安徽省合肥市肥东县综合高中2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题（含解析）

肥东县综合高中2022-2023学年高二下学期开学考试
数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在平行六面体中，，，且，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3. 已知两个向量，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4. 如图，过边长为的正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成的二面角的大小是( )
A. B. C. D.
5. 若直线的斜率为，经过点，，则直线和的位置关系是( )
A. 平行 B. 垂直 C. 相交不垂直 D. 重合
6. 点为圆上的动点，是圆的切线，，则点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
7. 画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆若椭圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 已知双曲线的离心率为，直线与交于，两点，若线段的中点为，则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中不正确的是( )
A. B. 平面
C. 向量与的夹角是 D. 直线与所成角的余弦值为
10. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点，直线与相交于点则下列结论正确的是( )
A. 圆的半径为 B. 的最小值为
C. 当时， D. 为定值
11. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，直线：与抛物线交于，两点，则( )
A. 抛物线的准线方程为 B. 点到直线的距离为
C. D.
12. 过椭圆的焦点，且垂直于长轴的弦长为，则( )
A. 椭圆方程为 B. 椭圆方程
C. 过焦点且长度为的弦有条 D. 过焦点且长度为的弦只有一条
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 若向量，，，且向量，，共面，则______．
14. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上，则圆的方程为 ．
15. 已知抛物线的方程为：，为抛物线的焦点，倾斜角为的直线过点交抛物线于，两点，则线段的长为______．
16. 达芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”从年轻时起，他就本能地把这些主题运用在作品中．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案如图，把三片这样的达芬奇方砖形成图的组合，这个组合表达了图所示的几何体．若图中每个正方体的棱长为，则点到直线的距离是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且，是与的交点．
求证：平面；
在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由．
18. 本小题分如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点．
用，，表示向量；
在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由．
19. 本小题分已知点，关于原点对称，点在直线上，，圆过点，且与直线相切，设圆心的横坐标为．
求圆的半径；
已知点，当时，作直线与圆相交于不同的两点，，已知直线不经过点，且直线，斜率之和为，求证：直线恒过定点．
20. 本小题分已知圆心在轴上的圆与直线切于点
求圆的标准方程
已知，经过原点且斜率为正数的直线与圆交于，求的最大值．
21. 本小题分已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上的一点，且，的面积为．
求椭圆的短轴长；
过原点的直线与椭圆交于，两点，点是椭圆上的一点，若为等边三角形，求的取值范围．
22. 本小题分如图，平面上，，两点间距离为，为的中点，现一动点，它在运动过程中始终保持到点的距离比到点的距离大共面，请建立适当的平面直角坐标系．
求出动点运动的轨迹方程；
当的面积为时，在内画一个圆，求可画出圆的最大面积．
答案和解析
1. 【解析】如图，由，
得
，
．

