负数的四则运算
一、复数的加、减法运算
1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则：
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．对任意z1，z2，z3∈C，有：
(1)z1＋z2＝z2＋z1；
(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．
二、复数加减法的几何意义
如图，设复数z1，z2对应的向量分别为 ，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应．
复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的．
(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变．
三、复数模的综合问题
两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．
(3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
四、复数乘法的运算法则和运算律
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝z2z1
结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
(1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤
①首先按多项式的乘法展开；
②再将i2换成－1；
③然后再进行复数的加、减运算．
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
五、复数除法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，
则＝＝＝＋i.
复数的除法的实质是分母实数化．若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子、分母同乘分母的共轭复数．
复数的除法运算法则的应用
复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．
六、在复数范围内解方程
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法
①当Δ≥0时，x＝；
②当Δ<0时，x＝.
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
考点一 复数的加减运算及集合意义
【例1】(2020·东台市创新学校高二月考)复数( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，故选：B
【练1】(2020·全国高一课时练习)已知i为虚数单位，设，，且，则______.
【答案】
【解析】，，即，
，.故答案为：
考点二 复数的乘除运算
【例2】(2020·北京海淀区·人大附中高三期中)设为虚数单位，则的虚部为______．
【答案】
【解析】 故答案为：
【练2】(2020·江西省奉新县第一中学)已知，则复数_________.
【答案】
【解析】因为，所以，所以故答案为：
考点三 复数范围内解方程
【例3】(2020·辽宁高一期末)若虚数是关于的方程(，)的一个根，则( )
A．29 B． C． D．3
【答案】B
【解析】由题意可得，，所以，
故，，则.故选：B.
【练3】(2021·上海市大同中学高二期末)已知方程有实根，则实数__________；
【答案】
【解析】设方程的实数根为，
则
所以 ，解得：，.
故答案为：
课后练习
（2021·南京模拟）设复数 在复平面内的对应点关于实轴对称， 则 （ ）
A. 25 B. -25
C. D.
【答案】 A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算
【解析】复数 在复平面内的对应点关于实轴对称，
则 ，所以 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合复数的几何意义，再结合点与点关于实轴对称的判断方法，进而求出 ， 进而结合复数的乘法运算法则，从而求出复数。
（2021·武昌模拟）复数 的虚部为（ ）
A. 1 B. －1
C. －i D. i
【答案】 A
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】 ，所以虚部为1。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数 的代数表达式，再利用复数的虚部的定义，从而求出复数 的虚部。
（2021·厦门模拟）已知复数z满足 ，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】 C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算
【解析】因为 ，
所以 ，
所以复数 在复平面内对应的点为 ．
故点 在第三象限．
故答案为：C．
【分析】 将复数z表示出来，然后分子分母同乘分母的共轭复数,化简即可求
（2021·德阳模拟）设 是虚数单位.若复数 是纯虚数，则 的值为（ ）
A. -3 B. 1
C. -1 D. 3
【答案】 B
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算
【解析】由题得 ，
因为复数 是纯虚数，
所以 .
故答案为：B
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简再由复数的定义即可得出答案。
（2021高一下·延庆期末） 在复平面上所对应的点的坐标为 .
【答案】
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算
【解析】 ，对应点为 .
故答案为：
【分析】根据复数的乘除运算先化简，再由复数的几何意义可得。
（2021高一下·聊城期末）写出一个虚数 ，使 的实部为0，则 ．
【答案】 或 （答案不唯一，凡符合 或 （ 且 ）形式的均正确）
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算
【解析】设复数 ，则 ，
因为 的实部为0，所以 ，即 ，
所以答案为 或 （答案不唯一，凡符合 或 （ 且 ）形式的均正确）.
故答案为： 或 （答案不唯一，凡符合 或 （ 且 ）形式的均正确）.
【分析】利用已知条件结合虚数的定义，从而设出复数z,再利用复数的乘法运算法则结合复数的实部的定义，再结合已知条件 的实部为0，从而求出满足要求的复数z。
（2021·嘉定模拟）若复数 （其中i为虚数单位），则共轭复数 .
【答案】 -1-i
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】由已知得， ，则 。
故答案为：-1-i。
【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数。
（2021高二下·桂林期末）已知 为虚数单位，则 ．
【答案】
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】解：(2-3i)(i+1)=2i+2-3i2-3i=5-i
故答案为：5-i
【分析】根据复数的运算直接求解即可.
