【新课标】1.4.1角平分线 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
1.4.1角平分线
北师版八年级下册
教学目标
1、通过“探索一发现一猜想一证明”，进一步体会证明的必要性.
2、通过证明角平分线的性质定理，角平分线的判定定理，进一步发展推理能力.
3、能运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题.
新知导入
要在一个三角形居住区内修一个学校P，要求P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请问学校P的位置应建立在何处？你能标出来吗？
A
B
C
你还记得角平分线上的点有什么性质吗
新知讲解
A
B
O
P
C
D
E
如图，任意作一个角∠AOB，作出 ∠AOB 的平分
线OC. 在OC上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂
线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并作比较，你
得到什么结论？在OC 上再取几个点试一试.
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
结合我们前面学习的定理的证明方法， 你能写出这个性质的证明过程吗？
新知讲解
己知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.
求证：PD=PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴ ∠PDO=∠PEO=90 ° .
∵ ∠1=∠2，OP=OP，
∴ △PDO≌△PEO（AAS）.
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）.
归纳总结
1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2.书写格式：
如图，∵OP平分∠AOB，
PD⊥ OA于点D，PE⊥OB于点E,
∴PD＝PE.
3.定理应用所具备的条件：
(1)角的平分线；
(2)点在该平分线上；
(3)垂直距离.
4.定理的作用：证明线段相等.
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
O
A
C
B
P
D
E
新知讲解
想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
它是真命题吗？
新知讲解
已知：如图 ，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.
求证：OP 平分∠AOB.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴ ∠ODP = ∠OEP = 90 ° .
∵ PD = PE，OP = OP，
∴ Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）.
∴ ∠1 =∠2（全等三角形的对应角相等）.
∴ OP 平分 ∠AOB.
归纳总结
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
角平分线的判定所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
角平分线的判定
几何语言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的角平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
典例精析
例1、 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，DE=DF，
∴AD平分∠BAC
又∵ ∠BAC=60°，
∴ ∠BAD=30°.
在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10，
∴DE=AD=×10=5
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
归纳总结
判定角平分线有两步：
(1)找出与角的两边都垂直的垂线段；
(2)证明两条垂线段相等．
课堂练习
1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(　　)
A．SSS B．ASA
C．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等
2.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则
下列结论错误的是(　　)
A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOP
C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
A
B
课堂练习
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BE的长为 。
3
4.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,△ABC的面积是30cm2,AB=18cm,
BC=12 cm,则DE=______cm.
2
课堂练习
5.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.
(1)求证：DE＝DF；
(2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
课堂练习
(2)解：∵∠BDE＝40°，∠BED＝90°，
∴∠B＝50°.
∴∠C＝50°.
∴∠BAC＝80°.
(1)证明：连接AD.∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.
∵D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
课堂练习
6.如图，DE⊥AB 交AB 的延长线于E，DF⊥AC 于F，若BD＝CD，BE＝CF.
(1)求证：AD 平分∠BAC；
(2)直接写出AB＋AC 与AE 之间的等量关系．
课堂练习
(1)证明：在Rt△BDE 和Rt△CDF 中，
∴Rt△BDE ≌ Rt△CDF (HL)．
∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴D 在∠BAC 的平分线上．
∴AD 平分∠BAC.
(2)解：AB＋AC＝2AE.
课堂总结
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
判定定理
在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
板书设计
1.4.1角平分线
1.角平分线的性质
2.角平分线的判定
作业布置
【必做题】
教材第30页习题1.9的2、3
【选做题】
教材第30页习题1.9的4题.
谢谢
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