8.3简单几何体的表面积与体积
拓展练习
（2021高三上·商丘开学考）已知某圆锥被一过该圆锥顶点的平面所截得到的几何体的正视图与侧视图如图所示，若该圆锥的顶点与底面圆周都在球 的球面上，则球 的表面积为 ．
（2021高一下·河北期末）已知一圆锥的侧面展开图是半径为 的半圆，则该圆锥的体积是 ．
（2021高二上·广州期中）已知四棱锥 的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且 平面ABCD.若四棱锥 的体积为 ，则球O的表面积为 .
（2020高一上·兰州期末）如果三个球的表面积之比是 ，那么它们的体积之比是________．
（2021高一下·河北期中）长方体 中， ， ， ，则三棱锥 的体积为 .
（2020高二上·嘉兴期末）一个正方体的顶点都在球面上，若该正方体的棱长为2，则球的体积是________.
（2021·河北模拟）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上下底面的半径分别为3和4，圆台的高为7，则该球的表面积为 .
（2020高二上·台州期末）己知圆锥的底面积为 ，高为 ，则这个圆锥的侧面积为________cm2 ， 圆锥的内切球（与圆锥的底面和各母线均相切的球）的表面积为________cm2.
（2021高二下·安徽月考）如图，三棱锥 中， 底面 是边长为2的正三角形， ，则三棱锥 的外接球的表面积为 ．
（2021·衡阳模拟）设圆锥的顶点为 ， 为圆锥底面圆 的直径，点 为圆 上的一点（异于 、 ），若 ，三棱锥 的外接球表面积为 ，则圆锥的体积为 .
（2021·江西模拟）如图，在平行六面体 中，所有棱长均为a，且 ，点E在楼 上，且 ，平面α过点E且平行于平面 ，则平面α与平行六面体 各表面交线围成的多边形的面积是 .
（2021·遂宁模拟）设球的半径为 ，该球的内接圆锥(顶点在球面上，底面为某平面与球的截面)的体积为 ，则 的最大值为 .
（2021高三上·浙江月考）一圆锥母线长为定值 ，母线与底面所成角大小为 ，求当圆锥体积 最大时， .
（2020·宝鸡模拟）沿正三角形 的中线 翻折，使点 与点 间的距离为 ，若该正三角形边长为 ，则四面体 外接球表面积为________.
（2021·株洲模拟）粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为 的正四棱锥，则这个粽子的表面积为 .现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为 .
练习答案
【答案】
【考点】由三视图还原实物图，球的体积和表面积
【解析】【解答】该几何体如图所示，由正视图和侧视图可知，底面圆弧所在圆的半径为 ，且 ， .
，设球 的半径为 ，由球的性质可知， ，解得 ，故球 的表面积为 .
故答案为：
【分析】 首先利用三视图和几何体的直观图之间的转换转换为直观图,进一步求出几何体的外接球的球心和半径，最后利用球的表面积公式求出结果.
【答案】
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】设该圆锥底面圆的半径为 ，高为 ，母线长为 ，则 ， ，解得： ，
， 该圆锥的体积是 ．
故答案为： .
【分析】根据侧面展开图可确定母线长和底面圆半径，由此求得圆锥的高，根据圆锥体积公式可求得结果。
【答案】 24π
【考点】球的体积和表面积
【解析】解：正方形ABCD面积 ，
∵四棱锥 的体积 ，
∴ ， ，
球 的半径
球 的表面积：
【分析】根据题意由四棱锥的体积公式代入数值计算出边的大小，然后由勾股定理计算出球的半径，再把结果代入到球的表面积公式计算出结果即可。
【答案】
【考点】球的体积和表面积
【解析】∵三个球的表面积之比是 ，∴三个球的半径之比是 ，∴三个球的体积之比是 。
【分析】利用球的表面积公式结合已知条件三个球的表面积之比是 ， 从而求出球的半径之比，再利用球的体积公式，从而求出三个球的体积之比。
【答案】 1
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】因为长方体 中，侧棱和底面垂直，
因此 即为三棱锥 的高，
所以三棱锥 的体积为 。
故答案为：1。
【分析】因为长方体 中，侧棱和底面垂直，因此 即为三棱锥 的高，再利用三棱锥的体积公式，进而求出三棱锥的体积。
【答案】
【考点】球的体积和表面积，球内接多面体
【解析】由题意可得该球为正方体的外接球，正方体的体对角线即为球的直径，
设球的半径为 ，则 ，
所以 ，
所以球的体积为 ，
故答案为： .
