【核心素养目标】1.4.1角平分线 教学设计

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1.4.1角平分线教学设计
课题 1.4.1角平分线 单元 1 学科 数学 年级 八
教材分析 本节课是北师大版八年级数学下册第一章第四节第一课时的内容，本节课是在学习了角平分线的概念、性质和全等三角形的基础上进行的，是全等三角形知识的运用和延续。角平分线的概念、性质、以及作法学生在七年级已经学过，学生能够根据进行一些简单的推理与证明。角平分线的性质既反映了角平分线的基本特征，也是证明两条线段相等或角相等的常用方法，因此，本节课角平分线性质定理及逆定理既是对前面所学知识的应用，又为后续学习做了铺垫，具有举足轻重的作用。
核心素养分析 进一步体会证明的必要性，增强证明的意识和能力，经历探索、发现、猜想、证明使学生掌握研究解决问题的方法，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力。
学习 目标 1、通过“探索一发现一猜想一证明”，进一步体会证明的必要性. 2、通过证明角平分线的性质定理，角平分线的判定定理，进一步发展推理能力. 3、能运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题.
重点 角平分线性质定理及其逆定理的证明，运用定理解决相关问题。
难点 正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 要在一个三角形居住区内修一个学校P，要求P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请问学校P的位置应建立在何处？你能标出来吗？ 你还记得角平分线上的点有什么性质吗 学生思考回答问题。 通过对实际问题的思考导入新课.
讲授新课 如图，任意作一个角∠AOB，作出 ∠AOB 的平分线OC. 在OC上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？在OC 上再取几个点试一试.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 结合我们前面学习的定理的证明方法， 你能写出这个性质的证明过程吗？ 已知：如图 ，OC 是∠AOB 的平分线，点P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD=PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴ ∠ PDO=∠ PEO=90 ° . ∵ ∠ 1=∠ 2，OP=OP， ∴ △PDO≌△PEO（AAS）. ∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）. 归纳 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 性质所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 几何语言： ∵ OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB， ∴ PD=PE. 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 教师提问：你能写出这个定理的逆命题吗？ 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 它是真命题吗？ 已知：如图 ，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE. 求证：OP 平分∠AOB. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴ ∠ODP = ∠OEP = 90 ° . ∵ PD = PE，OP = OP， ∴ Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）. ∴ ∠ 1 =∠ 2（全等三角形的对应角相等）. ∴ OP 平分 ∠AOB. 归纳 角平分线的判定 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 角平分线的判定所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 几何语言： ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)． 典例精析 例1、如图，在△ABC 中，∠BAC=60 ° ，点 D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长. 解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F， 且 DE=DF， ∴ AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵ ∠ BAC = 60 ° ，∴ ∠ BAD = 30 ° 在 Rt△ADE 中，∠ AED = 90 ° ，AD = 10， ∴ DE=AD =×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 判定角平分线有两步： (1)找出与角的两边都垂直的垂线段； (2)证明两条垂线段相等． 学生动手操作，学生观察思考后，在班上交流. 结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程。 学生在教师的引导下总结归纳。 学生根据上面的猜测及证明，归纳角平分线的判定定理。 教师用多媒体展示问题，学生观察识图，独立思考，并且在小组内讨论交流，找 出证明思路。 培养学生的动手操作能力和观察 能力，为下面进一步揭示角平分线的性质作好铺 垫。 经历实践→猜想→证明→归纳的过程，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，信息技术在此体现其不可替代性，从而更利于学生的直观体验上升到理性思维。 通过学生书写证明过程,教师点评,让学生养成用规范的几何符号语言表述问题的习惯. 通过对角平分线判定定理的探索，培养学生分析推理的能力。培养学生的归纳概括能力。 使学生明确角平分线判定定理的作用。 通过学生观察识图、独立思考、小组讨论，培养学生合作交流的意识。
课堂练习 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图 所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(　　) A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB ，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(　　) A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BE的长为 。 4.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,△ABC的面积是30cm2,AB=18cm,BC=12 cm,则DE=______cm. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F. (1)求证：DE＝DF； (2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数． 如图，DE⊥AB 交AB 的延长线于E，DF⊥AC 于 若BD＝CD，BE＝CF. (1)求证：AD 平分∠BAC； (2)直接写出AB＋AC 与AE 之间的等量关系． 学生定时训练，自主解答，老师订正 通过练习调动学生学习的积极性，使学生思维处于积极状态，达到了培养学生思维的灵活性和创造性，解决问题的目的。
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生归纳本节所学内容，并体验核心素养的形成。 训练学生总结归纳能 力；升华知识，拓展知识面，开阔思维。
板书 1.4.1角平分线 一、角平分线的性质 二、角平分线的判定 三、例题讲解
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