高中数学人教A版（2019）必修第二册分层练习8.4空间点、直线、平面之间的位置关系B（含答案）

一、单选题
1．已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
2．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B．- C．2 D．
3．如图，在三棱台中，平面，，，，则与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
4．在直三棱柱中，点M是侧棱中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点D是线段的中点，点E在底面圆的圆周上，且的长度等于的长度，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
6．正四面体中，D是PA中点，则异面直线CD与PB所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（多选）已知a，b，c是不同的直线，那么下列说法中不正确的有（ ）
A．若，则
B．若a与b相交，b与c相交，则a与c相交
C．若，则a与b一定是异面直线
D．若a，b与c成等角，则
8．如图，已知正方体的棱长为2，则下列结论错误的是（ ）
A．直线与为异面直线
B．直线与平面平行
C．将形状为正方体的铁块磨制成一个球体零件，可能制作的最大零件的表面积为
D．若矩形是某圆柱的轴截面（过圆柱的轴的截面叫做圆柱的轴截面），则从点出发沿该圆柱的侧面到相对顶点的最短距离是
三、填空题
9．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为________.
10．如图，已知空间四边形的四条边以及对角线的长均为2，M N分别是与的中点，则异面直线和所成角的余弦值为___________.
11．已知四棱锥的条棱长都相等，任取其中条棱的中点作平面，截该四棱锥所得的平面图形可能是 ______（写出所有正确结论的序号）.
①等腰三角形；②等腰梯形；③正方形；④正五边形.
12．如图，正方体中，，，分别是棱，，的中点.下列四个结论：①；②平面；③平面平面；④.其中正确结论的编号是___________.
四、解答题
13．如图，是正方体的棱的延长线上的一点，，是棱，的中点，试分别画出：
(1)过点，，的平面与正方体表面的交线；
(2)过点，，的平面与正方体表面的交线.
14．如图是无盖正方体纸盒的展开图，则原正方体中直线AB，CD所成角的大小为多少？EF与AB所成角的大小为多少？试写出你的解题过程，并说明原理？
15．如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
16．如图，在长方体中，，，，点E、F分别在、上，，过点E、F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；
(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】根据已知条件判断、的位置关系，可判断A选项的正误；根据已知条件判断、的位置关系，可判断B选项的正误；根据已知条件判断、的位置关系，可判断C选项的正误；对于D选项，利用面面垂直、线面垂直的性质定理可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，若，，则、平行、相交或异面，A选项错误；
对于B选项，若，，，则、平行或相交，B选项错误；
对于C选项，若，，则或，C选项错误；
对于D选项，如下图所示；
设，由于，在平面内作直线，由面面垂直的性质定理可得，
，，
，，则，，D选项正确.
故选：D.
【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．
2．A
【解析】如图所示，分别取，，，的中点，，，，则，，，或其补角 为异面直线与所成角．
【详解】解：如图所示，
分别取，，，的中点，，，，则，，，
或其补角为异面直线与所成角．
设，则，，
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故选：A．
【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
3．A
【分析】将棱台补全为棱锥，利用等体积法求到面的距离，结合线面角的定义求与平面所成角的大小.
【详解】将棱台补全为如下棱锥，
由，，，易知：，，
由平面，平面，则，，
所以，，故，
所以，若到面的距离为h，又，
则，可得，
综上，与平面所成角，则，即.
故选：A
4．B
【分析】可以取的中点，连接，将异面直线与转化为直线与所成的角，在连接，通过解三角形即可完成求解.
【详解】
如图所示，取的中点，连接，分别为、的中点，所以为的中位线，所以，所以异面直线与就是直线与所成的角，即或其补角，因为，所以，，，在中，，，，所以.
故选：B.
5．A
【分析】过点A作于点O，过点A作于点G，取AO的中点F，连接GE、OE、EF，则有（或其补角）就是异面直线与所成的角，设圆锥的底面半径为2，解三角形可求得答案.
【详解】解：过点A作于点O，过点A作于点G，取AO的中点F，连接GE、OE、EF，
则，且，所以（或其补角）就是异面直线与所成的角，
设圆锥的底面半径为2，则，，，所以，
在中，，，所以，
在中，，，所以，
在中，，，，
所以在中，满足，所以，
所以，
故选：A.
6．B
【分析】取的中点，连接，则，故即为异面直线CD与PB所成角的平面角，解即可.
【详解】解：取的中点，连接，
因为D是PA中点，
所以且，
所以即为异面直线CD与PB所成角的平面角，
设，则，
则，
即异面直线CD与PB所成角的余弦值是.
故选：B.
7．BCD
【分析】利用空间直线和平面的位置关系得到选项A正确，选项BCD中两直线可能异面、平行或相交，所以选项BCD错误.
【详解】解：A. 若，则，所以该选项正确；
B. 若a与b相交，b与c相交，则a与c相交、平行或异面，所以该选项错误；
C. 若，则a与b可能异面、平行或相交，所以该选项错误；
D. 若a，b与c成等角，则a与b可能平行、相交或异面，所以该选项错误.
故选：BCD
8．BCD
【分析】根据异面直线的定义即可判断A,
根据线面平行的定义即可判断B,
算出正方体内切球的表面积即可判断C,
将圆柱进行侧面展开即可判断D.