【分析】根据题意可知球为正方体的外接球，并且正方体的体对角线即为球的直径；结合已知的边长代入到正方体对角线公式计算出结果即可求出球的半径，再把数值代入到球的体积公式计算出结果即可。
【答案】
【考点】球的体积和表面积
【解析】设圆台的上下底面圆心分别为 、 ，在上下底面圆周上分别取点 ，
连接 、 、 、 、 、 ，如图，
设 ，则 ，
所以 ， ，
由 可得 ，解得 ，
所以该球的半径 ，
所以该球的表面积 .
故答案为： .
【分析】 由已知条件即可得出，圆台的轴截面ABCD是球的大圆的内接等腰梯形，且球心在梯形上下底边的中点连线上O1 ， O2 ， 取球心为O，利用△AOO2与△DOO1用半径表示出梯形的高7，得到R的方程，求解即可.
【答案】 2π；
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，球的体积和表面积
【解析】设圆锥底面圆的半径为 ，母线长为 ，
由题意可得 ，可得 ，
由勾股定理可得： ，
所以圆锥的侧面积为 ，
作圆锥的轴截面如图所示： 、 分别与圆 相切于 两点，
设圆 半径为 ，连接 ，则 ，
过点 作 ，则 ， ，
所以 ，
所以 ，即 ，解得： ，
所以圆锥的内切球半径为 ，
所以圆锥的内切球的表面积为 ，
故答案为：2π；
【分析】先求出圆锥底面圆的半径，结合高 ， 利用勾股定理可以求出圆锥的母线，再利用侧面积公式即可求侧面积，作圆锥的截面，利用相似三角形对应边成比例，求出内切圆的半径，即为圆锥内切球的半径，即可求出球的表面积。
【答案】 16π
【考点】球的体积和表面积
【解析】如图，设三棱锥 的外接球球心为O ， 半径为R ， 为 的外接圆圆心，因为 边长为2的正三角形，所以 ，
因为 底面 ， ，所以 ，
所以 ，
所以外接球表面积为 。
故答案为：。
【分析】设三棱锥 的外接球球心为O ， 半径为R ， 为 的外接圆圆心，因为 三角形 边长为2的正三角形，再利用外心的定义结合正三角形的性质，再由勾股定理求出 ，因为 底面 ， ，所以 ，再利用勾股定理求出外接球的半径，再结合球的表面积公式，从而求出外接球的表面积。
【答案】 24π或8π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】设圆锥 的外接球球心为 ，则 在直线 上，
设球 的半径为 ，则 ，解得 .
由勾股定理得 ，即 ，可得 ，
即 ，解得 或 .
当 时，圆锥 的体积为 ；
当 时，圆锥 的体积为 .
故答案为：24π或8π.
【分析】画出圆锥的直观图，判断三棱锥的外接球与圆锥的外接球相同，求解外接球的半径，然后求解圆锥的高，即可得到圆锥的体积。
【答案】
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】如图，符合条件的截面是六边形EFGHMN，
，且六边形内角均为 ，
连接EG，GM，ME，可知△EGM为等边三角形，
，
所以面积为 .
故答案为： ．
【分析】 由题意可得符合条件的截面是六边形EFGHMN然后画出图形，且 ，且六边形内角均为 ，进而可以求解.
【答案】
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，球的体积和表面积
【解析】依题意可知，圆锥与球的轴截面如图：
设圆锥的底面圆半径为 ，高为 ，
则 ，即 ，
所以 ，
求导可得 ，
当 时， ，当 时， ，
于是 在 上单调递增，在 单调递减，
所以当 时，体积取得最大值为 .
故答案为：
【分析】 先根据圆锥与球的组合确定球心位置，结合球的性质及体积公式表示出V的值，再由导数知识求解相应函数的最大值，即可求解.
【答案】
【考点】利用导数研究函数的单调性，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】如图，设圆锥的高为h ， 底面半径为r ， 则
，
∴
由
又 得 ，即 ，∴
∴ 时， ，递增； 时， ，递减.
