第六章 6.1平面向量的概念 题型练习 2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册(word版含答案）

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6.1.1 向量的实际背景与概念+6.1.2向量的几何表示+6.1.3 相等向量与共线向量
题型1　向量的基本概念
1．(多选)[黑龙江哈尔滨九中2022高一月考]下列说法正确的是(　　)
A．加速度是向量
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．两个单位向量的长度相等
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
2．汽车以大小为120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以大小为45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列说法正确的是(　　)
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
3．设点O是等边三角形ABC的中心，则向量，，是(　　)
A．有相同起点的向量
B．模相等的向量
C．平行向量
D．相等向量
4．下列命题正确的是(　　)
A．时间、距离都是向量
B．零向量的模是0
C．相等向量的起点必定相同
D．若|a|＝7，|b|＝3，则a>b
5．已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤位移．其中是数量的有________，是向量的有________．(填序号)
6．中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”．若马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共有________个．
题型2　向量的模
7．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么(　　)
A．s>|a| B．s<|a|
C．s＝|a| D．s与|a|不能比大小
8．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝(　　)
A．1 B. C．2 D．2
9．已知点O固定，且||＝2，则点A构成的图形是(　　)
A．一个点 B．一条直线
C．一个圆 D．不能确定
10．若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移是________．
11．如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有A，B两个定点，C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)作出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
题型3　相等向量与共线向量
12．设a，b为非零向量，则“a∥b”是“a与b方向相同”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
13．(多选)[山东菏泽2022高一期中]设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论正确的是(　　)
A.＝ B．||＝||
C.＝ D.与共线
14．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与共线的向量有(　　)
A．1个 　 B．2个 　 C．3个 D．4个
15．(多选)[江西宜春奉新一中2022高一月考]给出下列四个命题，其中正确的命题是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b”
16．下列结论中，不正确的是(　　)
A．若＝，则∥
B．向量，共线与∥的意义是相同的
C．“∥”是“A，B，C，D四点共线”的充要条件
D．若＝，则＝
17．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
18．有下列说法：
①向量和长度相等；
② 0＝0；
③向量大于向量；
④单位向量都相等．
其中，正确的说法是________．(填序号)
易错点1　概念理解错误
19．下列说法正确的是(　　)
A.∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
D．共线向量是在一条直线上的向量
20．下列说法正确的是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反
B．若向量，满足||>||，且与同向，则>
C．若a≠b，则a与b可能是共线向量
D．两向量相等的充要条件是它们的起点、终点相同
易错点2　忽略零向量
21．下列命题中正确的是(　　)
A．若a，b都是单位向量，则 a＝b
B．若＝， 则A，B，C，D四点连线构成平行四边形
C．若a∥b，且b∥c，则a∥c
D.与是平行向量
答案及解析
1.【答案】AC
【详解】A.由向量的定义知，加速度是向量，故正确；
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误；
C．由单位向量的定义知，两个单位向量的长度相等，故正确；
D．若两个单位向量平行，则方向相同或相反，则这两个单位向量不一定相等，故错误．
故选AC.
2.【答案】C
【详解】速度和位移都是向量，向量不能比较大小，故选C.
3.【答案】B
【详解】如图所示，∵点O是等边三角形ABC的中心，∴向量，，的模相等．故选B.
4.【答案】B
【详解】时间和距离没有方向，不是向量，故A错误；
模为0的向量叫做零向量，故B正确；
相等向量的起点不一定相同，故C错误；
向量不能比较大小，故D错误．
故选B.
5.【答案】②④　①③⑤
【详解】根据向量的概念可知，在①力；②功；③速度；④质量；⑤位移中，是数量的有②功；④质量，是向量的有①力；③速度；⑤位移．
6.【答案】11
【详解】此题中，马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走．如图，以B为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共3个；以C为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共8个．所以共有11个．
7.【答案】A
【详解】如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，那么飞机飞行的路程为s＝200＋300＝500 km，|a|＝＝100 km，所以s>|a|.故选A.
8.【答案】D
【详解】易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°.设AC与BD交于点O(图略)，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得BO＝，则||＝，所以||＝2||＝2 .故选D.
9.【答案】C
【详解】因为||＝2，所以点A在以点O为圆心，2为半径的圆上，故点A构成的图形是一个圆．故选C.
10.【答案】西北方向5 km
【详解】根据题意画出图形，
如图，由题可知||＝5 km，且∠ABC＝45°，故C地相对于B地的位移是西北方向5 km.
11.【答案】(1)作出所有的向量，如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值，为＝；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值，为＝.
所以||的最大值为，最小值为.
12.【答案】B
【详解】因为a，b为非零向量，所以当a∥b时，a与b方向相同或相反，因此“a∥b”是“a与b方向相同”的必要不充分条件．故选B.
13.【答案】AD
【详解】因为点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，所以O是AC中点，即有＝，A正确；
平行四边形对角线长不一定相等，则||与||不一定相等，B不正确；
点A，O，B不共线，C不正确；
平行四边形ABCD中，AB∥CD，即有与共线，D正确．
故选AD.
14.【答案】C
【详解】由题图及正六边形的性质可知，与共线的有，，，共3个．故选C.
15.【答案】BC
【详解】当|a|＝|b|时，a，b的方向不一定相同，所以a，b可能不相等，A错误；
因为A，B，C，D是不共线的四点，＝，所以AB∥CD，AB＝CD，故四边形ABCD为平行四边形，若四边形ABCD为平行四边形，则＝，所以“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件，B正确；根据向量相等的定义，由a＝b，b＝c可得a＝c，C正确；当|a|＝|b|且a，b方向相反时，a≠b，所以“a＝b”是“|a|＝|b|且a∥b”的充分不必要条件，D错误．故选BC.
16.【答案】C
【详解】平行向量又叫共线向量，相等向量一定是平行向量，但长度相等的两个向量，方向却不一定相同．“∥”得不出“A，B，C，D四点共线”，而“A，B，C，D四点共线”能得出“∥”，因此“∥”是“A，B，C，D四点共线”的必要不充分条件，故选C.
17.【答案】0
【详解】向量m与向量是平行向量，则向量m与向量方向相同或相反；向量m与是共线向量，则向量m与向量方向相同或相反．由A，B，C是不共线的三点，可知向量与向量方向不同且不共线，则m＝0.
18.【答案】①
【详解】对于①，根据相反向量的概念，可知||＝||，故①正确；对于②，0是向量，而0是数量，故②错误；对于③，向量不能比较大小，故③错误；对于④，单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故④错误．
19.【答案】C
【详解】∥包含两种情况，一种是所在直线平行于所在直线，另一种是所在直线重合于所在直线，故A错误；长度和方向都相等的向量才叫做相等向量，故B错误；由定义知，向量有大小、方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素，故C正确；共线向量有可能在同一条直线上，也有可能不在同一条直线上，故D错误．
20.【答案】C
【详解】模相等的向量不一定平行，故A错误；向量不能比较大小，故B错误；两向量相等的充要条件是它们的方向相同、长度相等，故D错误．故选C.
21.【答案】D
【详解】选项A中单位向量方向可以不同，故a＝b不一定成立；选项B中A，B，C，D四点可能共线，不能组成平行四边形；选项C中当b＝0时，a，c为任意向量；选项D正确，相反向量是一对平行向量．故选D.
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