7.3 复数的三角表示
拓展练习
（2019·上海市建平中学高二期中）设复数若则的最小值为_________.
【答案】
【解析】因为
则
设
由参数方程可知,动点P的轨迹方程为
所以表示点A与点B到圆上任意一点的距离之和
设直线的方程为,代入可得
,解方程可得
所以直线的方程为
圆心到直线的距离为
因为
所以直线与圆相切,设切点为M
则当P与M重合时,取得最小值
所以
故答案为：
（2019·上海中学高三）已知复数的实部大于零，且满足，的虚部为2．
（1）求复数；
（2）设在复平面上的对应点分别为，求的值．
【答案】（1） （2）-2
【解析】（1）由及已知条件得：，,所以，
又复数的实部大于零，，
（2）由（1）知，
所以，所以，故得解.
（2019·上海市建平中学高三）已知复数，，为虚数单位，.
（1）若为实数，求的值；
（2）若复数、对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
因为为实数，所以，所以，又因为，所以；
（2）因为，，
所以，
又因为存在使等式成立，
所以在上有解，
所以在上有解，又因为，所以，
所以，解得.
（2021·新疆模拟）定义运算： ，若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 .
【答案】
【考点】复数代数形式的混合运算，复数求模
【解析】由 可得 ，
设 ，
，
则 ，
故
故答案为：
【分析】设 ， 根据定义运算得出（a-b)+(a+b)i=2，可求出a,b值，再根据复数模长求法即可得出。
（2020高二上·南平期末）若复数 为纯虚数（ 为虚数单位），则实数 ________.
【答案】 6
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】 为纯虚数， .
故答案为:6.
【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．
（2021·奉贤模拟）已知 ( 是虚数单位)是方程 的一个根，则 .
【答案】 1
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】 ，
，解得 ，
。
故答案为：1。
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数是方程的根结合代入法，进而结合复数相等，从而求出a的值，再利用复数与共轭复数的关系求出复数的共轭复数，再利用复数的加减法运算法则结合复数求模公式，进而求出所求复数的模。
（2021高一下·吉林月考）复数 ， 满足 ， ，则 .
【答案】 1
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用
【解析】解：∵
∴可设z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，
则由 得(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=3
整理，得2cosαcosβ+2sinαsinβ=-1
则 |z1+z2|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2+2cosαcosβ+2sinαsinβ=1
则|z1+z2|=1
故答案为：1
【分析】根据复数的几何意义，以及复数的三角函数式，结合同角三角函数的基本关系求解即可
（2021高一下·重庆期末）已知复数 满足 （ 为虚数单位）， ．则一个以 为根的实系数一元二次方程为 ．
【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】解：∵复数 满足
∴ ，
即∴ ，
故 ．
若实系数一元二次方程有虚根 ，则必有共轭虚根 ，
∵ ， ，
∴所求的一个一元二次方程可以是 ．
故答案为：
【分析】 由 复数 满足 （ 为虚数单位） ，利用复数的运算法则可得 ， 再利用复数的运算法则可得 ， 再利用实数系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系即可得出答案。
（2021·义乌模拟）已知 是虚数单位.若 为实数，则 ， 的最小值为 .
【答案】 2；4
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，复数代数形式的混合运算，复数求模
【解析】 ，则 ，而 ，所以 ，即 2；
， ，当且仅当a=2b ， 即a=2，b=1时取“=”，
所以 的最小值为4.
故答案为：2；4
【分析】由已知条件即可得出 2；，再由复数模的定义结合基本不等式即可求出最小值。
（2021高二下·嘉兴期末）设复数 （ ）满足 （ 是虚数单位），则 ， .
【答案】 ；
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】①因为 ，所以 ，又因为 ，根据复数相等的充要条件知 ，所以 ；②因为 ，所以 .
故答案为: ;
【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出答案.
（2018·上海交大附中高二期末）设为关于的方程的虚根，为虚数单位.
（1）当时，求的值；
（2）若，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，试求的取值范围.
【答案】（1），；（2）；
【解析】（1）当时，
方程的两根分别为：
，即，
（2）当时，方程为 ，为方程的两根
设，则，
设，，
其中，
即的取值范围为
将下列复数代数式化为三角式：
（1）； （2）.
（3）； （4） .
【答案】见解析
【解析】（1）=；
（2）=.
