高中数学人教A版（2019）必修第二册分层练习8.3简单几何体的表面积与体积A（含答案）

一、单选题
1．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为，则此圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（ ）
A． B． C． D．
5．圆台侧面的母线长为，母线与轴的夹角为，一个底面的半径是另一个底面半径的倍．则两底面的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，每个圆锥的底面直径和高均为，现有体积为的细沙全部漏入下圆锥后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．某圆锥的底面半径为3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ）
A．圆锥的侧面展开图的圆心角为
B．圆锥的体积为
C．过圆锥的两条母线作截面的面积最大值为8
D．圆锥轴截面的面积为
8．已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）轴截面是边长为2的等边三角形，则下面选项正确的是（ ）
A．圆锥PO的表面积为
B．圆锥PO的内切球半径为
C．圆锥PO的内接圆柱的侧面积最大时，该圆柱的高为
D．若C为PB的中点，则沿圆锥PO的侧面由点A到点C的最短路程是
三、填空题
9．一个四棱锥的三视图如下图所示，则该几何体的体积=___________.
10．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的面积与球的表面积之比为________．
11．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术 商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术 商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中平面，，，则四面体PABC的外接球的表面积为______．
12．表面积为81π的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是7，则这个正四棱柱的底面边长为______．
四、解答题
13．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m（高不变）；二是高度增加4 m（底面直径不变）．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪个方案更经济些？
14．如图，在正三棱柱中，D为棱的中点．若截面是面积为6的直角三角形，求此三棱柱的表面积．
15．传说阿基米德的墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面.
(1)试计算出图案中球与圆柱的体积比；
(2)假设求半径r＝10cm，试计算出图案中圆锥的体积和表面积.
16．如图，已知直三棱柱，其底面是等腰直角三角形，且，.
(1)求该几何体的表面积；
(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求拼得的棱柱表面积的最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】求得圆锥底面半径和高，由此求得圆锥的体积.
【详解】设圆锥底面半径为，高为，母线长为，则，
底面周长，所以，
所以圆锥的体积为.
故选：B
2．C
【分析】由条件求得圆锥的母线长，进而可求得结果.
【详解】设圆锥的母线长为，则，解得.
所以此圆锥的表面积.
故选：C.
3．B
【分析】根据三视图得到该几何体是长方体中挖去了一个圆锥，结合题意可知长方体的长、宽、高和圆锥的底面圆的半径和高，再由体积公式求解，即可得到答案.
【详解】由三视图知，此几何体是长方体中挖去了一个圆锥，
其中长方体的长为2，宽为2，高为3，
圆锥的底面圆的半径为，高为，
所以几何体的体积为：
，
故选：B.
4．B
【分析】根据题意可知圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以，求出的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.
【详解】解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，
圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，
可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，
设大圆锥的高为，所以，解得：，
则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6，
所以该壶的容积.
故选：B.
5．B
【分析】作出符合题意的图形，结合题设条件可以解得上底面的半径与的数量关系，即可求解
【详解】
如图所示，过作，垂足为，则在中，
所以
设圆台上底面的半径为，则即
所以圆台两底面的面积之和为
故选：B
6．B
【分析】根据圆锥体积公式即可求得高．
【详解】设锥形沙堆的高度，则，解得
故选：B
7．AC
【分析】根据弧长公式、圆锥体积公式、三角形面积公式逐一判断即可.
【详解】因为圆锥的底面半径为3，母线长为4，所以圆锥的高.
