一、定义
1.若，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数y= f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则=( )
A． B． C． D．0
3. 已知函数，则函数的解析式是 ；
4、已知,则等于( )
A.0 B.-4 C.-2 D.2
5、如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ； ．（用数字作答）
6、将半径为的球加热，若球的半径增加，则球体积的平均变化率为【 】
A. B.
C. D .
7、若，则 .
二． 涉及切线的试题
1、已知直线y=x+1与曲线相切，则a的值为( )
A.1 B. 2 C.-1 D.-2
2、已知函数在R上满足，则曲线
在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
3、若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ( )
A．或 B．或 C．或 D．或
4、设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 .5、设函数 (a,b∈Z)，曲线在点处的切线方程为y=3.
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.
6、偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.
7、求下列各函数的导数：
（1） （2）
（3） （4）
一．直接考查概念的试题
1、如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ；
2、 ．（用数字作答）
3、将半径为的球加热，若球的半径增加，则球体积的平均变化率为【 】
A. B.
C. D .
4、若，则 .
二．涉及单调性的试题
1、函数的单调递增区间是 ( )
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
2、函数的单调减区间为 .3、若上是减函数，则的取值
范围是 （ ）
A. B. C. D.
三．涉及切线的试题
1、已知直线y=x+1与曲线相切，则a的值为( )
A.1 B. 2 C.-1 D.-2
2、已知函数在R上满足，则曲线
在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
3、若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ( )
A．或 B．或 C．或 D．或
4、设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 .
四．涉及极值与最值的试题
1、若函数在处取极值，则
2、已知与是定义在上的连续函数，如果与仅
当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是 （ ）
A．0是的极大值，也是的极大值
B．0是的极小值，也是的极小值
C．0是的极大值，但不是的极值
D．0是的极小值，但不是的极值
3、函数的定义域为开区间，导函数在内的图象
4、如图所示，则函数在开区间内有极小值点 （ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D． 4个
5、已知函数在区间上的最大值与最小值分别
为，则 ．
6、函数在区间上的最小值是 ．
五．涉及方程的根（函数零点）的试题
1、设函数则 ( )
A在区间内均有零点。
B在区间内均无零点。
C在区间内有零点，在区间内无零点。
D在区间内无零点，在区间内有零点。
六．定积分
1、设函数，若，，则的值为 ．
2、由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、等于（ ）
A． B. 2 C. -2 D. +2
4、已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为和（如图所示）．那么对于图中给定的和，下列判断中一定正确的是 （ ）
A．在时刻，甲车在乙车前面
B．时刻后，甲车在乙车后面
C．在时刻，两车的位置相同
D．时刻后，乙车在甲车前面
5．求由围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区
A．［0，］ B．［0，2］ C．［1，2］ D．［0，1］
6．已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为【 】
A． B． C． D．
7. 曲线与坐标轴围成的面积是【 】
A.4 B. C.3 D.2
8．=【 】
A． B．2e C． D．
9．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为【 】
A． B． C． D．
10.下列各式中，正确的是【 】
A. B.
C. D.
11.若 则的值是【 】
A.6 B. 4 C.3 D.2
12. 等于【 】
A. B. C. D.2
13.是一次函数，且，那么的解析式是
A. B.
C. D.
14.由轴及围成的图形的面积为【 】
A. B. C. D.1
17．由直线，曲线及轴所围图形的面积为【 】
A. B. C. D.
18 由抛物线和直线所围成图形的面积为________________．
A组
1．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是( )
A．2 B．1 C．0 D．由a确定
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞)
3．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像是( )
4．设函数f(x)＝＋ln x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点
5．已知函数y＝x3－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝( )
A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或1
6．若f(x)＝，e
A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b) C．f(a)1
7．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________．
8．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为________．
9．已知a＝，b＝，若函数f(x)＝a·b，则函数f(x)的单调递减区间是________．
10．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(x∈R)，已知F(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数，且F(1)＝－11.
(1)求b、c、d的值；
(2)求F(x)的单调区间与极值．
11．(2012·重庆高考)设f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
12．已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值.
(1)求a，b的值；
(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．
B组
1．已知函数f(x)＝ax3－bx，其中a与b分别是椭圆x2＋＝1的短半轴长与长半轴长，则函数f(x)的极大值与极小值分别为( )
A．2与1 B．2与－2
C．1与－1 D．1与－2
2．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是( )
A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(e)>f(d)
3．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.
