高中数学人教A版（2019）必修第二册分层练习8.4空间点、直线、平面之间的位置关系A（含答案）

一、单选题
1．若a，b表示直线，表示平面，下列命题中正确的个数为（ ）
①； ②；
③； ④．
A．1 B．2 C．3 D．0
2．下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（ ）
A．直线与直线平行 B．直线与直线相交
C．直线与直线异面垂直 D．直线与直线异面且所成的角为60°
3．在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点，O，M分别为BD，EF的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．四点B，D，E，F在同一平面内
B．三条直线BF，DE，CC1有公共点
C．直线A1C与直线OF不是异面直线
D．直线A1C上存在点N使M，N，O三点共线
5．在正方体中，则直线与直线所成角大小为（ ）
A． B． C． D．
6．如果直线l，m与平面满足和，那么必有（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
二、多选题
7．下列叙述中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则重合
D．若，则
8．已知m，n是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法错误是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，且，则
三、填空题
9．如图，在正方体中，，分别是中点，则异面直线与所成角大小为__________.
10．正方体中，点为的中点，则与所成角的正弦值是_______.
11．正方体中，棱长为分别是、的中点，是底面的中心，过作截面，则所得截面的面积为___________.
12．一个正方体的展开图如图所示，为原正方体的顶点，则在原来的正方体中，与的位置关系为______．
四、解答题
13．如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且，.
求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
14．如图，在长方体中，，，，求异面直线与所成角的大小．
15．如图所示，今有一正方体木料，其中M、N分别是AB、CB的中点，要过、M、N三点将木料锯开，请你帮助木工师傅想办法，怎样画线才能顺利完成？
16．在直三棱柱中，，，.
(1)求异面直线与所成角正切值的大小；
(2)求点与平面的距离.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】对于①④，利用线面垂直的性质即可判断真假；对于②，利用线面垂直性质以及线面的位置关系即可判定真假；对于③，利用线面垂直判定定理即可判断命题真假.
【详解】由线面垂直的性质知①④正确．
②中b可能满足，故②错误．
③中b与可能斜交，也可能平行，还可能在内，故③不正确．
故选:B．
2．D
【分析】首先画出正方体的展开图的立体图，从而得到直线与直线为异面直线，再求异面直线所成角即可得到答案.
【详解】正方体的展开图的立体图形如图所示：
由图知：直线与直线为异面直线，故A，B错误；
连接，，因为，所以或其补角为异面直线与所成角.
又因为为等边三角形，所以.
所以直线与直线异面且所成的角为60°，故C错误，D正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查异面直线成角问题，属于简单题.
3．B
【分析】连接，，得到，把异面直线与所成角转化为直线与所成角，取的中点，在直角中，即可求解.
【详解】在正方体中，连接，，可得，
所以异面直线与所成角即为直线与所成角，
即为异面直线与所成角，
不妨设，则，，
取的中点，因为，所以，
在直角中，可得.
故选：B.
4．C
【分析】利用两条平行线确定一个平面可判断选项A，利用点共线定理可判断选项B，根据异面直线的定义可判断选项C，连结OM即可判断选项D．
【详解】作出图象如图所示，
连结B1D1，则B1D1∥BD，B1D1∥EF，
所以BD∥EF，
所以四点B，D，E，F在同一平面内，故选项A正确；
延长BF，DE，则BF，DE相交于点P，
又BF 平面BCC1B1，DE 平面DD1C1C，
则P∈平面BCC1B1，P∈平面DD1C1C，
又平面BCC1B1∩平面DD1C1C＝CC1，
所以P∈CC1，即三条直线BF，DE，CC1有公共点P，故选项B正确；
因为直线A1C为长方体的体对角线，
所以直线A1C与直线OF不可能在同一平面内，
所以直线A1C与直线OF是异面直线，故选项C错误；
A1，O，C，C1均在平面AA1C1C内，连结OM，则OM与直线A1C相交，
所以直线A1C上存在点N使M，N，O三点共线，故选项D正确．
故选：C
【点睛】关键点点睛：根据异面直线的判定定理判定异面直线是解题的关键，属于中档题.
5．C
【分析】设正方体的棱长为，连接，证明可得或其补角即为直线与直线所成角，在中求即可求解.
