4.1.1基本关系式 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
同角三角函数的基本关系
第1课时
新知探究
测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般是转化为直角三角形模型．
根据勾股定理有sin2α＋cos2α＝12，即sin2α＋cos2α＝1，
问题1　数学是美的，其中一个重要的原因在于数学中存在十分美妙的数量关系，如勾股定理反映了直角三角形的三边之间的美妙关系．
sin α
cos α
α
1
若直角三角形斜边为1，锐角α的对边为sinα、邻边为cosα，在这个直角三角中，你能得出什么关系？
另外还有tan α＝ ．
新知探究
问题2　观察单位圆，利用三角函数分析角α的正弦、余弦和正切之间存在什么关系？
y
x
O
P (cos α,sin α)
α
1
M
综上可知：sin2α＋cos2α＝1和tanα＝ ．
sinαy，cosα所以sin2α＋cos2α＝1．
新知探究
同角三角函数基本关系式
平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
商数关系：tanα＝ ，（α≠kπ＋ ，k∈Z）．
新知探究
问题3　同角三角函数的基本关系式对任意角都成立吗？
问题4　“sin2α”的含义是什么？
sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，
而tan α＝ 仅对α≠ ＋kπ（k∈Z）成立．
sin2α是(sin α)2的简写，不能写成sinα2．
新知探究
问题5　“同角”的含义是什么？
这里“同角”有两层含义，一是“角相同”．
如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．
二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）都成立，即与角的表达形式无关．
新知探究
问题6　同角三角函数基本关系式的变形有哪些？
（1）sin2α＋cos2α＝1的变形公式
sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α．
（2）tanα＝ 的变形公式
sinα＝cosαtanα；cosα＝ ．
新知探究
问题7　已知sinα＝ ，角α的终边在第二象限，如何求cosα与tanα的值？
所以
因为sinα＝ ，角α的终边在第二象限，
例1　已知cosα＝ ，求sinα，tanα的值．
初步应用
解析：①当α在第二象限，则sinα＞0，
②当α在第三象限，则sin α＜0，
初步应用
若已知sinα或cosα，求其它角的函数值，可以利用平方关系和商数关系求解，但需要注意角的范围．
方法总结
例2　已知tanα＝m（m≠0），求sinα和cosα的值．
初步应用
解析：因为sin2α＋cos2α＝1，tanα＝ 　 　＝m，
所以|cos α|＝
若α在第一象限或第四象限，
若α在第二象限或第三象限，
例2　已知tanα＝m（m≠0），求sinα和cosα的值．
初步应用
综上所述：
初步应用
（2）当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题，而对角θ分区间（象限）讨论．
（1）已知tanθ求sinθ（或cos θ）常用以下方式求解．
方法总结
初步应用
例3　如图，点A，B在圆O上，且点A位于第一象限，圆O与x正半轴的交
点是C，点B的坐标为 ，∠AOC＝α，若||＝1，求sinα的值．
y
x
O
A
B
C
α
解析：半径
由三角函数定义知，点A的坐标为(cosα，sinα)．
∵点B的坐标为　　　　，||＝1，
∴
初步应用
例3　如图，点A，B在圆O上，且点A位于第一象限，圆O与x正半轴的交
点是C，点B的坐标为 ，∠AOC＝α，若||＝1，求sinα的值．
y
x
O
A
B
C
α
整理得：－6sinα＋8cosα＝5，又cos2α＋sin2α＝1，
又∵点A位于第一象限，
解得
或
∴ 　　　　　　　．
∴0＜α＜ ，
初步应用
利用同角三角函数基本关系式求sinα、cosα的值时，容易忽视角α范围，造成sinα、cosα漏解或多解的错误．
方法总结
归纳小结
（1）同角三角函数的基本关系的内容是什么？
（2）已知三角函数值求其他三角函数值的方法是什么？
问题8　回归本节的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳．
（1）同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
（2）①若已知sinα＝m，可以先利用公式cosα＝±求得cosα的值，
②若已知cosα＝m，可以先利用公式sinα＝±求得sinα的值，
再由公式tanα＝ 求得tanα的值．
再由公式tanα＝ 求得tan α的值．
作业布置
作业：教科书第142页，A组第1题、第2题．
1
目标检测
B
已知α是第四象限角，cosα＝ ，则sinα等于（　　）
A．
C．
D．
B．
解析：∵sin2α＋cos2α＝1，
又∵α是第四象限角，
∴sin2α＝1－cos2α＝1－　　　　　，
∴sinα＜0，故sinα＝ 　　．
2
目标检测
D
已知cosθ＝ ，且 ＜θ＜2π，则 的值为（　　）
A．
C．
D．
B．
所以tanθ＝ ，故　　　　　 ．
解析：由于cosθ＝ ，且 ＜θ＜2π．
所以sin θ＝
3
目标检测
已知sinθ＝ ，且sinθ－cosθ＞1，则tanθ等于________．
解析：因为sinθ－cosθ＞1，所以cosθ＜0，
所以cosθ＝ ，
所以tanθ＝ ．
4
目标检测
若＝ ，．求 的值．
解析：由，
可得sinα＝ ，cosα＝ ，
故原式＝