(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的极值．
导数的应用(一)答 案
A组
1．选C f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，则f(x)在R上是增函数，故不存在极值点．
2．选D 由题意知，f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由f′(x)>0得x>2.
3．选D 因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(1)＋f′(1)＝0；选项D中，f(1)>0，f′(1)>0，不满足f′(1)＋f(1)＝0.
4．选D 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝，当x＝2时，f′(x)＝0；
当x>2时，f′(x)>0，函数f(x)递增；当05．选A 设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.
6．选A f′(x)＝，当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上是减少的，f(a)>f(b)．
7．解析：f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m2－12×(m＋6)>0.所以m>6或m<－3.
答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)
8．解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x.由此可得f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，
所以对m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
答案：－4
9．解析：由f(x)＝a·b＝x2＋，知函数的定义域为{x|x≠0}，令f′(x)＝x－＝<0，得x<1.又x≠0，递减区间为(－∞，0)和(0,1)．
答案：(－∞，0)和(0,1)
10．解：(1)因为f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，
所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
从而F(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx＋d－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x＋(d－c)，由F(x)是奇函数，得d－c＝0，b－3＝0，故b＝3，d＝c.
又由F(1)＝－11可得1＋(b－3)＋(c－2b)＋(d－c)＝－11，即b－d＝9，
所以d＝c＝－6.
(2)由(1)知F(x)＝x3－12x，
从而F′(x)＝3x2－12，
令3x2－12＝0，得x＝±2，
由F′(x)＝3x2－12>0，得x>2或x<－2，
由F′(x)＝3x2－12<0，得－2故(－∞，－2)和(2，＋∞)是函数F(x)的单调递增区间，(－2,2)是函数F(x)的单调递减区间．
F(x)在x＝－2时，取得极大值，极大值为16，F(x)在x＝2时，取得极小值，极小值为－16.
11．解：(1)因f(x)＝aln x＋＋x＋1，
故f′(x)＝－＋.
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，
即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，
解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)，
f′(x)＝－－＋
＝＝.
令f′(x)＝0，
解得x1＝1，x2＝－因x2＝－不在定义域内，舍去．
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上是减少的；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上是增加的．
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.
12．解：(1)∵f′(x)＝2ax＋.
又f(x)在x＝1处有极值.
∴即
解得a＝，b＝－1.
(2)由(1)可知f(x)＝x2－ln x，其定义域是(0，＋∞)，
且f′(x)＝x－＝.
由f′(x)<0，得0由f′(x)>0，得x>1.
所以函数y＝f(x)的单调减区间是(0,1)，
单调增区间是(1，＋∞)．
B组
1．选B 由已知得a＝1，b＝3，
故f(x)＝x3－3x
f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．
列出关于x，f′(x)，f(x)的表格如下：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
由上表可知，f(x)在x＝－1时，取得极大值，极大值为f(－1)＝2；f(x)在x＝1时，取得极小值，极小值为f(1)＝－2.
2．选C 依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又a所以f(c)>f(b)>f(a)．
3．解：(1)令f′(x)＝3x2－2ax＋3≥0，
则a≤在[1，＋∞)上恒成立．
∴a≤min＝3(当x＝1时取最小值)．
即a的取值范围是(－∞，3]．
(2)∵f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，
∴a＝5，f(x)＝x3－5x2＋3x，f′(x)＝3x2－10x＋3.
令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝.
当3时，f′(x)>0，
即x＝时f(x)取极大值f＝，当x＝3时，f(x)取极小值f(3)＝－9.
A组
1．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是( )
A．0 B. C. D.
2．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若aA．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b) C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)
3．(2012·山西适应性训练)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为( )
A．1百万件 B．2百万件 C．3百万件 D．4百万件
4．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为________．
5．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．
6．已知函数f(x)＝x2＋ln x.
(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图像在g(x)＝x3＋x2的下方．
7．定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋2同时满足以下条件：
①f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；
②f′(x)是偶函数；
③f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝·ex，求函数g(x)在[m，m＋1]上的最小值．
8．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；
(提示：利润＝产值－成本)
(2)年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么．
B组
1．已知函数f(x)＝(x2－3x＋3)ex，x∈[－2，t](t>－2)．
(1)当t<1时，求函数y＝f(x)的单调区间；
(2)设f(－2)＝m，f(t)＝n，求证：m2．已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数，设e为自然对数的底数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值；
(3)当a＝－1时，试推断方程|f(x)|＝＋是否有实数解．
选修2-2第一章《导数及共其应用》练习二答 案
A组
1．选B f′(x)＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令f′(x)＝0，∴x＝1.