（2021高一下·金华期末） ．
【答案】 5
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】 。
故答案为：5。
【分析】利用已知条件结合复数的乘法运算法则，从而求出复数。
（2021高二下·顺德期末）已知复数 ，（ ），
（Ⅰ）若 在复平面内对应的点在虚轴的上半轴（不含原点），求复数 ；
（Ⅱ）若 ，求实数 的值．
【答案】 （Ⅰ）由题意，得 且 =0，解得m= 3，所以 ；
（Ⅱ）因为 ，所以 或 =0，解得m = - 2或3或1.
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算
【解析】（Ⅰ） 根据题意由复数代数形式的几何意义即可得出关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。（Ⅱ） 由已知条件即可得出关于m的方程，求解出m的值即可。
（2021高一下·常州期末）
（1）计算： （i为虚数单位）；
（2）已知 是一个复数，求解关于 的方程， （i为虚数单位）.
【答案】 （1） ；
（2）设 ， ，即 ，
，所以 ，解得 或 ，
所以 或 .
故答案为： 或
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算
【解析】 (1)根据题意由复数的代数形式的运算性质整理化简即可得出答案。
(2)首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念即可得出答案。
（2021高一下·张家港期中）
（1）已知复数 是关于x的方程 的一个根，求 的值；
（2）已知复数 ， ， ，求 ．
【答案】（1）解：因为 是方程 的一个根，
∴
∴ ，而
∴
∴ ，∴
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴
【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系，复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】（1）利用已知条件结合代入法，从而结合复数相等的等价关系，进而解方程组求出p，q的值，从而求出p+q的值。
（2）利用已知条件结合复数的混合运算法则求出复数z，再利用复数求模公式，进而求出复数z的模。
（2021高一下·深圳期末）己知z，z1 ， z2均为复数，在复平面内，z1对应的点的坐标为(3，4)，z2对应的向量坐标为(0，1)，且zz1=-1+7i(其中i为虚数单位)。
（1）求z；
（2）求|(z +i)z2|
【答案】（1）由题意知z1=3+4i，
解zz1=-1+7i，得z=
所以z= =1+i
（2）由题意知z2=i，
则(z+i)z2=(1+ 2i)i=-2+i
所以 |(z+i)z2| =|2+i|=
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算，复数求模
【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义，结合复数的运算法则求解即可；
（2）根据复数的运算法则，结合复数的模求解即可.负数的四则运算
一、复数的加、减法运算
1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则：
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．对任意z1，z2，z3∈C，有：
(1)z1＋z2＝z2＋z1；
(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．
二、复数加减法的几何意义
如图，设复数z1，z2对应的向量分别为 ，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应．
复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的．
(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变．
三、复数模的综合问题
两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．
(3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
四、复数乘法的运算法则和运算律
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝z2z1
结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
(1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤
①首先按多项式的乘法展开；
②再将i2换成－1；
③然后再进行复数的加、减运算．
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
五、复数除法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，
则＝＝＝＋i.
复数的除法的实质是分母实数化．若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子、分母同乘分母的共轭复数．
复数的除法运算法则的应用
复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．
六、在复数范围内解方程
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法
①当Δ≥0时，x＝；
②当Δ<0时，x＝.
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
考点一 复数的加减运算及集合意义
【例1】(2020·东台市创新学校高二月考)复数( )
A． B． C． D．
【练1】(2020·全国高一课时练习)已知i为虚数单位，设，，且，则______.
考点二 复数的乘除运算
【例2】(2020·北京海淀区·人大附中高三期中)设为虚数单位，则的虚部为______．
【练2】(2020·江西省奉新县第一中学)已知，则复数_________.
考点三 复数范围内解方程
【例3】(2020·辽宁高一期末)若虚数是关于的方程(，)的一个根，则( )
A．29 B． C． D．3
【练3】(2021·上海市大同中学高二期末)已知方程有实根，则实数__________；
课后练习
（2021·南京模拟）设复数 在复平面内的对应点关于实轴对称， 则 （ ）
A. 25 B. -25
C. D.
（2021·武昌模拟）复数 的虚部为（ ）
A. 1 B. －1
C. －i D. i
（2021·厦门模拟）已知复数z满足 ，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
（2021·德阳模拟）设 是虚数单位.若复数 是纯虚数，则 的值为（ ）
A. -3 B. 1
C. -1 D. 3
（2021高一下·延庆期末） 在复平面上所对应的点的坐标为 .
（2021高一下·聊城期末）写出一个虚数 ，使 的实部为0，则 ．
（2021·嘉定模拟）若复数 （其中i为虚数单位），则共轭复数 .