2. 【解析】 ，与夹角的余弦值为，
在 上的投影向量为．故选D．
3. 【解析】，
存在实数使得，
解得，，，
则．故选C．
4. 【解析】以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，
则，．
设平面的法向量为．
则有可取，
又平面的法向量为，
所以，
结合图形知：平面与平面所成的锐二面角为．故选B．
5. 【解析】因为直线经过点，，
所以直线的斜率为：，
又因为，所以两直线垂直，故选：．
6. 【解析】点为圆上的动点，是圆的切线，，
作图可知圆心到点距离为，
所以在以为圆心，以为半径的圆上，
其轨迹方程为．故选B．
7. 【解析】由题意，可得，
，即椭圆为，
．故选：．
8.
【解析】设，，
则
两式相减得，
线段的中点为，
，，
，
又，
，
直线的斜率为，
直线的方程为，即．故选B．
9. 【解析】在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，
所以，
故，
整理得：，故A错误；
对于：由于底面为菱形，所以，
由于，
所以，，且，平面故BD平面，故B正确；
对于：由于，为等边三角形，
所以和的夹角为，故向量与的夹角是，故C错误；
对于：，，
易解得，，
由于，
所以，故D正确．故本题选AC．
10. 【解析】对于，设圆的半径为，因为圆与直线相切，
所以，故选项正确；
对于，要使取最小值，则圆心到直线 的距离最大，
因为直线过定点，所以，
此时，故选项正确；
对于，当直线的方程为 ，
圆心到直线的距离，
所以直线被圆所截的弦长，
故选项正确；
对于，当直线的斜率不存在时，点，则，
又因为，所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，得，所以，
所以，故选项错误，故选：．
11. 【解析】由题意，，所以准线方程为，正确；
，，正确；
联立得，由韦达定理：
所以，所以，错误；
，D错误；故选 AB．
12. 【解析】因为过椭圆的焦点，且垂直于长轴的弦长为，
所以，解得
因此椭圆的方程为，因此不正确，B正确；
因为过焦点且长度为的弦所在直线的斜率显然存在，且不为，
所以设直线的方程为，直线与椭圆交于，，
则．
由得 ，
因为，
所以，，
因此
，
所以由得，即，
即直线的方程为，因此C正确；
因为椭圆的长轴长为，而，
所以过焦点且长度为的弦不存在，因此不正确．故选BC．
13.
【解析】 ， ， 共面，且易知 ， 不共线，
存在实数，使得 ，
解得．
14.
【解析】因为，，所以线段的中点坐标为，
直线的斜率，
因此线段的垂直平分线方程是：，即．
圆心的坐标是方程组的解，解此方程组得：
所以圆心的坐标是．
圆的半径长，
所以圆心为的圆的标准方程是．
故答案为：
15.
【解析】，直线的方程为．
联立方程组，消元得：，
设，，所以，
则．故答案为：．
16.
【解析】建立空间直角坐标系如图，则，，，
，，，
，点到直线的距离是．
故答案为：．

17.证：如图，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
因为是的中点，所以，
因为，所以，
所以，
，，设平面的一个法向量为，
所以，即，令，则，，所以，
所以，
又因为，
所以平面．
解：假设上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
令，，则
，
，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，整理得，
解得舍去，，
所以存在点在靠近点的处，使得直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：
设，，
则，
若存在，使，
则，
所以，
所以，
因为，，，
所以，，，，
，
所以，
解得：，
所以当是上靠近的三等分点时，
19.解：圆过点，，圆心在的垂直平分线上，
由已知点在直线上，且点，关于原点对称，
点在直线上，则点的坐标为．
圆与直线相切，圆的半径为，
连接，由已知得，
又，故可得，
整理得：，解得或，
故圆的半径为或．
证明：，，则圆的方程为．
设点，，
当直线的斜率存在时，设直线：，
联立方程组，消去得．
则．
．
又直线，斜率之和为，，
得．
代入，得，
直线恒过定点．
当直线的斜率不存在时，，，．
直线，斜率之和为，，
但，且，故不合题意，舍去．
综上，直线恒过定点．
20.解：由圆心在轴上的圆与直线切于点，设，
直线的斜率为，
则，所以．
所以，所以，，即，
所以圆的标准方程为．
设直线，与圆联立方程组可得，
，由根与系数的关系得，，
，
令，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时，
所以的最大值为．
21.解：因为，所以为直角三角形，
所以在中，，
又因为，
所以，
所以，
所以，或舍去，
所以椭圆的短轴长为．
若为等边三角形，所以，即，
不存在时，直线方程为，且，
此时为正三角形，为长轴顶点，且，即，
当时，直线方程为，且，
若为正三角形时，为短轴顶点，
不是正三角形，故舍去，
当存在且不为时，设其方程为，
则直线方程为，
联立，得，所以，
所以，
联立，得，所以，
所以，
又因为，则，
所以，
因为，则，，
所以，所以，
所以或舍去，
所以的取值范围为．
22.解：如图所示，以点为坐标原点，以所在的直线为轴，
建立直角坐标系，则，，
设点，则，
所以动点是以点，为焦点的双曲线的右支，
由题得，，
所以，，
所以，
故动点的轨迹方程为
设，则，
在中，
由余弦定理得，
则，
若的面积为，
则
，
化简得，
解得或舍去．
要在内画一个圆，保证圆的面积最大，该圆只能为该三角形的内切圆，
设内切圆的半径为，
则，
解得，
故可画出圆的最大面积为．