（3）=；
（4）=
当时
∴
当时
∴
=.7.3 复数的三角表示
拓展练习
（2019·上海市建平中学高二期中）设复数若则的最小值为_________.
（2019·上海中学高三）已知复数的实部大于零，且满足，的虚部为2．
（1）求复数；
（2）设在复平面上的对应点分别为，求的值．
（2019·上海市建平中学高三）已知复数，，为虚数单位，.
（1）若为实数，求的值；
（2）若复数、对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围.
（2021·新疆模拟）定义运算： ，若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 .
（2020高二上·南平期末）若复数 为纯虚数（ 为虚数单位），则实数 ________.
（2021·奉贤模拟）已知 ( 是虚数单位)是方程 的一个根，则 .
（2021高一下·吉林月考）复数 ， 满足 ， ，则 .
（2021高一下·重庆期末）已知复数 满足 （ 为虚数单位）， ．则一个以 为根的实系数一元二次方程为 ．
（2021·义乌模拟）已知 是虚数单位.若 为实数，则 ， 的最小值为 .
（2021高二下·嘉兴期末）设复数 （ ）满足 （ 是虚数单位），则 ， .
（2018·上海交大附中高二期末）设为关于的方程的虚根，为虚数单位.
（1）当时，求的值；
（2）若，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，试求的取值范围.
将下列复数代数式化为三角式：
（1）； （2）.
（3）； （4） .
练习答案
【答案】
【解析】因为
则
设
由参数方程可知,动点P的轨迹方程为
所以表示点A与点B到圆上任意一点的距离之和
设直线的方程为,代入可得
,解方程可得
所以直线的方程为
圆心到直线的距离为
因为
所以直线与圆相切,设切点为M
则当P与M重合时,取得最小值
所以
故答案为：
【答案】（1） （2）-2
【解析】（1）由及已知条件得：，,所以，
又复数的实部大于零，，
（2）由（1）知，
所以，所以，故得解.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
因为为实数，所以，所以，又因为，所以；
（2）因为，，
所以，
又因为存在使等式成立，
所以在上有解，
所以在上有解，又因为，所以，
所以，解得.
【答案】
【考点】复数代数形式的混合运算，复数求模
【解析】由 可得 ，
设 ，
，
则 ，
故
故答案为：
【分析】设 ， 根据定义运算得出（a-b)+(a+b)i=2，可求出a,b值，再根据复数模长求法即可得出。
【答案】 6
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】 为纯虚数， .
故答案为:6.
【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．
【答案】 1
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】 ，
，解得 ，
。
故答案为：1。
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数是方程的根结合代入法，进而结合复数相等，从而求出a的值，再利用复数与共轭复数的关系求出复数的共轭复数，再利用复数的加减法运算法则结合复数求模公式，进而求出所求复数的模。
【答案】 1
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用
【解析】解：∵
∴可设z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，
则由 得(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=3
整理，得2cosαcosβ+2sinαsinβ=-1
则 |z1+z2|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2+2cosαcosβ+2sinαsinβ=1
则|z1+z2|=1
故答案为：1
【分析】根据复数的几何意义，以及复数的三角函数式，结合同角三角函数的基本关系求解即可
【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】解：∵复数 满足
∴ ，
即∴ ，
故 ．
若实系数一元二次方程有虚根 ，则必有共轭虚根 ，
∵ ， ，
∴所求的一个一元二次方程可以是 ．
故答案为：
【分析】 由 复数 满足 （ 为虚数单位） ，利用复数的运算法则可得 ， 再利用复数的运算法则可得 ， 再利用实数系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系即可得出答案。
【答案】 2；4
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，复数代数形式的混合运算，复数求模
【解析】 ，则 ，而 ，所以 ，即 2；
， ，当且仅当a=2b ， 即a=2，b=1时取“=”，
所以 的最小值为4.
故答案为：2；4
【分析】由已知条件即可得出 2；，再由复数模的定义结合基本不等式即可求出最小值。
【答案】 ；
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】①因为 ，所以 ，又因为 ，根据复数相等的充要条件知 ，所以 ；②因为 ，所以 .
故答案为: ;
【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出答案.
【答案】（1），；（2）；
【解析】（1）当时，
方程的两根分别为：
，即，
（2）当时，方程为 ，为方程的两根
设，则，
设，，
其中，
即的取值范围为
【答案】见解析
【解析】（1）=；
（2）=.
（3）=；
（4）=
当时
∴
当时
∴
=.