∴ 时，V最大，
故答案为：
【分析】设圆锥的高为h ， 底面半径为r ， 则 ， ， 根据棱锥的体积公式可得 ， 求导可得 ， 根据导数的符号可得单调性，进而求出 时，V最大。
【答案】 7π
【考点】球的体积和表面积，正弦定理
【解析】由题意，折叠后的四面体中，AD⊥CD，AD⊥DB，CD DB=D，AD⊥面BCD，
且AB＝AC＝2，在 中， AD＝ 且BC＝ ，
设△BCD的外心为N，外接圆半径r，过N作MN⊥平面BDC，过A作AM DN，则四边形ADNM为矩形，
MN＝AD＝ ，∵△BDC中，BD＝DC＝1，BC＝ ，故∠BDC＝120°，
由正弦定理可得， ＝2r，即r＝1，则可得外接球球心O在MN的中点，R2＝ON2+r2＝ ＝ ，
四面体A﹣BCD的外接球表面积S＝4πR2＝ 。
故答案为：7π。
【分析】利用翻折的方法结合已知条件得出立体几何图形，再利用正三角形三线合一结合中点的性质，推出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，即AD⊥面BCD，因为AB＝AC＝2，在 中，结合勾股定理求出 AD＝ 且BC＝ ，设△BCD的外心为N，外接圆半径r，过N作MN⊥平面BDC，过A作AM DN，则四边形ADNM为矩形，MN＝AD＝ ，∵△BDC中，BD＝DC＝1，BC＝ ，故∠BDC＝120°，再利用正弦定理的性质求出三角形外接圆的半径，则可得外接球球心O在MN的中点，再利用勾股定理求出四面体 外接球的半径，再利用球的表面积公式求出四面体 外接球表面积。
【答案】 ；
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】正四棱锥的表面积为 ，
如下图所示：
设正四棱锥 底面 的中心为点 ，则 底面 ，
， ，
，
设正四棱锥 的内切球球心为 ，球 的半径为 ，
由
，
所以， ，所以， .
故答案为： ； .
【分析】 由三角形面积公式求出侧面积，再由正方形面积公式求得底面积，则表面积可求；求出正四棱锥的高，再由等体积法求内切球的半径，作比得答案．8.3简单几何体的表面积与体积
拓展练习
（2021高三上·商丘开学考）已知某圆锥被一过该圆锥顶点的平面所截得到的几何体的正视图与侧视图如图所示，若该圆锥的顶点与底面圆周都在球 的球面上，则球 的表面积为 ．
【答案】
【考点】由三视图还原实物图，球的体积和表面积
【解析】【解答】该几何体如图所示，由正视图和侧视图可知，底面圆弧所在圆的半径为 ，且 ， .
，设球 的半径为 ，由球的性质可知， ，解得 ，故球 的表面积为 .
故答案为：
【分析】 首先利用三视图和几何体的直观图之间的转换转换为直观图,进一步求出几何体的外接球的球心和半径，最后利用球的表面积公式求出结果.
（2021高一下·河北期末）已知一圆锥的侧面展开图是半径为 的半圆，则该圆锥的体积是 ．
【答案】
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】设该圆锥底面圆的半径为 ，高为 ，母线长为 ，则 ， ，解得： ，
， 该圆锥的体积是 ．
故答案为： .
【分析】根据侧面展开图可确定母线长和底面圆半径，由此求得圆锥的高，根据圆锥体积公式可求得结果。
（2021高二上·广州期中）已知四棱锥 的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且 平面ABCD.若四棱锥 的体积为 ，则球O的表面积为 .
【答案】 24π
【考点】球的体积和表面积
【解析】解：正方形ABCD面积 ，
∵四棱锥 的体积 ，
∴ ， ，
球 的半径
球 的表面积：
【分析】根据题意由四棱锥的体积公式代入数值计算出边的大小，然后由勾股定理计算出球的半径，再把结果代入到球的表面积公式计算出结果即可。
（2020高一上·兰州期末）如果三个球的表面积之比是 ，那么它们的体积之比是________．
【答案】
【考点】球的体积和表面积
【解析】∵三个球的表面积之比是 ，∴三个球的半径之比是 ，∴三个球的体积之比是 。
【分析】利用球的表面积公式结合已知条件三个球的表面积之比是 ， 从而求出球的半径之比，再利用球的体积公式，从而求出三个球的体积之比。
（2021高一下·河北期中）长方体 中， ， ， ，则三棱锥 的体积为 .
