四川省宜宾市叙州区2022-2023学年高三下学期开学考试数学（理）试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 四川省宜宾市叙州区2022-2023学年高三下学期开学考试数学（理）试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 615.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-08 19:38:50 | ||
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文档简介
宜宾市叙州区2022-2023学年高三下学期开学考试
数 学（理工类）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3． 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 考试结束后，请将答题卡交回。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，则
A． B． C． D．
2．复数的虚部是
A． B． C． D．
3．某班组织奥运知识竞赛，将参加竞赛的学生成绩整理得下边的频率分布直方图，若低于60分的有9人，则该班参加竞赛的学生人数是
A．27 B．30 C．45 D．60
4．已知向量，，，则实数
A． B． C． D．
5．在中，内角、、所对的边分别为、、，，，，则的值等于
A． B． C． D．
6．已知函数在点处的切线经过原点，则实数
A． B．0 C． D．1
7．设经过点的直线与抛物线相交于两点，若线段中点的横坐标为，则
A． B． C． D．
8．若，则的值为
A． B． C． D．
9．疫情期间，一同学通过网络平台听网课，在家坚持学习.某天上午安排了四节网课，分别是数学，语文，政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育.现在，他准备在上午下午的课程中各任选一节进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的概率为
A． B． C． D．
10．已知的定义域是，，且.当时，，则函数在区间上的所有零点之和为
A．2 B．4 C．6 D．8
11．已知直线的倾斜角为，直线与双曲线 的左、右两支分别交于 两点，且都垂直于轴（其中 分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
12．已知函数，若在上恒成立，则实数a的最小值为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知实数满足，则的最大值为_________．
14．二项式的展开式的常数项为________.
15．直三棱柱内有一个体积为的球，若是边长为的等边三角形，，则的最大值为________
16．下列说法：
①函数的零点只有1个且属于区间；
②若关于的不等式恒成立，则；
③函数的图像与函数的图像有3个不同的交点；
④函数的最小值是1．
正确的有__________．（请将你认为正确说法的序号都写上）
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必做题：共60分．
17．（12分）已知等差数列的前项和为，且满足：，.
（Ⅰ）求等差数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
18．（12分）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.
（Ⅰ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望.
19．（12分）如图，四棱锥的底面为矩形，是四棱锥的高，与平面PAD所成角为45 ，是的中点，E是BC上的动点．
（Ⅰ）证明：PE⊥AF；
（Ⅱ）若BC=2AB，PE与AB所成角的余弦值为，求
二面角D-PE-B的余弦值．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若过点的直线交椭圆于两点，求(为原点)面积的最大值．
21．（12分）已知函数．
（Ⅰ）设函数，当时，证明：当时，；
（Ⅱ）若有两个不同的零点，求的取值范围.
（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.
（Ⅰ）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若时不等式成立，求的取值范围.
宜宾市叙州区2022-2023学年高三下学期开学考试
数 学（理工类）参考答案：
1．D 2．B 3．B 4．A 5．A 6．D 7．C 8．D 9．C 10．D 11．D 12．D
13． 14．﹣80 15． 16．①④
17．（Ⅰ）设等差数列的首项为、公差为，∵，，
∴，解得：，∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，
所以
.
18．解：（Ⅰ）两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，
两人都付0元的概率为，两人都付40元的概率为，
两人都付80元的概率为，
故两人所付费用相同的概率为.
（Ⅱ）由题设甲、乙所付费用之和为，可能取值为0，40，80，120，160，则：
，，
，，
.
的分布列为：
0 40 80 120 160
.
19．解：（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系．设，则，于是，，
则，所以．
（Ⅱ）设则,
若，则由得， 设平面的法向量为，
由，得：，于是，而设二面角D-PE-B为，则为钝角 所以，
20．（Ⅰ） 根据题意知离心率，即．因为，
所以，整理得，①又由椭圆经过点，
可得，即，②联立①②，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）由题意，易知直线的斜率存在，
设直线的方程为，
则，得，由，得，
设，则，
所以
，
点到直线的距离，
所以．
令，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，此时的面积的最大值为．
21．（Ⅰ），
所以在上为单调递增函数，且，当时，.
（Ⅱ）设函数，则，
令，当时，当时，，
当时，，得，所以当时，，
在上为单调递增函数，此时至多有一个零点，
至多一个零点不符合题意舍去.当时，有，
此时有两个零点，设为，且．又因为，，
所以.得在，为单调递增函数，
在上为单调递减函数，且，所以，，
又因为，，且图象连续不断，
所以存在唯一，使得，
存在唯一，使得，又因为，
所以，当有两个不同的零点时，.
