2023届河南省洛阳市名校高三下学期开学摸底考试理科数学试题（含解析）

2023届河南省洛阳市名校高三下学期开学摸底考试
理科数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数z满足，则复数的模是( )
A. B.2i C. D.2
3.已知向量，，，若，则( )
A.1 B.2 C.-2 D.-1
4.已知在数列中，，且，则的通项公式为( ).
A. B. C. D.
5.设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则( )
A.2 B. C.3 D.
6.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的( )
A.3 B.2 C.-2 D.-3
7.在正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )
A.平面平面 B.平面平面
C.平面平面 D.平面平面
8.已知数列满足，，，数列满足，则数列的前2021项的和为( )
A. B.
C. D.
9.已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为( )
A. B. C. D.
10.荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且沿逆时针方向跳的概率是沿顺时针方向跳的概率的2倍，如图所示.假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是( )
A. B. C. D.
11.已知双曲线的下、上焦点分别为，点M在C的下支上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为D.若恒成立，则C的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.已知定义在R上的偶函数满足，且当时，，则下面结论正确的是( ).
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某个微信群在某次进行的抢红包活动中，若某人所发红包的总金额为15元，被随机分配为3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，甲、乙、丙、丁4人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲 乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率为________.
14.若直线与圆相离，则m的取值范围是__________.
15.设函数，直线为图象的对称轴，为的零点，且的最小正周期大于，则_________.
16.已知函数，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积.
18.如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为60°.设M，N分别为AE，BC的中点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.
19.近年来，国民经济的增长和社会结构的变化推动宠物饲养成为很多人精神消费的主要方式，使得近几年中国宠物市场规模逐年增长，下表为2016~2020年中国宠物市场规模y(单位:千亿元)，其中2016~2020年对应的年份代码x依次为1~5.
年份代码x 1 2 3 4 5
宠物市场规模y/千亿元 1.22 1.34 1.78 2.21 2.95
(1)由表中数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明;
(2)求y关于x的线性回归方程，并预测2022年中国宠物市场规模.
参考数据：.
参考公式:相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
20.已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4.
（1）求椭圆C的标准方程
（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
21.已知函数在处的切线方程为.
（1）求实数a的值;
（2）设的一个正根为m，当，且时，证明:.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4 – 4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)设l与C相交于A，B两点，点P是C上任意一点，求面积最大时点P的坐标.
23.[选修4 – 5：不等式选讲]
已知函数.
(I)当时，求不等式的解集;
(Ⅱ)若恒成立，求a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为，所以.
2.答案：A
解析：，故，的模为，
故选：A.
3.答案：D
解析：因为向量，，所以，因为，所以，可得，故选D.
4.答案：A
解析：，，由，得，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
，即.故选A.
5.答案：B
解析：解法一：如图，由题意可知，设，则由抛物线的定义可知.因为，所以由，可得，解得，所以或.不妨取，则，故选B.
解法二：由题意可知，，所以.因为抛物线的通径长为，所以AF的长为通径长的一半，所以轴，所以，故选B.
6.答案：D
解析：当输入的时，
，，；
，，，；
，，，；
，，，；
，，，；
，，，；
，，，，输出.
故选：D.
7.答案：A
解析：如图，对于选项A，在正方体中，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以，又，所以，又易知，，从而平面，又平面，所以平面平面，故选项A正确；对于选项B，因为平面平面，所以由选项A知，平面平面不成立，故选项B错误；对于选项C，由题意知直线与直线必相交，故平面与平面不平行，故选项C错误；对于选项D，连接，，易知平面平面，又平面与平面有公共点，所以平面与平面不平行，故选项D错误.故选A.
8.答案：D
解析：因为，故数列为等比数列.又因为，，所以，则，所以，故选D.
9.答案：D
解析：因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以.因为，所以，所以.取AC的中点D，连接BD，PD，易证平面BDP，所以，又，AC， 平面PAC，所以平面PAC，所以，.因为，为正三角形，所以，即PA，PB，PC两两垂直.将三棱锥放在正方体中如图所示.因为，所以该正方体的棱长为，所以该正方体的体对角线长为，所以三棱锥的外接球的半径，所以球O的体积，故选D.