【详解】对于A，直线与既不平行也不相交，是异面直线，A正确；
对于B，，而直线与平面相交，故直线与平面也相交，B错误；
对于C，将形状为正方体的铁块磨制成一个球体零件，当球的半径为棱长一半，即其半径为1时，球的表面积最大，其表面积最大值，C错误；
对于D，从点沿圆柱的侧面到相对顶点的最短距离即为圆柱侧面展开图一个顶点到对边中点的距离，即其最短距离或，D错误；
故选：BCD．
9．
【分析】利用异面直线所成角的定义进行求解即可.
【详解】如图所示，连接，在正方体中，，则为异面直线与所成的角或其补角，不妨设该正方体的棱长为2，
由正方体的性质可得平面，平面可得，
在中，.
故答案为：
10．
【分析】根据异面直线所成的角的定义，借助平行关系作出平行直线，从而找到异面直线所成角（或补角），即可求解
【详解】如图：连接，设为的中点，连接，
则且，
所以为异面直线和所成的角（或补角），
由题意可得，
所以，
，
在中由余弦定理可得：
，
故答案为：
11．①②③
【分析】推导出四边形为正方形，取点、、为、、的中点，可判断①；分别取、、的中点、、，可判断②；分别取、、的中点作平面，交于点，可判断③；说明④不可能.由此可得出结果.
【详解】如下图所示，连接、交于点，则为、的中点，
，则，同理可得，
故，所以，，
因为平面四边形的四条边相等，故四边形为正方形.
已知四棱锥的条棱长都相等，任取其中条棱的中点做平面，截该四棱锥所得的平面图形可能是：
如图所示：
点、、为、、的中点，所以，故①正确；
对于②：如图所示：
分别取、、的中点、、，
所以：构成的平面交的中点，则，且，
因为四边形为菱形，则且，
又因为、分别为、的中点，则且，
故四边形为平行四边形，则且，
所以，且，故四边形为等腰梯形，故②正确；
对于③，如上图，分别取、、的中点作平面，交于点，则为的中点，
由已知条件可知，且，，
因为，则，故四边形为正方形，故③正确；
对于各个棱的中点，构成的多边形也不可能得到正五边形，故④错误.
故答案为：①②③.
12．①②④
【解析】对于①，根据，，可得；
对于②，延长交的延长线于，连，通过证明可证平面；
对于③，平面与平面所成二面角不是直角可知平面与平面不垂直；
对于④，可证平面，从而可得.
【详解】
对于①，在正方体中，，，所以，故①正确；
对于②，延长交的延长线于，连，则，
所以，又平面，平面，所以平面，故②正确；
对于③，平面与平面不垂直；故③不正确；
对于④，在正方体中，因为，，所以，
因为，，所以，因为，
所以平面，又平面，所以，故④正确.
故答案为：①②④
【点睛】本题考查了直线与直线的平行关系，考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与平面垂直的判定与性质，考查了平面与平面垂直，属于中档题.
13．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）连接，交于点，连接，交于点，从而可得到过点，，的平面为平面；
（2）根据基本性质三：若两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，即可作出平面与正方体表面的交线；
(1)
连接，交于点，连接，交于点，连接，则过点，，的平面为平面，
过点，，的平面与正方体表面的交线分别为：，，，.
(2)
延长，交的延长线于点Q，延长，交的延长线于点，连接交于点，连接交于点，连接，
则过点，，的平面为平面，
过点，，的平面与正方体表面的交线分别为：，，，，.
14．，.
【分析】将展开图还原为正方体，可得、、分别为正方体下底面与左右侧面的面对角线．等边中得出，即得原正方体中直线、所成角的大小，再由得出EF与AB所成角的大小．
【详解】将展开图还原为正方体，如图，
可得、、分别为正方体下底面与左右侧面的面对角线，
连线，可知为等边三角形，，
即原正方体中直线、所成角的大小为，
又，所以EF与AB所成角等于直线AB，CD所成的角，大小为.
15．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)．
【详解】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC．
（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．由几何关系可知∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．计算可得．则异面直线BC与MD所成角的余弦值为．
（Ⅲ）连接CM．由题意可知CM⊥平面ABD．则∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．计算可得．即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．
详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．
（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．
在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．
在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．
在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．
所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．
（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．
在Rt△CAD中，CD==4．
在Rt△CMD中，．
所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．
点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．
16．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据基本题意结合勾股定理作出这个正方形；
（2）根据勾股定理以及棱柱的体积公式计算即可.
(1)
交线围成的正方形EFGH如图
(2)
作，垂足为M，则，，.
∵四边形EFGH为正方形，∴，
∴，，.
∵长方体被平面分成两个高为5的直棱柱，
∴平面把该长方体分成的两部分体积的比值为.
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