22．解：（Ⅰ）由得的普通方程为．
由参数方程可得，
两式相乘得普通方程为．
（Ⅱ）将代入中解得，故P点的直角坐标为．
设P点的极坐标为，由得，，．
故所求圆的直径为，
所求圆的极坐标方程为，即．
23．（Ⅰ）当时，，即，所以不等式等价于或或，解得：．故不等式的解集为．
（Ⅱ）当时，成立等价于当时，成立．
若，则当时，；
若，由得，，解得：，所以，故．
综上，的取值范围为．
数 学（理工类）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3． 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 考试结束后，请将答题卡交回。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，则
A． B． C． D．
2．复数的虚部是
A． B． C． D．
3．某班组织奥运知识竞赛，将参加竞赛的学生成绩整理得下边的频率分布直方图，若低于60分的有9人，则该班参加竞赛的学生人数是
A．27 B．30 C．45 D．60
4．已知向量，，，则实数
A． B． C． D．
5．在中，内角、、所对的边分别为、、，，，，则的值等于
A． B． C． D．
6．已知函数在点处的切线经过原点，则实数
A． B．0 C． D．1
7．设经过点的直线与抛物线相交于两点，若线段中点的横坐标为，则
A． B． C． D．
8．若，则的值为
A． B． C． D．
9．疫情期间，一同学通过网络平台听网课，在家坚持学习.某天上午安排了四节网课，分别是数学，语文，政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育.现在，他准备在上午下午的课程中各任选一节进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的概率为
A． B． C． D．
10．已知的定义域是，，且.当时，，则函数在区间上的所有零点之和为
A．2 B．4 C．6 D．8
11．已知直线的倾斜角为，直线与双曲线 的左、右两支分别交于 两点，且都垂直于轴（其中 分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
12．已知函数，若在上恒成立，则实数a的最小值为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知实数满足，则的最大值为_________．
14．二项式的展开式的常数项为________.
15．直三棱柱内有一个体积为的球，若是边长为的等边三角形，，则的最大值为________
16．下列说法：
①函数的零点只有1个且属于区间；
②若关于的不等式恒成立，则；
③函数的图像与函数的图像有3个不同的交点；
④函数的最小值是1．
正确的有__________．（请将你认为正确说法的序号都写上）
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必做题：共60分．
17．（12分）已知等差数列的前项和为，且满足：，.
（Ⅰ）求等差数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
18．（12分）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.
（Ⅰ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望.
19．（12分）如图，四棱锥的底面为矩形，是四棱锥的高，与平面PAD所成角为45 ，是的中点，E是BC上的动点．
（Ⅰ）证明：PE⊥AF；
（Ⅱ）若BC=2AB，PE与AB所成角的余弦值为，求
二面角D-PE-B的余弦值．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若过点的直线交椭圆于两点，求(为原点)面积的最大值．
21．（12分）已知函数．
（Ⅰ）设函数，当时，证明：当时，；
（Ⅱ）若有两个不同的零点，求的取值范围.
（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.
（Ⅰ）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若时不等式成立，求的取值范围.
宜宾市叙州区2022-2023学年高三下学期开学考试
数 学（理工类）参考答案：
1．D 2．B 3．B 4．A 5．A 6．D 7．C 8．D 9．C 10．D 11．D 12．D
13． 14．﹣80 15． 16．①④
17．（Ⅰ）设等差数列的首项为、公差为，∵，，
∴，解得：，∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，
所以
.
18．解：（Ⅰ）两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，
两人都付0元的概率为，两人都付40元的概率为，
两人都付80元的概率为，
故两人所付费用相同的概率为.
（Ⅱ）由题设甲、乙所付费用之和为，可能取值为0，40，80，120，160，则：
，，
，，
.
的分布列为：
0 40 80 120 160
.
19．解：（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系．设，则，于是，，
则，所以．
（Ⅱ）设则,
若，则由得， 设平面的法向量为，
由，得：，于是，而设二面角D-PE-B为，则为钝角 所以，
20．（Ⅰ） 根据题意知离心率，即．因为，
所以，整理得，①又由椭圆经过点，
可得，即，②联立①②，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）由题意，易知直线的斜率存在，
设直线的方程为，
则，得，由，得，
设，则，
所以
，
点到直线的距离，
所以．
令，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，此时的面积的最大值为．
21．（Ⅰ），
所以在上为单调递增函数，且，当时，.
（Ⅱ）设函数，则，
令，当时，当时，，
当时，，得，所以当时，，
在上为单调递增函数，此时至多有一个零点，
至多一个零点不符合题意舍去.当时，有，
此时有两个零点，设为，且．又因为，，
所以.得在，为单调递增函数，
在上为单调递减函数，且，所以，，
又因为，，且图象连续不断，
所以存在唯一，使得，
存在唯一，使得，又因为，
所以，当有两个不同的零点时，.
22．解：（Ⅰ）由得的普通方程为．
由参数方程可得，
两式相乘得普通方程为．
（Ⅱ）将代入中解得，故P点的直角坐标为．
设P点的极坐标为，由得，，．
故所求圆的直径为，
所求圆的极坐标方程为，即．
23．（Ⅰ）当时，，即，所以不等式等价于或或，解得：．故不等式的解集为．
（Ⅱ）当时，成立等价于当时，成立．
若，则当时，；
若，由得，，解得：，所以，故．
综上，的取值范围为．
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