（2021高二下·桂林期末）已知 为虚数单位，则 ．
（2021高一下·金华期末） ．
（2021高二下·顺德期末）已知复数 ，（ ），
（Ⅰ）若 在复平面内对应的点在虚轴的上半轴（不含原点），求复数 ；
（Ⅱ）若 ，求实数 的值．
（2021高一下·常州期末）
（1）计算： （i为虚数单位）；
（2）已知 是一个复数，求解关于 的方程， （i为虚数单位）.
（2021高一下·张家港期中）
（1）已知复数 是关于x的方程 的一个根，求 的值；
（2）已知复数 ， ， ，求 ．
（2021高一下·深圳期末）己知z，z1 ， z2均为复数，在复平面内，z1对应的点的坐标为(3，4)，z2对应的向量坐标为(0，1)，且zz1=-1+7i(其中i为虚数单位)。
（1）求z；
（2）求|(z +i)z2|
精讲答案
【例1】
【答案】B
【解析】因为，故选：B
【练1】
【答案】
【解析】，，即，
，.故答案为：
【例2】
【答案】
【解析】 故答案为：
【练2】
【答案】
【解析】因为，所以，所以故答案为：
【例3】
【答案】B
【解析】由题意可得，，所以，
故，，则.故选：B.
【练3】
【答案】
【解析】设方程的实数根为，
则
所以 ，解得：，.
故答案为：
练习答案
【答案】 A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算
【解析】复数 在复平面内的对应点关于实轴对称，
则 ，所以 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合复数的几何意义，再结合点与点关于实轴对称的判断方法，进而求出 ， 进而结合复数的乘法运算法则，从而求出复数。
【答案】 A
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】 ，所以虚部为1。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数 的代数表达式，再利用复数的虚部的定义，从而求出复数 的虚部。
【答案】 C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算
【解析】因为 ，
所以 ，
所以复数 在复平面内对应的点为 ．
故点 在第三象限．
故答案为：C．
【分析】 将复数z表示出来，然后分子分母同乘分母的共轭复数,化简即可求
【答案】 B
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算
【解析】由题得 ，
因为复数 是纯虚数，
所以 .
故答案为：B
【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简再由复数的定义即可得出答案。
【答案】
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算
【解析】 ，对应点为 .
故答案为：
【分析】根据复数的乘除运算先化简，再由复数的几何意义可得。
【答案】 或 （答案不唯一，凡符合 或 （ 且 ）形式的均正确）
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算
【解析】设复数 ，则 ，
因为 的实部为0，所以 ，即 ，
所以答案为 或 （答案不唯一，凡符合 或 （ 且 ）形式的均正确）.
故答案为： 或 （答案不唯一，凡符合 或 （ 且 ）形式的均正确）.
【分析】利用已知条件结合虚数的定义，从而设出复数z,再利用复数的乘法运算法则结合复数的实部的定义，再结合已知条件 的实部为0，从而求出满足要求的复数z。
【答案】 -1-i
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】由已知得， ，则 。
故答案为：-1-i。
【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数。
【答案】
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】解：(2-3i)(i+1)=2i+2-3i2-3i=5-i
故答案为：5-i
【分析】根据复数的运算直接求解即可.
【答案】 5
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】 。
故答案为：5。
【分析】利用已知条件结合复数的乘法运算法则，从而求出复数。
【答案】 （Ⅰ）由题意，得 且 =0，解得m= 3，所以 ；
（Ⅱ）因为 ，所以 或 =0，解得m = - 2或3或1.
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算
【解析】（Ⅰ） 根据题意由复数代数形式的几何意义即可得出关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。（Ⅱ） 由已知条件即可得出关于m的方程，求解出m的值即可。
【答案】 （1） ；
（2）设 ， ，即 ，
，所以 ，解得 或 ，
所以 或 .
故答案为： 或
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算
【解析】 (1)根据题意由复数的代数形式的运算性质整理化简即可得出答案。
(2)首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的概念即可得出答案。
【答案】（1）解：因为 是方程 的一个根，
∴
∴ ，而
∴
∴ ，∴
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴
【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系，复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】（1）利用已知条件结合代入法，从而结合复数相等的等价关系，进而解方程组求出p，q的值，从而求出p+q的值。
（2）利用已知条件结合复数的混合运算法则求出复数z，再利用复数求模公式，进而求出复数z的模。
【答案】（1）由题意知z1=3+4i，
解zz1=-1+7i，得z=
所以z= =1+i
（2）由题意知z2=i，
则(z+i)z2=(1+ 2i)i=-2+i
所以 |(z+i)z2| =|2+i|=
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算，复数求模
【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义，结合复数的运算法则求解即可；
（2）根据复数的运算法则，结合复数的模求解即可.
