高中数学人教A版（2019）必修第二册分层练习7.3复数的三角表示（含答案）

一、单选题
1．复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数，则（ ）．
A． B． C． D．
4．已知为虚数单位，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．设z1＝1－2i，z2＝1＋i，z3＝－1＋3i则argz1＋argz2＋argz3＝（ ）
A． B．
C． D．
6．瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和数字0）联系到了一起，若表示的复数对应的点在第二象限，则可以为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列命题正确的是（ ）
A．若复数满足，则是纯虚数
B．若，互为共轭复数，则
C．是复数的三角形式
D．“复数为纯虚数”的充要条件为“”
8．（多选题）已知集合，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．已知方程的两根满足，则__________．
10．利用1的立方根，则8立方根是______．
11．已知，将按逆时针方向旋转得到，则Z点对应的复数为________.
12．若复数的实部为3，其中a是实数，i是虚数单位，则的虚部为______.
四、解答题
13．已知是实数，是非零复数，且满足，.
（1）求；
（2）设，若，求的值.
14．复数：.
（1）当时，求，；
（2）当时，若，求正整数n的最小值.
15．化简：
(1)；
(2)．
16．知复数，且，求．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】根据复数的三角形式求解即可.
【详解】
-i的立方根为（其中）
当时,得；
当时,得；
当时,得,
故选：D
【点睛】本题主要考查了复数的三角形式的应用,属于中档题.
2．C
【分析】设，根据复数模长运算和三角恒等变换的知识可得到，由此确定最大值.
【详解】由可设：，，
（其中），
当时，.
故选：.
【点睛】本题考查复数模长最值的求解问题，关键是能够将问题转化为三角函数最值的求解问题.
3．A
【分析】由已知，可根据题意直接表示出，化简即可得到结果.
【详解】由已知，复数，
故选：A．
4．D
【分析】利用复数三角形式乘法运算法则计算即可.
【详解】，
.
故选：D.
5．C
【分析】根据复数辐角主值的范围，结合复数的性质，先求z1·z2·z3，从而求得其辐角主值，进而求得结果.
【详解】∵z1·z2·z3＝(1－2i)(1＋i)(－1＋3i)
＝(3－i)(－1＋3i)＝10i，
∴argz1＋argz2＋argz3＝＋2kπ，k∈Z.
∵argz1∈，argz2∈，argz3∈，
∴argz1＋argz2＋argz3∈.
∴argz1＋argz2＋argz3＝.
【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有多个复数辐角主值和的求解，属于简单题目.
6．B
【分析】将选项中所给的角逐一带入，由欧拉公式把复数化为三角形式，再化为代数形式，即可判断复数在复平面内对应的点在第几象限，从而得到结果.
【详解】得，
当时，，复数对应的点在第一象限；
当时，，复数对应的点在第二象限；
当时，，复数对应的点在轴上；
当时，，复数对应的点在第四象限；
故选：B．
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关数学文化类问题，正确解题的关键是理解欧拉公式，并能将复数三角形式熟练化为代数形式，确定出复数在复平面内对应的点.
7．ABC
【分析】根据复数的定义判断，可设进行求解判断．
【详解】设，，则，
由得或，若，则不成立，
所以，，，为纯虚数，A正确；
若，则，，B正确；
，是复数的三角形式，C正确；
当时，不是纯虚数，D错误．
故选：ABC．
8．BC
【解析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.
【详解】根据题意，中，
时，；
时，
；时，；
时，，
.
选项A中，；
选项B中，；
选项C中，；
选项D中，.
故选：BC.
【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.
9．或
【分析】按照或进行分类讨论，由此求得的所有可能取值.
【详解】已知方程的两根，由韦达定理有：，
若即时，
所以，解得：.
若即时，
所以，
解得：.
综上：或.
故答案为：或.
10．，
【分析】设立方根为形式，由可得且，结合求结果.
【详解】令1的立方根为且，则，
所以，即，且，即，故且，
则且，
当时，
当时，
当时；
同理，令且，
所以，即，且，即，故且，
则且，
当时，
当时，
当时；
故答案为：，
11．
【解析】写出P点对应的复数为，根据复数乘法的几何意义可写出Z点对应的复数.
【详解】解：由题意得，P点对应的复数为，
由复数乘法的几何意义得：
，
故填.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义，属于基础题.
12．6
【解析】化简复数，实部为3,求出a，进而求出.
【详解】解：.
由题意知，，
，，
的虚部为6.
故答案为：6.
【点睛】本题考查复数的基础知识和含参复数的运算，属于基础题.
13．（1）（2）
【解析】（1）根据辐角，设出复数，再根据等量关系待定系数即可；
（2）由（1）中所求复数代入（2）中的模长计算公式，即可化简求得.
【详解】（1），可设，
将其代入，
化简可得，
∴，解得，
∴.
（2）
.
∵，∴，
化简得.
∵，
∴，
即.
【点睛】本题考查复数的三角形式的化简和计算，属综合基础题.
14．（1），；（2）10.
【分析】(1)利用复数的除法运算化简计算复数z，再结合复数模及辐角主值的意义计算即得；
(2)利用复数的三角形式的乘方法则计算，再由给定条件推理即得.
【详解】(1)，
于是得，而，且，则，
所以，；
(2)由(1)知：，
因，，于是得，则，即，，
所以正整数n的最小值为10.
15．(1)；
(2).
【分析】(1)利用复数三角形式的乘法法则直接进行计算作答.
(2)利用复数三角形式的除法法则直接进行计算作答.
（1）
.
（2）
.
16．或
【分析】利用复数的除法运算可得，根据复数相等列方程组，结合同角三角函数的关系求解的值即可.
【详解】解：因为，所以，
因此，
从而，所以，
而，即，
从而，解得或．
当时，；
当时，．
因此或.
答案第1页，共2页
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