6.5垂直关系 第4课时 课件（共20张PPT）

(共17张PPT)
6.5 垂直关系
第4课时
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问题1　在过程建设中，建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直，即若紧贴墙面的铅垂的线垂直地面，则确定墙面与地面垂直，否则不垂直，“紧贴墙面的线”这句话的实质意义是什么？
此线在墙所在的平面内，即平面过另一平面的垂线，则两平面垂直．
新知探究
垂直．
问题3　若要判断两平面是否垂直，根据问题2能否得出一个方法？
可以，
只需在一平面内找一直线垂直于另一平面即可．
问题2　当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系？
新知探究
问题4　你能语言和符号表示平面与平面垂直的判定定理吗？
如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．
简记： α⊥β．
α
β
m
A
O
新知探究
问题5　过已知平面的垂线，有几个平面和已知平面垂直？
过已知平面的垂线，和已知平面垂直的平面有无数个．
α
β
m
A
O
γ
例1　如图所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四个侧面都是矩形．
初步应用
证明：由四边形BB1C1C是矩形，得CC1⊥BC．
同理可得CC1⊥CD．
又BC∩CD＝C，CD 平面ABCD，因此CC1⊥平面ABCD．
又CC1 平面BB1C1C，于是平面BB1C1C⊥平面ABCD．
求证：平面BB1C1C⊥平面ABCD．
A
B
C
D
C1
D1
B1
A1
例2　如图所示，在四面体A1－ABC中，A1A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AA1＝AB．
初步应用
（1）四面体A1－ABC中有几组相互垂直的平面？
（2）求二面角A－A1B－C和A1－BC－A的大小．
A
B
C
A1
解析：（1）四面体A1－ABC中有3组互相垂直的平面．
因为A1A⊥平面ABC，A1A 平面A1AC，A1A 平面A1AB，
所以平面ABC⊥平面A1AC，平面ABC⊥平面A1AB．
因为A1A⊥平面ABC，所以A1A⊥BC，
又因为AB⊥BC，AB∩A1A=A，且AB，A1A 平面A1AB，
所以BC⊥平面A1AB，又因为BC 平面A1BC，故平面A1AB⊥平面A1BC．
例2　如图所示，在四面体A1－ABC中，A1A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AA1＝AB．
初步应用
（1）四面体A1－ABC中有几组相互垂直的平面？
（2）求二面角A－A1B－C和A1－BC－A的大小．
A
B
C
A1
解析：（2）由(1)知二面角A－A1B－C等于90°．
又AB⊥BC，所以∠A1AB即为二面角A1－BC－A的平面角．
因为BC⊥平面A1AB，A1B 平面A1AB，所以BC⊥A1B，
因为又A1A⊥AB，且AA1＝AB，所以∠A1AB=45°，即平面A1－BC－A的二面角为45°．
课堂练习
练习：教科书第230页练习1，2，3．
归纳小结
（1）证明平面与平面垂直的方法是什么？
（2）空间中线、面的垂直关系是如何转化的？
问题11　本节课我们学面与平面垂直的判定定理及其应用，请你通过下列问题，归
纳所学知识．
（1）证明平面与平面垂直的方法：
①利用定义：证明二面角的平面角为直角；
②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
（2）转化关系如下：
作业布置
作业：教科书第235页练习1，2，3，4．
1
目标检测
B
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（　　）
A．平面DD1C1C
B．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB
解析： ∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，又A1D∩A1B1＝A1，
∴AD1⊥平面A1DB1．
故选：B．
2
目标检测
C
在棱长都相等的四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是（　　）
A．BC∥平面PDF
C．平面PDF⊥平面ABC
B．DF⊥平面PAE
D．平面PAE⊥平面ABC
解析：可画出对应图形，如图所示，则BC∥DF，
由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，
又DF 平面ABC，
故选：C．
又DF 平面PDF，故A成立；
∴DF⊥平面PAE，故B成立；
∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立．
3
目标检测
面面垂直的判定定理
如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以
了，其原理是利用了__________________________．
解析：如图所示，
因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB β，OC β，且OB∩OC＝O，
根据线面垂直的判定定理，
可得OA⊥β，又OA α，
根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β．
4
目标检测
如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．
（1）求证：BD∥平面FGH；
（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．
证明：（1）因为DEF－ABC是三棱台，且AB＝2DE，
因为点G，H分别是AC，BC的中点，
因为AB 平面FGH，GH 平面FGH，
因为EF∥BH且EF＝BH，
所以AB∥平面FGH．
所以四边形BHFE是平行四边形，
因为BE 平面FGH，HF 平面FGH，
所以BC＝2EF，AC＝2DF．
所以GH∥AB．
所以BE∥平面FGH；
所以BE∥HF．
4
目标检测
如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．
（1）求证：BD∥平面FGH；
（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．
又因为AB∩BE＝B，
因为BD 平面ABE，
（2）因为AB＝2DE，
因为H是BC的中点，
所以BC＝2EF，
又HC∥EF，
所以平面ABE∥平面FGH，
所以BD∥平面FGH．
所以四边形HCFE是平行四边形，
所以HC＝ BC＝EF，
所以HE∥CF．
4
目标检测
如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．
（1）求证：BD∥平面FGH；
（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．
因为CF⊥BC，
因为GH∥AB，AB⊥BC，
因为GH∩HE＝H，
又BC 平面BCD，
所以BC⊥平面EGH．
所以平面BCD⊥平面EGH．
所以HE⊥BC．
所以GH⊥BC．