6.2.4 向量的数量积 讲义 2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

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第六章 6.2.4向量的数量积运算
题型1　向量的数量积　
1．(多选)[山西大学附中2022高一期中]对于任意的平面向量a，b，c，下列说法错误的有(　　)
A．若a∥b，且b∥c，则a∥c
B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c
D．(a·b)·c＝a·(b·c)
2．(多选)[山东德州2022高一月考]如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论中正确的有(　　)
A.＋＋＝0
B．(－)·(－)＝0
C．(·)＝(·)
D．|＋|＝|＋－|
3．已知单位向量e1，e2的夹角为120°，向量a＝－e1＋2e2，b＝2e1＋e2，则a·b＝________．
题型2　投影向量
4．在△ABC中，∠BAC＝90°，2＝＋，||＝||＝1，与方向相同的单位向量为e，则向量在上的投影向量为(　　)
A.e B．－e C.e D．－e
5．已知a，b是单位向量，且|a＋b|＝|a－b|，向量e是与a－b同向的单位向量，则向量a在a－b上的投影向量为(　　)
A.e B. C.e D.
题型3　求向量的夹角
6．已知|a|＝1，a·b＝，|a－b|＝，则a与b的夹角为(　　)
A．120° B．60° C．30° D．45°
7．若两个向量a与b的夹角为，且a是单位向量，|b|＝2，c＝2a＋b，则向量c与b的夹角为________．
题型4　求向量的模
8．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝2，则|a－b|＝(　　)
A．1 B. C．2 D.或2
9．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|a－2b|＝2 ，则向量b在a方向上的投影向量的模等于(　　)
A. B. C. D．1
题型5　向量垂直
10．(多选)[江西南昌第二中学2022高一月考]若向量a，b满足|b|＝1，且(a＋b)⊥b，(a＋2b)⊥a，则下列命题正确的是(　　)
A．a·b＝－1
B．a与b的夹角为
C．|a|＝
D．a在b方向上的投影数量为1
11．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．
易错点1　确定向量的夹角错误
12．在边长为1的等边三角形ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝(　　)　　　　　　　　　　　
A．－ B．0 C. D．3
易错点2　忽略向量共线的情况而致误
13．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°.若a＋λb与λa＋b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为________．
答案与解析
1.【答案】ACD
【详解】A选项，当b＝0时，说法错误；C选项，若a，b，c两两垂直，满足a·b＝a·c，且a≠0，但无法得到b＝c，
说法错误；D选项，如图所示，a与b垂直，但b与c不垂直，则(a·b)·c＝0，而a·(b·c)≠0，故说法错误；B选项，由向量的数量积的分配律知，正确．
2.【答案】BC
【详解】A选项，＋＋＝2，故A错误；B选项，∵－＝－＝，－＝－＝，由正六边形的性质知OF⊥AE，∴(－)·(－)＝0，故B正确；C选项，设正六边形的边长为1，则·＝1×1×cos 120°＝－，·＝1×1×cos 60°＝，∴(·)＝(·)＝，式子显然成立，故C正确；D选项，设正六边形的边长为1，|＋|＝||＝1，|＋－|＝|＋－|＝|－|＝||＝，故D错误．故选BC.
3.【答案】－
【详解】因为单位向量e1，e2的夹角为120°，且a＝－e1＋2e2，b＝2e1＋e2，
所以a·b＝(－e1＋2e2)·(2e1＋e2)＝－2e12＋3e1·e2＋2e22＝－2＋3×1×1×cos 120°＋2＝－.
4.【答案】B
【详解】在△ABC中，∠BAC＝90°，2＝＋，所以D为BC的中点，且|AD|＝|BD|.又||＝||＝1，所以△ABD是等边三角形．因为与方向相同的单位向量为e，所以向量在上的投影向量为||·cos 120°·e＝－e，故选B.
5.【答案】A
【详解】∵|a＋b|＝|a－b|，∴a2＋2a·b＋b2＝2(a2－2a·b＋b2)，∴6a·b＝a2＋b2.
∵a，b为单位向量，∴a·b＝.
∵a·(a－b)＝a2－a·b＝1－＝，
|a－b|＝＝＝，
∴cos〈a，a－b〉＝＝，
∴向量a在a－b上的投影向量为|a|·cos〈a，a－b〉e＝e.
故选A.
6.【答案】D
【详解】由|a－b|＝可得(a－b)2＝，即|a|2－2a·b＋|b|2＝，故1－1＋|b|2＝，即|b|＝.设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a|·|b|cos θ＝，即cos θ＝，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°，故选D.
7.【答案】
【详解】由题知a·b＝1×2×cos＝1，所以c·b＝(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝6，|c|＝|2a＋b|＝＝＝2 .设c与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
8.【答案】C
【详解】|a－b|＝＝＝＝＝2.
9.【答案】B
【详解】由题设，|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝28，而a·b＝|a||b|cos 60°＝|a||b|＝|b|，所以|b|2－|b|－6＝0，可得|b|＝3或|b|＝－2(舍)，则向量b在a方向上的投影向量的模为|b|cos 60°＝.故选B.
10.【答案】AC
【详解】由(a＋b)⊥b得a·b＋b2＝0，即a·b＋1＝0，所以a·b＝－1，故A正确；
由(a＋2b)⊥a得2a·b＋a2＝0，即a2＝2，所以|a|＝，故C正确；
设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，所以θ＝，故B错误；
a在b方向上的投影数量为|a|cos θ＝＝＝－1，故D错误．
故选AC.
11.【答案】
【详解】由a·b＝0得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，化简得k－2＋(1－2k)·cos ＝0，解得k＝.
12.【答案】A
【详解】a·b＝·＝||||·cos(180°－∠BCA)＝－||||·cos 60°＝－.同理b·c＝－，c·a＝－，则a·b＋b·c＋c·a＝－.
13.【答案】∪∪(1，＋∞)
【详解】由题意可得a·b＝|a||b|·cos 60°＝2×3×＝3.又∵(a＋λb)·(λa＋b)＝λa2＋(λ2＋1)a·b＋λb2，a＋λb与λa＋b的夹角为锐角，∴λa2＋(λ2＋1)a·b＋λb2＞0.∵a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，a·b＝3，∴3λ2＋13λ＋3＞0，解得λ＜或λ＞.当λ＝1时，a＋λb与λa＋b共线，其夹角不为锐角，故λ的取值范围为(－∞，)∪(，1)∪(1，＋∞)．
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