高中数学北师大版（2019）必修 第二册第六章 立体几何初步【教学课件】《6.3空间点、直线、平面之间的位置关系》第1课时 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
6.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
第1课时
导入新课
问题1 观察下图中的长方体，它有几个顶点？几条棱？几个面？
A
B
C
D
C1
D1
B1
A1
长方体有8个顶点、12条棱、6个面
追问1 长方体的12条棱中，棱与棱有几种位置关系？
棱与棱的位置关系有：相交，平行，既不平行也不相交．
导入新课
追问2 长方体的12条棱和6个面之间有哪些关系？
棱在平面内，棱所在直线与平面平行，棱所在直线与平面相交．
追问3 6个面之间有哪几种位置关系？
6个面之间的位置关系有平行和相交．
新知探究
问题2　平面α是由点组成的，直线l也是由点组成的，从集合的观点看，点P与直线l有何关系？点P与平面α有何关系？直线l与平面α呢？
点P与直线l的关系：P在l上或P不在l上；
直线 l 与平面α的关系：l在α内、l与α平行、l与α相交．
点P与平面α的关系：P在α内或P不在α内；
P∈l
P∈α
P l
P α
l α
l α
l α
新知探究
直线l1与直线l2有相交和不相交两种，相交记作l1∩l2＝P，不相交记为l1∩l2＝ ．
直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．
追问2 直线与平面有几种位置关系？
追问1 直线与直线有几种位置关系？
l在α内
l与α相交
l与α平行
l1∩l2＝
l1∩l2＝P
新知探究
直线l在平面α内，记作 l α；
直线 l 与α平行，记作 l∥α l∩α＝ ．
追问3 直线 l 在平面α内如何表示？直线l与α平行呢？
新知探究
追问4 平面与平面有几种位置关系？如何表示？
平面与平面平行和平面与平面相交两种．
平面α与平面β平行，记作α∥β，它等价于α∩β＝ ．
平面α与平面β相交于直线l，记作α∩β＝l．
新知探究
因为不在同一直线上的三点可以确定一个平面．
故三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪．
不一定．只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面．
问题3　生活中常见到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等，请问这是为什么？
追问 经过空间任意三点能确定一个平面吗？
新知探究
问题4　若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？
直尺边缘上的其余点都在桌面上．
追问 如何判断直线在平面内？
因为两点确定一条直线，
所以只要直线上的两点在一个平面内，这条直线就在这个平面内．
新知探究
问题5　下列说法是否正确？并说明理由．
这三个结论都正确，由基本事实1，2可以推证．
（1）一条直线和直线外一点确定一个平面．
（2）两条相交直线确定一个平面．
（3）两条平行直线确定一个平面．
新知探究
问题6　观察正方体ABCD－A1B1C1D1（如图所示），平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B，C吗？
不是．平面ABCD∩平面BCC1B1＝BC．
不可能．因为平面是无限延展的，所以两平面的交线是一条直线．
A
B
C
D
C1
D1
B1
A1
追问 两个平面的交线可能是一条线段吗？
新知探究
问题7　你能叙述基本事实1，2，3吗？
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有过该点的公共直线．
基本事实2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
（即直线在平面内）．
α
A
B
C
●
●
●
A
B
l
α
●
●
α
β
P
l
新知探究
问题8　由基本事实3，你能得出判断直线共面的什么条件？
基本事实2的推论
推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面；
推论2：两条相交直线确定一个平面；
推论3：两条平行直线确定一个平面．
α
B
C
A
●
a
●
●
A
α
B
C
●
●
●
α
C
A
B
●
●
●
a
b
初步应用
例1　用符号表示下列语句，并画出图形．
（1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
（2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．
解析：
（2）用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图2．
（1）用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图1．
图1
图2
例2　证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
初步应用
已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
解析：法一 ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α．
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2又l2 α，∴B∈α．
同理可证C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l3 α．
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
例2　证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
初步应用
解析：法二 ∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α．
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β．
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α．
∵A∈l2，l2 β，∴A∈β．
∵不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
同理可证，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β．
初步应用
例3　已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R（如图）．求证：P，Q，R三点共线．
P
α
Q
R
A
B
C
解析：法一 ∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α．
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC．
∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P，Q，R三点共线．
初步应用
例3　已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R（如图）．求证：P，Q，R三点共线．
P
α
Q
R
A
B
C
解析：法二 ∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR．
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∵B∈平面APR，C∈平面APR，
∴BC 平面APR．又∵Q∈直线BC，
∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．
∴平面APR∩平面α＝PR．
∴Q∈平面APR．又Q∈α，
课堂练习
练习：教科书第210页练习1，2，3．
归纳小结
（1）证明多点共线主要采用什么方法？
（2）证明三线共点问题的主要方法是什么？
问题9　本节课我们学习了直观图的画法，请你通过下列问题，归纳所学知识．
（1）一是首先确定两个平面，然后证明这些点是这两个平面的公共点，再根据基本事实3，这些点都
在这两个平面的交线上；
二是选择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条直线上．
是这两个平面的交线．
（2）主要方法是先确定两条直线交于一点，再证明该点是这两条直线所在平面的公共点，第三条直线
作业布置
作业：教科书第214页A组第2，3，4，5，6题．
1
目标检测
C
设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________．
解析：∵α∩β＝l，AB∩l＝C，
∴C∈β，C∈AB，
∴AB∩β＝C．
2
目标检测
D
如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面（　　）
A．没有其他公共点
B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点
D．有无数个公共点
解析：根据基本事实3可知，若两个平面有一个公共点，
则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线．
故选D．
3
目标检测
②
下列命题：
①若直线a与平面α有公共点，则称a α；
③三条平行直线共面；
④若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面．
其中正确的命题是________．（填序号）
②若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；
解析：①错误，若直线a与平面α有公共点，则a与α相交或a α；
②正确，由基本事实3知该命题正确；
③错误，三条平行直线不一定共面，例如三棱柱的三条侧棱；
④错误，如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面．
4
目标检测
求证：P，Q，R三点共线．
如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R．
证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P，
∴AB，CD可确定一个平面，设为β．
∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β，
∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，
∴AC β，BD β，平面α，β相交．
∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点，
∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．
∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，