．2022年2月4日北京冬奥会顺利开幕.在开幕式当晚，周明约李亮一家一起观看.周明一家四口相邻而坐，李亮一家四口也相邻而坐，已知他们两家人的8个座位连在一起（在同一排且一人一座），且周明与李亮也相邻而坐，则他们不同的坐法有
A．432种 B．72种 C．1152种 D．144种
9．一个几何体的三视图如图所示， 若这个几何体的体积为 ， 则该几何体的外接球的表面积为
B．
C． D．
10．已知关于的函数有唯一零
点，则
A． B．3 C．或3 D．4
11．函数（，）的部分图象如图所示，的图象与轴交于点，与轴交于点，点在的图象上，点 关于点对称，则下列说法中正确的是
A．函数在区间上单调递减
B．函数的最小正周期是
C．函数的图象关于直线对称
D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数
12．设，，．则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知平面向量，.且，则=________．
14．已知tan（α）=，则tanα=___________.
15．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，若bn＝an＋an＋1，设数列{bn}的前n项和为Tn，则T10＝___________．
16．椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足∠BAD=∠BCD=90°，且，则该椭圆的离心率为__________﹒
三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第
17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，考生根据
要求作答．（一）必做题：共60分．
17．（12分）为庆祝2021年中国共产党成立100周年，某校高二年级举行“党史知识你我答”活动，共有10个班，每班选5名选手参加了预赛，预赛满分为150分，现预赛成绩全部介于90分到140分之间.将成绩结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求参赛学生在这次活动中成绩良好的人数；
（2）若从第一 五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望.
18．（12分）已知数列中，，，，
（1）求的通项公式；
（2）设，求．
19．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
20．（12分）函数.
（1）讨论在上的最大值；
（2）有几个（，且为常数），使得函数在上的最大值为？
21．（12分）已知抛物线上的点到点距离的最小值为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若，圆，过作圆的两条切线分别交轴两点，求面积的最小值.
（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系a中，点，直线l的参数方程是(t为参数).以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.
（1）求圆C的直角坐标系下的标准方程；
（2）已知l与圆C交于A，B两点，且，求l的普通方程.
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）不等式的解集，求.
（2）若关于的方程有实数根，求实数的的取值范围.
泸州市部分中学2022-2023学年高三下学期开学考试
数 学（理工类）参考答案：
1．B 2．A 3．D 4．A 5．D 6．A 7．A 8．B 9．C 10．B 11．A 12．B
13．. 14． 15． 16．
17．(1)由题意知，共选出50名学生参加预赛，由频率分布直方图可得，成绩在[100,120]内的人数为：
人，所以该班成绩良好的人数为27人；
(2)由题意，第一组有3人，第五组有4人，
从这两组随机取两个成绩，
所以，，，
故X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以.
18．（1）因为，，，所以，，
所以，，所以.
而也符合该式，故.
（2），
19．（1）连接，
，分别为，中点 为的中位线
且
又为中点，且 且
四边形为平行四边形
，又平面，平面
平面
（2）设，
由直四棱柱性质可知：平面四边形为菱形
则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
则：，，，D（0，-1,0）
取中点，连接，则
四边形为菱形且 为等边三角形
又平面，平面
平面，即平面
为平面的一个法向量，且
设平面的法向量，又，
，令，则，
二面角的正弦值为：
20．（1），， 当时，，单调递增；
当时，，单调递减，∴在上的最大值为；
又当时，，，此时，
所以在上的最大值为.
（2）当时，.
①当时，，的最大值为，∴，；
②当时，的最大值为，∴.
令，则有，记，
则，.
当时，，单调递减，又∵，
∴在上有唯一的零点.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
∴，又∵，
所以在上有唯一的零点，在上的函数值恒大于0. 即在上有唯一的零点.
∴在上有唯一解，.综上所述，有两个符合题意.
21．(1)
.，所以当即时，，不符合题意，舍去；所以即时，， 或（舍去），.
(2) 由题意可知，，所以直线的方程为，即，，整理得：
，同理：，为方程的两根，， ，当且仅当时，取最小值.
22．（1）将，，代入圆C的极坐标方程：
，得，标准方程为.
（2）将直线l的参数方程(t为参数)
代入圆C的直角坐标方程中，化简得，
设A，B两点所对应的参数分别为，，由韦达定理知，①，
∴，同号，又∵，∴②由①②可知或，
∴解得，∴，∴l的普通方程为.
23．（1），①
当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴，
所以不等式的解集.
（2）由①易知，函数在上递减，在上递增，
当时，有最小值，即，.
由得
∴只要，解得或.