又f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，∴f(1)为最大值．
2．选A ∵xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0，∴′＝≤≤0.
则函数在(0，＋∞)上是单调递减的，由于03．选C 依题意得，y′＝－3x2＋27＝－3(x－3)(x＋3)，当00；当x>3时，y′<0.因此，当x＝3时，该商品的年利润最大．
4．解析：设截去的正方形的边长为x，则容积V＝(48－2x)2x＝4(x3－48x2＋242x)(05．解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图，观察得－26．解：(1)∵f(x)＝x2＋ln x，∴f′(x)＝2x＋.
∵x＞1时，f′(x)＞0，故f(x)在[1，e]上是增函数，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.
(2)证明：令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－x3＋ln x，
∴F′(x)＝x－2x2＋＝＝＝.
∵x＞1，∴F′(x)＜0.
∴F(x)在(1，＋∞)上是减函数．∴F(x)＜F(1)＝－＝－＜0，即f(x)＜g(x)．
∴当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图像总在g(x)的图像的下方．
7．解：(1)f′(x)＝ax2＋2bx＋c，
由题意知即解得
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x3－x＋2.
(2)g(x)＝·ex＝(x－2)ex. g′(x)＝ex＋(x－2)ex＝(x－1)ex.
令g′(x)＝0，解得x＝1.当x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0，所以函数g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
当m≥1时，在[m，m＋1]上， g(x)单调递增，g(x)min＝g(m)＝(m－2)em；
当m<1当m＋1≤1，即m≤0时，在[m，m＋1]上，g(x)单调递减，g(x)min＝g(m＋1)＝(m－1)em＋1.
综上，函数g(x)在[m，m＋1]上的最小值
g(x)min＝
8．解：(1)由题意知，P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋x3 240x－5 000(x∈N，且1≤x≤20)；
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3 275(x∈N，且1≤x≤19)．
(2)由(1)可得，P′(x)＝－30x2＋90x＋3 240＝－30(x－12)(x＋9)，
∵x>0，∴P′(x)＝0时，x＝12，
当00，当x>12时，P′(x)<0，
∴x＝12时，P(x)有最大值．即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．
(3)由(1)知，MP(x)＝－30x2＋60x＋3 275＝－30(x－1)2＋3 305.
∴当x≥1时，MP(x)单调递减，∴边际利润函数MP(x)的单调递减区间为[1,19]，且x∈N＋.
MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘船的利润相比，利润在减少．
B组
1．解：(1)f′(x)＝(2x－3)ex＋ex(x2－3x＋3)＝exx(x－1)，
①当－2②当00，f(x)单调递增，
当x∈(0，t]时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
综上，当－2当0(2)证明：依题意得m＝f(－2)＝13e－2，n＝f(t)＝(t2－3t＋3)et，
设h(t)＝n－m＝(t2－3t＋3)et－13e－2，t>－2，
h′(t)＝(2t－3)et＋et(t2－3t＋3)＝ett(t－1)(t>－2)．
故h(t)，h′(t)随t的变化情况如下表：
t
(－2,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
h′(t)
＋
0
－
0
＋
h(t)
?
极大值
?
极小值
?
由上表可知h(t)的极小值为h(1)＝e－＝>0，又h(－2)＝0，故当t>－2时，h(t)>h(－2)＝0，即h(t)>0，因此，n－m>0，即m2．解：(1)∵当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋＝.
当00；当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的，∴f(x)max＝f(1)＝－1.
(2)∵f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈.
①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增加的，
∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意．
②若a<－，则由f′(x)>0 得a＋>0，即0由f′(x)<0得a＋<0，即－从而f(x)在上是增加的，在上是减少的．
∴f(x)max＝f＝－1＋ln.令－1＋ln＝－3，则ln＝－2，
∴－＝e－2，即a＝－e2.∵－e2<－，∴a＝－e2为所求．
(3)由(1)知，当a＝－1时，f(x)max＝f(1)＝－1，∴|f(x)|≥1.
又令g(x)＝＋，则g′(x)＝，
令g′(x)＝0，得x＝e，
当00，g(x)在(0，e)上单调递增；
当x>e时，g′(x)<0，g(x)在(e，＋∞)上单调递减．
∴g(x)max＝g(e)＝＋<1.
∴g(x)<1
∴|f(x)|>g(x)，即|f(x)|>＋.
∴当a＝－1时，方程|f(x)|＝＋没有实数解．