【答案】 1
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】因为长方体 中，侧棱和底面垂直，
因此 即为三棱锥 的高，
所以三棱锥 的体积为 。
故答案为：1。
【分析】因为长方体 中，侧棱和底面垂直，因此 即为三棱锥 的高，再利用三棱锥的体积公式，进而求出三棱锥的体积。
（2020高二上·嘉兴期末）一个正方体的顶点都在球面上，若该正方体的棱长为2，则球的体积是________.
【答案】
【考点】球的体积和表面积，球内接多面体
【解析】由题意可得该球为正方体的外接球，正方体的体对角线即为球的直径，
设球的半径为 ，则 ，
所以 ，
所以球的体积为 ，
故答案为： .
【分析】根据题意可知球为正方体的外接球，并且正方体的体对角线即为球的直径；结合已知的边长代入到正方体对角线公式计算出结果即可求出球的半径，再把数值代入到球的体积公式计算出结果即可。
（2021·河北模拟）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上下底面的半径分别为3和4，圆台的高为7，则该球的表面积为 .
【答案】
【考点】球的体积和表面积
【解析】设圆台的上下底面圆心分别为 、 ，在上下底面圆周上分别取点 ，
连接 、 、 、 、 、 ，如图，
设 ，则 ，
所以 ， ，
由 可得 ，解得 ，
所以该球的半径 ，
所以该球的表面积 .
故答案为： .
【分析】 由已知条件即可得出，圆台的轴截面ABCD是球的大圆的内接等腰梯形，且球心在梯形上下底边的中点连线上O1 ， O2 ， 取球心为O，利用△AOO2与△DOO1用半径表示出梯形的高7，得到R的方程，求解即可.
（2020高二上·台州期末）己知圆锥的底面积为 ，高为 ，则这个圆锥的侧面积为________cm2 ， 圆锥的内切球（与圆锥的底面和各母线均相切的球）的表面积为________cm2.
【答案】 2π；
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，球的体积和表面积
【解析】设圆锥底面圆的半径为 ，母线长为 ，
由题意可得 ，可得 ，
由勾股定理可得： ，
所以圆锥的侧面积为 ，
作圆锥的轴截面如图所示： 、 分别与圆 相切于 两点，
设圆 半径为 ，连接 ，则 ，
过点 作 ，则 ， ，
所以 ，
所以 ，即 ，解得： ，
所以圆锥的内切球半径为 ，
所以圆锥的内切球的表面积为 ，
故答案为：2π；
【分析】先求出圆锥底面圆的半径，结合高 ， 利用勾股定理可以求出圆锥的母线，再利用侧面积公式即可求侧面积，作圆锥的截面，利用相似三角形对应边成比例，求出内切圆的半径，即为圆锥内切球的半径，即可求出球的表面积。
（2021高二下·安徽月考）如图，三棱锥 中， 底面 是边长为2的正三角形， ，则三棱锥 的外接球的表面积为 ．
【答案】 16π
【考点】球的体积和表面积
【解析】如图，设三棱锥 的外接球球心为O ， 半径为R ， 为 的外接圆圆心，因为 边长为2的正三角形，所以 ，
因为 底面 ， ，所以 ，
所以 ，
所以外接球表面积为 。
故答案为：。
【分析】设三棱锥 的外接球球心为O ， 半径为R ， 为 的外接圆圆心，因为 三角形 边长为2的正三角形，再利用外心的定义结合正三角形的性质，再由勾股定理求出 ，因为 底面 ， ，所以 ，再利用勾股定理求出外接球的半径，再结合球的表面积公式，从而求出外接球的表面积。
（2021·衡阳模拟）设圆锥的顶点为 ， 为圆锥底面圆 的直径，点 为圆 上的一点（异于 、 ），若 ，三棱锥 的外接球表面积为 ，则圆锥的体积为 .
【答案】 24π或8π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】设圆锥 的外接球球心为 ，则 在直线 上，
设球 的半径为 ，则 ，解得 .
由勾股定理得 ，即 ，可得 ，
即 ，解得 或 .
当 时，圆锥 的体积为 ；
当 时，圆锥 的体积为 .
故答案为：24π或8π.
