6.4.3.2正弦定理 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
6.4　平面向量的应用
6.4.3　余弦定理、正弦定理
第2课时　正弦定理
问题提出
1. 余弦定理的内容是什么？用它可以解哪些类型的三角形？
A
B
C
a
b
c
c2=a2+b2-2abcosC,
a2=b2+c2-2bccosA,
b2=a2+c2-2accosB.
问题提出
2. 在三角形中，若已知两个内角和一边，怎样解这个三角形？
A
B
C
a
b
c
探究：正弦定理及推导
思考1：在Rt△ABC中,∠C=900. 锐角A、B的正弦与边a、b、c有什么等量关系？联系角C的正弦，你有什么发现？
C
B
A
a
b
c
探究：正弦定理及推导
思考2在Rt△ABC中, 则有 成立,在非直角三角形ABC中有这样的关系吗
A
B
C
a
b
c
探究:(1)若三角形是锐角三角形,如下图,
过点C作CD⊥AB于D,
D
此时有　
所以CD=asinB=bsinA, 即
同理
E
探究：正弦定理及推导
且
仿(1)可得
D
（2）若三角形是钝角三角形,且角B是钝角,如下图,
此时也有
过点C作CD⊥AB，交AB延长线于D,
B
C
b
a
A
c
思考3：由上知:在△ABC中,
各边和它所对角的正弦的比相等, 即
你还有什么办法证明这个结论？
探究：正弦定理及推导
证明2：
O
D
c
b
a
C
B
A
作外接圆O,设它的半径为R.
过B作直径BD,连AD,
（外接圆的直径）
探究：正弦定理及推导
A
B
C
a
b
c
证明3：
设i是与AB垂直的单位向量.
思考4：在△ABC中, 各边和它所对角的正弦的比相等,即
这个结论称为正弦定理. 那么利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？
①已知两角和一边，求其他角和边.
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.
探究：正弦定理
探究：运用正弦定理解三角形
已知两角及一边解三角形
例1 在△ABC中，已知c =10, A=45。, C=30。，
解三角形.
B
A
C
a
b
c
解：
B=1800-450-300=1050
由正弦定理得
探究：运用正弦定理解三角形
已知两边及其中一边的对角
解：由正弦定理
得
所以
Ｂ＝60°,
或Ｂ＝120°
当Ｂ＝60°时
C=90 °,
例2 在△ABC中，已知a=16, b= , A=30°.
解三角形.
C=30°,
当Ｂ＝120°时
B
16
300
A
B
C
16
3
16
变式训练
1.在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，
解三角形.
解　因为B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.
变式训练
2.在△ABC中，已知c＝ ，A＝45°，a＝2，
解三角形.
∵0°延伸探究
若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，
则角A有几个值？
在△ABC中，已知 a, b, A，解三角形。若b, A为定值，当a满足什么条件时，有两解、一解，可能无解吗？
D
A
B
C
a
b
c
结论探究：
（1）当a（2）当a=bsinA或a≥b时， 有且只有一解；
（3）当bsinA1.当A为锐角时：
2.当A为直角或钝角时：
（1）当a≤b时,无解；
（2）当a>b时,有且只有一解；
反思拓展:
探究：用正弦定理定三角形形状
例3在△ABC中，已知 ，且sin2A＋sin2B
＝sin2C.求证：△ABC为等腰直角三角形.
∴a2＝b2即a＝b，
又∵sin2A＋sin2B＝sin2C，
∴△ABC为等腰直角三角形.
∴a2+b2＝c2，
变式训练
在△ABC中，已知2sin Acos B＝sin C，试判断
△ABC的形状.
解析　方法一　(利用边的关系进行判断)
由正弦定理和余弦定理，
即a2＋c2－b2＝c2，即a2＝b2，故a＝b.
变式训练
在△ABC中，已知2sin Acos B＝sin C，试判断
△ABC的形状.
解析 方法二　(利用角的关系进行判断)
因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，
即C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin(A＋B).
由2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，
得2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin Acos B－cos Asin B＝0，所以sin(A－B)＝0.
因为－π所以△ABC是等腰三角形.
归纳总结
（2)已知两边和一边的对角解三角形时,可能
有一解、两解、无解的情况, 注意具体问题
具体分析.
1.正弦定理：
＝
2R
A
B
C
a
b
c
2.运用余弦定理解三角形
(1)已知两角及一边解三角形
作业布置
1. P48 练习1, 2, 3.
2.基础训练 P50