A：因为圆锥的底面半径为3，所以圆锥的底面周长为，又因为圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面展开图的圆心角为，因此本选项说法正确；
B：因为圆锥的体积为，所以本选项说法不正确；
C：设圆锥的两条母线的夹角为，过这两条母线作截面的面积为，
当时，面积有最大值，最大值为，所以本选项说法正确；
D：因为圆锥轴截面的面积为，所以本选项说法不正确，
故选：AC
8．ABC
【分析】根据圆锥的几何结构特征，结合圆锥的表面积公式和内切球的性质，以及内接圆柱、侧面展开图的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，圆锥轴截面是边长为2的等边三角形，
可得圆锥的底面圆的半径为，高，母线长为，
则圆锥的表面积为，所以A正确；
对于B中，设圆锥的内切球球心为，半径为，如图所示，
由与相似，可得，即，解得，
即圆锥的内切球的半径为，所以B正确；
对于C中，如图所示，设内接圆柱的底面半径为，高为，
在直角中，可得，则，
所以，
所以内接圆柱的侧面积为，
当且仅当时，即时，等号成立，此时
所以圆锥PO的内接圆柱的侧面积最大时，该圆柱的高为，所以C正确；
对于D中，如图所示，设圆锥侧面展开图的与圆心角为，
由弧长等于底面圆的周长，可得，可得，
在直角中，，可得，
即当为的中点，则沿圆锥的侧面由点到点的最短路程是，
所以D不正确.
故选：ABC.
9．
【分析】首先根据题意画出三视图的直观图，再计算体积即可.
【详解】该几何体的直观图，如图所示：
由三视图知：底面为正方形，平面，.
连接，如图所示：
根据三视图可知：，所以,
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查三视图的还原，同时考查四棱锥的体积，属于简单题.
10．
【分析】求出截面圆半径后可得面积比．
【详解】截面圆半径为，球半径为，则由题意得，
所以截面圆面积与球表面积比为．
故答案为：．
11．
【分析】确定外接球球心求得球半径后可得表面积．
【详解】由于平面，因此与底面上的直线都垂直，
从而与不可能垂直，否则是锐角三角形，由于，因此有，
而与是平面内两相交直线，则平面，平面，所以，
所以的中点到四个点的距离相等，即为四面体PABC的外接球球心．
，，
所以所求表面积为．
故答案为：．
12．4
【分析】先判断出正四棱柱的体对角线即为球的直径，利用球的表面积求出球的半径，再由勾股定理求边长即可.
【详解】由题意知：正四棱柱的体对角线即为球的直径，设球的半径为，则，解得，
设正四棱柱的底面边长为，则，解得.
故答案为：4.
13．(1)方案一：（m3），方案二：（m3）；
(2)方案一：（m2），方案二：（m2）；
(3)方案二比方案一更加经济些.
【分析】（1）根据圆锥的体积计算公式，带值计算即可；
（2）根据圆锥的表面积计算公式，带值计算即可；
（3）根据（1）（2）所求，比较体积和表面积的大小，即可判断.
（1）按照方案一：仓库的底面直径为m，高为4 m，则仓库的体积为（m3）；按照方案二：仓库的底面直径为m，高为8 m，则仓库的体积为（m3）,
（2）根据题意，仓库的表面积即为圆锥的侧面积；按照方案一：仓库的底面直径为m，高为4 m，圆锥的母线长（m）则仓库的表面积（）；按照方案二：仓库的底面直径为m，高为8 m，圆锥的母线长（m）则仓库的表面积为（）.
（3）根据（1）（2）所求，，故方案二比方案一更加经济些.
14．
【分析】设，根据是面积为6的直角三角形，由求解.
【详解】解：设，
则，．
由题意得
即
解得
从而．
15．(1)
(2)，
【分析】（1）设球半径为r，得出圆柱的高和底面半径，由体积公式计算可得；
（2）由圆锥体积公式计算体积，再求得圆锥母线长，由表面积公式计算表面积．
【详解】（1）设球半径为r，则圆柱的高为2r，底面圆半径为r，所以图案中球与圆柱的体积比为：.
（2）由题意，得圆锥，圆锥的母线长，
圆锥表.
16．(1)
(2)
【分析】（1）分别计算出三棱柱的上下底面面积和侧面积，加和即可得到结果；
（2）若大棱柱表面积最小，则面积最大的侧面相接，由此可计算得到最小值.
(1)
，，，，
三棱柱的上下底面面积之和为；
又三棱柱为直三棱柱，侧面均为矩形，
三棱柱的侧面积为；
三棱柱的表面积.
(2)
若要拼接而成的大棱柱表面积最小，则需面积最大的侧面相接，即侧面；
大棱柱表面积的最小值为
答案第1页，共2页
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