四川省宜宾市部分中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学（理）试题（含答案）

宜宾市部分中学2022-2023学年高三下学期开学考试
数 学（理工类）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3． 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 考试结束后，请将答题卡交回。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数(其中为虚数单位)，则=
A． B．3 C．5 D．
2．已知集合，，则中元素的个数为
A．2 B．3 C．4 D．6
3．函数在上的大致图象为
A． B．
C． D．
4．医学上用基于SEIR流行病传播模型测算基本传染数（也叫基本再生数）来衡量传染性的强弱，基本传染数可表示为.计算基本传染数需要确定的参数有：（1）参数：，即需要知道第一例病例发生的时间（确定起点以便计算t），以及之后某一时刻的累计病例数，时间t的单位为天数；（2）参数和ρ：只要确定了潜伏期TE和传染期TI，和ρ就都确定了.已知2022年2月15日某地发现首例A型传染性病例，到2022年3月28日累计A型传染性病例数达到425例.取，，根据上面的公式计算这41天A型传染性基本传染数约为（注：参考数据：）
A．2.63 B．2.78 C．2.82 D．3.04
5．设函数，则下列函数中为奇函数的是
A． B． C． D．
6．如图，在直三棱柱中，，点E是侧棱上的一个动点，则下列判断正确的有
①直三棱柱外接球的体积为
②存在点E，使得为钝角
③截面周长的最小值为
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
7．已知函数是上的增函数，则的取值范围是
A． B． C． D．
8．已知圆，为圆C的动弦，且满足，为弦的中点，两动点在直线上，且，运动时，始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标取值范围是
A． B．
C． D．
9．若，其中，则
A． B． C． D．
10．已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的体积为
A． B． C． D．
11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点， ，记直线、的斜率分别为、，则
A． B． C． D．
12．已知函数对任意都有，则正数t的最小值为
A． B． C．e D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．在的展开式中，含的项的系数是______；
14．为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将2名医生和6名护士分配到2所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和3名护士，则不同的分配方法共有______种.
15．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有下列四个命题：
①若，，则； ②若，，，则；
③若，，，，则；④若，，，则.
其中正确命题的序号为___________.
16．对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”.若为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围为________________
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必做题：共60分．
17．（12分）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，求的前n项和
18．（12分）如图，在三棱柱中，平面，，，，点分别在棱和棱上，且，为棱的中点．
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值．
19．（12分）棉花是我国主要经济作物 纺织工业原料 重要战略物资.量化我国棉花生产碳足迹，解析其时空变化规律，阐明其主要构成因素与影响要素，对于“碳达峰，碳中和”愿景下我国棉花绿色可持续生产具有重要意义.某地因地制宜发展特色棉花种植，随着人们种植意识的提升和科技人员的大力指导，越来越多的农田开始种植棉花，近4年该地区棉花种植面积如下表：（单位：百亩）
年度 2018 2019 2020 2021
年度代码x 1 2 3 4
种植面积y 306 347 390 420
(1)请利用所给数据求棉花种植面积y与年度代码x之间的回归直线方程，并估计该地区2022年棉花的种植面积；
(2)针对近几年来棉花出现的生理性蕾铃脱落，及棉花枯 黄萎病等问题，某科研小组随机抽查了100亩棉花，对是否按时足量施用硼肥和棉花产量进行统计得到如下数据：
亩产 亩产
未按时足量施用硼肥 20 10
按时足量施用硼肥 58 12
问：是否有90%的把握认为棉花产量与是否按时足量施用硼肥有关？
参考公试：线性回归方程：，其中，，其中.
临界值表：
0.15 0.10 0.05 0.01
2.072 2.706 3.841 6.635
20．（12分）圆的离心率为，且过点，点分别为椭圆的左顶点和右顶点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是否存在定点，对任意过点的直线（在椭圆上且异于两点），都有.若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.
21．（12分）已知函数，求：
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，总有，求整数的最小值.
（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.
（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）曲线，是否相交？若相交，请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由.
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，若不等式的解集为.
（1）求的值；
（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.
宜宾市部分中学2022-2023学年高三下学期开学考试
数 学（理工类）参考答案：
1．A 2．C 3．C 4．D 5．B 6．C 7．A 8．A 9．D 10．D 11．A 12．D
13． 14．40 15．② 16．
17．（1）当时，，得，
当时，有，，
相除得
整理为：，
即，
∴为等差数列，公差，首项为；
所以，整理为：.
（2），
18．（1）由题意，以为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示
可得，，，
，，
所以，，
从而，所以 所以；
（2）因为平面，平面，
所以，，,
所以平面.
所以平面的一个法向量为
，
设为平面的法向量，
则，即，令，则，可得．
设二面角所成的角为，则，
；所以二面角的正弦值为.
19．(1)根据题意得到,
因为，
所以，
所以棉花种植面积y与年度代码x之间的回归直线方程,
当时，，
所以估计该地区2022年棉花的种植面积为462百亩.
(2)结合已知数据得到列联表如下表所示：
亩产 亩产 合计
未按时足量施用硼肥 20 10 30
按时足量施用硼肥 58 12 70
合计 78 22 100
，
所以有90%的把握认为棉花产量与是否按时足量施用硼肥有关.
20．(1)由题意得：，解得：，椭圆的标准方程为；
(2)由（1）知：，；
①当直线斜率不存在时，由得：或，
若，，
则，，，解得：；
若，，同理可求得：；
②当直线斜率存在时，设，，则；设直线，
由得：，
，解得：，，又，同理可得：，，，整理可得：，
当时，恒成立；
综上所述：存在满足题意的点，使得恒成立，此时.
21．(1)当时，
在点处的切线方程为即
(2)由题意，，即，即，
又，恒成立.令，
令，则恒成立.在上递减，
，
使，即，则，
当时，，当时，
因为，且，，即整数k的最小值为-3
22．(1)由消去参数得：，所以曲线的普通方程为，
由得：，将代入得：
，即，所以曲线的直角坐标方程为；
(2)由(1)知曲线是以为圆心，为半径的圆，曲线是以为圆心，为半径的圆，
于是得，即圆与圆相交，
设公共弦长为，因两圆半径相等，从而得公共弦垂直平分线段，
于是得，解得，所以公共弦长为.
23．解：（1）∵，∴，即，解得，
又∵不等式的解集为，∴.
（2）依题意，，故不等式可化为，
要使不等式存在解，即存在解，即存在解，
令，∴的最小值为，依题意得，
∴.