10.答案：A
解析：由题意，知青蛙沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是.青蛙跳三次要回到A叶上只有两条途径：第一条，按，此时停在A叶上的概率.第二条，按，此时停在A叶上的概率.所以跳三次之后停在A叶上的概率.
11.答案：A
解析：设，则点到渐近线的距离.
由双曲线的定义可得，故，则的最小值为，
由恒成立，得恒成立，即，即，即，即，故.故选A.
12.答案：A
解析：由，知是周期函数，且周期为6，
，
，，
，
又，易知在内单调递增，
.故选A.
13.答案：
解析：由题意可得，甲、乙二人抢到的金额的基本事件总数为，，，，，共6种，
“甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元”包含，，共3种，
甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率.
故答案为：.
14.答案：或
解析：设圆心到直线的距离为d，则，
圆的半径，
因为直线与圆相离，所以，
即，所以，解得或，
故答案为：或.
15.答案：
解析：函数的最小正周期T大于.又直线为图象的对称轴，为的零点，.将零点代入中有，又当时，.
16.答案：
解析：由得
由题意得，函数与函数的图象恰有2个公共点，作出函数的图象，如图，再作出直线，它始终过原点，设直线与相切，切点为，由知，切线斜率为，切线方程为，
把代入得，所以切线斜率为，设与相切，则，即，解得舍去)，由图可得实数m的取值范围是或.
17.答案：（Ⅰ）
（Ⅱ）22
解析：（Ⅰ）由正弦定理，得.
因为，所以，
又，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
因为，所以，所以，
所以.
因为，即，
所以，
所以.
18.答案：（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）因为ABCD是直角梯形，，
所以，即，
因为CDEF是直角梯形，，
所以，即.
如图，在AB边上作，连接DH，易得，
在中，因为，所以，.
在DC边上作，连接EG，易得，
在中，因为，所以，.
易知二面角的平面角为，又，故为等边三角形，
又N为BC的中点，所以.
因为，，，所以平面BCF.
又平面BCF，所以.
因为，，故平面ABCD，
又平面ABCD，故.
（Ⅱ）如图，取AD的中点K，连接NK，以N为坐标原点，
以NK，NB，NF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面ADE的法向量为，
则，即，
取，则，，即是平面ADE的一个法向量.
设直线BM与平面ADE所成角为，
因为，
所以.
19.答案：(1)因为y与x的相关系数近似为0.971，趋近于1，说明y与x的线性相关程度相当强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系
(2)；2022年中国宠物市场规模为3.632千亿元
解析：(1)由题意得，，
，
.
因为y与x的相关系数近似为0.971，趋近于1，说明y与x的线性相关程度相当强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系.
(2)由(1)得，
，
所以y关于x的线性回归方程为，
2022年对应的年份代码为7，代入，得，
所以预测2022年中国宠物市场规模为3.632千亿元.
20.答案：(1)标准方程为.
(2)过定点.
解析：(1)M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，
，
四边形OMPN的周长为，
，
，
，
椭圆C的标准方程为.
(2)设，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
代入，整理得，
则，
.
易知，
，
化简得，
或(舍去)，
直线l的方程为，即，直线l过定点.
当直线l的斜率不存在时，设，
代入，解得，
由得，
，解得或(舍去)，
此时直线l过点.
综上，直线l过定点.
21、（1）答案：
解析：，
∴函数在处的切线的斜率，
，
解得.
（2）答案：见解析
解析：证明:令，
则，在上单调递增.
又，
即的一个大于1的零点.
令，
则.
设，
则在上单调递减，，
，
在上单调递减，
∴当，且时，，
即，
即，
∴当，且时，
.
22.答案：(1)曲线C的直角坐标方程为；直线l的普通方程为.
(2)坐标为.
解析：(1)由，得.
将代入上式，得，
所以曲线C的直角坐标方程为.
由(t为参数)，消去参数t得直线l的普通方程为.
(2)设曲线C的参数方程为(为参数)，
点P的坐标为，
则点P到直线l的距离.
又直线l与C相交于A，B两点，为定值，
所以当时，点P到直线l的距离最大，为，此时的面积最大，
所以当面积最大时点P的坐标为.
23.答案：(I)或
(Ⅱ)
解析：(I)当时，
等价于或或
解得或，
∴不等式的解集为或.
(Ⅱ)易知，
∴若恒成立，
则，即，
或，
解得，
的取值范围为.