【详解】设正方体的棱长为，连接，
因为且，所以四边形是平行四边形，
可得，
所以或其补角即为直线与直线所成角，
在中，，所以，
所以直线与直线所成角大小为，
故选：C.
6．A
【分析】根据题设线面关系，结合平面的基本性质判断线线、线面、面面的位置关系.
【详解】由，则；由，则；由上条件，m与可能平行、相交，与有可能平行、相交.
综上，A正确；B，C错误，m与有可能相交；D错误，与有可能相交．
故选：A
7．AD
【分析】利用公理判断选项AD，对于选项B：利用不一定是两个面的公共点即可判断；对于选项C：利用当三点共线即可判断.
【详解】对于选项A：直线上有两点在平面内，则直线在平面内；
故选项A正确；
对于选项B：若，则不一定是两个面的公共点.
故选项B错误；
对于选项C：若，
当三点共线时，则不一定重合.
故选项C错误；
对于选项D：两平面的公共点在公共直线上，
故选项D正确.
故选：A D.
8．ACD
【分析】利用空间中的线面、面面关系来这个判断即可.
【详解】解：对于A，若，则或m与n异面，故A错误；
对于B，若，过m作平面，则，又，则，可得，故B正确；
对于C，若，则或，故C错误；
对于D，若，且，则与相交，可能垂直，也可能不垂直，故D错误．
故选：ACD．
9．60°
【分析】由得出异面直线与所成角为，再由正三角形的性质得出异面直线与所成角大小.
【详解】分别是中点，所以有而，因此
异面直线与所成角为，在正方体中，，所以
故答案为：60°
10．
【分析】在正方体中找到与所成的角，然后在直角三角形中求解．
【详解】正方体中，的中点即为对角线与的交点，如图，因此与所成角即与所成的角，即，
由于平面，平面，所以，
．
故答案为：．
11．##
【分析】连接，可证明，然后可得截面为梯形，然后求出其面积即可.
【详解】
连接，因为分别是、的中点，
所以，因为，所以，
因为是的中点，所以过作截面，所得截面为梯形，
因为正方体的棱长为，所以，，，
所以梯形的高为，其面积为，
故答案为：
12．异面直线
【分析】由正方体的展开图复原正方体的直观图，根据直观可得答案.
【详解】由正方体的展开图复原正方体的直观图如图：
则在原来的正方体中，与的位置关系为异面直线，
故答案为：异面直线
13．证明见解析
【分析】连接EF，GH，AC，根据题干条件，可得EF∥AC，HG∥AC且EF≠HG，不妨设，根据点与线、线与面的关系，可得平面ABD，同理平面BCD，所以在两个面的交线上，又平面ABD∩平面BCD＝BD，则可得，即可得证.
【详解】证明：连接EF，GH，AC.
因为，，
所以EF∥AC，HG∥AC且EF≠HG，
所以EH，FG共面，且EH与FG不平行，
不妨设，
则，EH 平面ABD，所以平面ABD；
同理平面BCD.
又因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以，
所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点P.
【点睛】解题的关键是熟练掌握点线、线面的关系，并灵活应用，考查逻辑推理的能力，属基础题.
14．
【分析】连接，，由平行关系可知所求角为或其补角，根据勾股定理可求得，由余弦定理可求得结果.
【详解】连接，，
，，四边形为平行四边形，，
则异面直线与即为或其补角，
，，，，，，
在中，由余弦定理得：，
，则异面直线与所成角的大小为．
15．答案见解析
【分析】根据空间点线面位置关系可解.连接MN并延长交DC的延长线于F，连接交于Q，连接QN；同理延长NM交DA的延长线于E，连接交于P，连接MP即可.
【详解】作法如下：
(1)连接MN并延长交DC的延长线于F，连接交于Q，连接QN；
(2)延长NM交DA的延长线于E，连接交于P，连接MP；
(3)依次在正方体各个面上画线，PM，MN，NQ，，即为木工师傅所要画的线．
16．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得∥，则可得为异面直线与所成角，然后在中求解即可，
（2）在三棱锥中利用等体积法求解即可
（1）
（1）因为在直三棱柱中，∥，
所以为异面直线与所成角，
因为，，所以，
因为，所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
所以，所以，
所以异面直线与所成角的大小为
（2）
（2）连接，因为，所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，所以平面，
因为∥，所以平面，
设点与平面的距离为，
因为，
所以,
所以，解得，
所以点与平面的距离为
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