7.3 复数的三角表示
考点一 复数的三角表示
【例1】(2020·全国高一课时练习)把下列复数的代数形式化成三角形式.
(1)；
(2).
【答案】(1)(2)
【解析】(1).
因为与对应的点在第四象限，所以，
所以.
(2).
因为与对应的点在第四象限，所以，
所以.
【练1】(2020·全国高一课时练习)将复数化成代数形式，正确的是( )
A．4 B．-4 C． D．
【答案】D
【解析】故选：D.
考点二 复数的辅角
【例2】(2020·全国高一课时练习)复数的辐角主值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,故复数z的辐角主值为.故选：D
【练2】(2020·全国高一课时练习)下列各角不是复数的辐角的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，，
∴辐角主值，故可以作为复数的辐角的是，.
∴当时，；
当时，；
当时，；
故选：C．
考点三 复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义
【例3】(2020·全国高一课时练习)( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
.故选：C
【练3】(2020·全国高一课时练习)( )
A．1 B．-1 C． D．
【答案】C
【解析】
故选：C.
课后练习
1. 化下列复数为三角形式：
（1）2（sin+icos）； （2）－２（－sin＋icos）；
（3）－２（sin－icos）
【答案】见解析
【解析】（1）原式＝２[cos（－）＋ｉsin （－）]＝2（cos＋isin）；
原式＝２（sin－icos）＝2[cos(＋)+isin(＋)]
＝２（cos＋isin）
原式＝２（－sin＋icos）＝2[cos(＋)+isin(＋)]
＝２（cos＋isin）
2. 下面复数化为三角形式：（1）（2）
（3）；（4）.
【答案】见解析
【解析】 （1）＝
（2）＝
（3）＝；
（4）＝
3. 已知复数z满足(z＋1)(＋1)=|z|2，且是纯虚数.
(1)求z；(2)求z的辐角主值.
【答案】见解析
【解析】由(z＋1)(＋1)=|z|2得z＋z＋＋1=|z|2.
∵z=|z|2，∴z＋＋1=0，∴z＋=－1，
由是纯虚数得，
∴，∴2z=2，∴z=1.
于是z，是方程x2＋x＋1=0的两根，解得，所以.
当时，z的辐角主值为；当时，z的辐角主值为.
4. 满足是实数,且z+3的辐角主值是的虚数z是否存在 若存在,求出虚数z;若不存在,说明理由.
【答案】见解析
【解析】 设,则
∵, ∴
∵b≠0, ∴a2+b2=5
又的辐角主值为, ∴a+3=－b.
把a+3=－b与a2+b2=5联立解之,得 或 ,
∴ 或 ,
此时或的辐角主值均为.
∴满足条件的虚数z不存在.
5. 设虚数z1,z2满足 = z2.
(1)若z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两个根,求z1,z2.
(2)若z1=1＋mi(m＞0,i为虚数单位)w=z2－2,w的辐角主值为,求的取值范围.
【答案】见解析
【解析】(1)∵z1,z2为实系数方程的两个根∴z2=且|z2|=又=z2=∴ ∵|z1|2=|zi|=|z1| ∴|z1|=1 ∴z1=－ z2=－或
z1=－ z2=－
(2)由z1=1＋mi(m＞0), = z2得z2=(1－m2)＋2mi ∴w=－(1＋m2)＋2mi
tg=－ ∵m＞0 m＋≥2
∴－1≤tg＜0 又由－(m2＋1)＜0 2m＞0得≤＜
∴所求的取值范围为[,).7.3 复数的三角表示
考点一 复数的三角表示
【例1】(2020·全国高一课时练习)把下列复数的代数形式化成三角形式.
(1)；
(2).
【练1】(2020·全国高一课时练习)将复数化成代数形式，正确的是( )
A．4 B．-4 C． D．
考点二 复数的辅角
【例2】(2020·全国高一课时练习)复数的辐角主值为( )
A． B． C． D．
【练2】(2020·全国高一课时练习)下列各角不是复数的辐角的是( )
A． B． C． D．
考点三 复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义
【例3】(2020·全国高一课时练习)( )
A． B． C． D．
【练3】(2020·全国高一课时练习)( )
A．1 B．-1 C． D．
课后练习
1. 化下列复数为三角形式：
（1）2（sin+icos）； （2）－２（－sin＋icos）；
（3）－２（sin－icos）
2. 下面复数化为三角形式：（1）（2）
（3）；（4）.
3. 已知复数z满足(z＋1)(＋1)=|z|2，且是纯虚数.
(1)求z；(2)求z的辐角主值.
4. 满足是实数,且z+3的辐角主值是的虚数z是否存在 若存在,求出虚数z;若不存在,说明理由.
5. 设虚数z1,z2满足 = z2.
(1)若z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两个根,求z1,z2.
(2)若z1=1＋mi(m＞0,i为虚数单位)w=z2－2,w的辐角主值为,求的取值范围.
精讲答案
【例1】
【答案】(1)(2)
【解析】(1).
因为与对应的点在第四象限，所以，
所以.
(2).
因为与对应的点在第四象限，所以，
所以.
【练1】
【答案】D
【解析】故选：D.
【例2】
【答案】D
【解析】,故复数z的辐角主值为.故选：D
【练2】
【答案】C
【解析】∵，，，
∴辐角主值，故可以作为复数的辐角的是，.
∴当时，；
当时，；
当时，；
故选：C．
【例3】
【答案】C
【解析】
.故选：C
【练3】
【答案】C
【解析】
故选：C.
练习答案
【答案】见解析
【解析】（1）原式＝２[cos（－）＋ｉsin （－）]＝2（cos＋isin）；
原式＝２（sin－icos）＝2[cos(＋)+isin(＋)]
＝２（cos＋isin）
原式＝２（－sin＋icos）＝2[cos(＋)+isin(＋)]
＝２（cos＋isin）
【答案】见解析
【解析】 （1）＝
（2）＝
（3）＝；
（4）＝
【答案】见解析
【解析】由(z＋1)(＋1)=|z|2得z＋z＋＋1=|z|2.
∵z=|z|2，∴z＋＋1=0，∴z＋=－1，
由是纯虚数得，
∴，∴2z=2，∴z=1.
于是z，是方程x2＋x＋1=0的两根，解得，所以.
当时，z的辐角主值为；当时，z的辐角主值为
【答案】见解析
【解析】 设,则
∵, ∴
∵b≠0, ∴a2+b2=5
又的辐角主值为, ∴a+3=－b.
把a+3=－b与a2+b2=5联立解之,得 或 ,
∴ 或 ,
此时或的辐角主值均为.
∴满足条件的虚数z不存在.
【答案】见解析
【解析】(1)∵z1,z2为实系数方程的两个根∴z2=且|z2|=又=z2=∴ ∵|z1|2=|zi|=|z1| ∴|z1|=1 ∴z1=－ z2=－或
z1=－ z2=－
(2)由z1=1＋mi(m＞0), = z2得z2=(1－m2)＋2mi ∴w=－(1＋m2)＋2mi
tg=－ ∵m＞0 m＋≥2
∴－1≤tg＜0 又由－(m2＋1)＜0 2m＞0得≤＜
∴所求的取值范围为[,).