【分析】画出圆锥的直观图，判断三棱锥的外接球与圆锥的外接球相同，求解外接球的半径，然后求解圆锥的高，即可得到圆锥的体积。
（2021·江西模拟）如图，在平行六面体 中，所有棱长均为a，且 ，点E在楼 上，且 ，平面α过点E且平行于平面 ，则平面α与平行六面体 各表面交线围成的多边形的面积是 .
【答案】
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】如图，符合条件的截面是六边形EFGHMN，
，且六边形内角均为 ，
连接EG，GM，ME，可知△EGM为等边三角形，
，
所以面积为 .
故答案为： ．
【分析】 由题意可得符合条件的截面是六边形EFGHMN然后画出图形，且 ，且六边形内角均为 ，进而可以求解.
（2021·遂宁模拟）设球的半径为 ，该球的内接圆锥(顶点在球面上，底面为某平面与球的截面)的体积为 ，则 的最大值为 .
【答案】
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，球的体积和表面积
【解析】依题意可知，圆锥与球的轴截面如图：
设圆锥的底面圆半径为 ，高为 ，
则 ，即 ，
所以 ，
求导可得 ，
当 时， ，当 时， ，
于是 在 上单调递增，在 单调递减，
所以当 时，体积取得最大值为 .
故答案为：
【分析】 先根据圆锥与球的组合确定球心位置，结合球的性质及体积公式表示出V的值，再由导数知识求解相应函数的最大值，即可求解.
（2021高三上·浙江月考）一圆锥母线长为定值 ，母线与底面所成角大小为 ，求当圆锥体积 最大时， .
【答案】
【考点】利用导数研究函数的单调性，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】如图，设圆锥的高为h ， 底面半径为r ， 则
，
∴
由
又 得 ，即 ，∴
∴ 时， ，递增； 时， ，递减.
∴ 时，V最大，
故答案为：
【分析】设圆锥的高为h ， 底面半径为r ， 则 ， ， 根据棱锥的体积公式可得 ， 求导可得 ， 根据导数的符号可得单调性，进而求出 时，V最大。
（2020·宝鸡模拟）沿正三角形 的中线 翻折，使点 与点 间的距离为 ，若该正三角形边长为 ，则四面体 外接球表面积为________.
【答案】 7π
【考点】球的体积和表面积，正弦定理
【解析】由题意，折叠后的四面体中，AD⊥CD，AD⊥DB，CD DB=D，AD⊥面BCD，
且AB＝AC＝2，在 中， AD＝ 且BC＝ ，
设△BCD的外心为N，外接圆半径r，过N作MN⊥平面BDC，过A作AM DN，则四边形ADNM为矩形，
MN＝AD＝ ，∵△BDC中，BD＝DC＝1，BC＝ ，故∠BDC＝120°，
由正弦定理可得， ＝2r，即r＝1，则可得外接球球心O在MN的中点，R2＝ON2+r2＝ ＝ ，
四面体A﹣BCD的外接球表面积S＝4πR2＝ 。
故答案为：7π。
【分析】利用翻折的方法结合已知条件得出立体几何图形，再利用正三角形三线合一结合中点的性质，推出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，即AD⊥面BCD，因为AB＝AC＝2，在 中，结合勾股定理求出 AD＝ 且BC＝ ，设△BCD的外心为N，外接圆半径r，过N作MN⊥平面BDC，过A作AM DN，则四边形ADNM为矩形，MN＝AD＝ ，∵△BDC中，BD＝DC＝1，BC＝ ，故∠BDC＝120°，再利用正弦定理的性质求出三角形外接圆的半径，则可得外接球球心O在MN的中点，再利用勾股定理求出四面体 外接球的半径，再利用球的表面积公式求出四面体 外接球表面积。
（2021·株洲模拟）粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为 的正四棱锥，则这个粽子的表面积为 .现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为 .
【答案】 ；
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】正四棱锥的表面积为 ，
如下图所示：
设正四棱锥 底面 的中心为点 ，则 底面 ，
， ，
，
设正四棱锥 的内切球球心为 ，球 的半径为 ，
由
，
所以， ，所以， .
故答案为： ； .
【分析】 由三角形面积公式求出侧面积，再由正方形面积公式求得底面积，则表面积可求；求出正四棱锥的高，再由等体积法求内切球的半径，作比得答案．
