高中数学人教A版（2019）必修第二册分层练习7.1复数的概念B（含答案）

一、单选题
1．当复数满足时，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．大数学家欧拉发现的公式把自然对数的底数e，虚数单位i和三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，这个公式被誉为“数学中的天桥”．若复数z的模是1，纯虚数（a是实数），则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．非零复数、在复平面内分别对应向量、（为坐标原点），若，则（ ）
A．、、三点共线 B．是直角三角形
C．是等边三角形 D．以上都不对
6．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．16
二、多选题
7．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则z是纯虚数
C．复数z的模长为定值 D．的最小值为
8．设复数z在复平面上对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．满足|z|＝1，且的点Z有且仅有一个
B．若|z－1|＝1，则z＝2或0或1＋i或1－i
C．，则点Z构成的图形面积为
D．非零复数，，对应的点分别为，，O为坐标原点，若，则为等腰直角三角形
三、填空题
9．已知复数， ，若，则的取值范围为 ____________；
10．请写出一个同时满足①；②的复数z，z=______．
11．复数与在复平面上对应的向量分别为与，已知，，且，则复数______.
12．已知，，，，则的最大值为______.
四、解答题
13．已知复数，，其中为实数，为虚数单位.
（1）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围；
（2）若是实数（是的共轭复数），求的值.
14．已知复数z=m（m+2）+（m2+m-2）i．
(1)若z是纯虚数，求实数m的值；
(2)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．
15．设复数，当取何实数时：
(1)复数z为纯虚数；
(2)在复平面上表示z的点位于第三象限；
(3)表示z的点在直线上．
16．已知集合，，讨论实数m取何值时：
(1)；
(2)．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】设，可求得点的轨迹方程，再利用的几何意义结合圆的几何性质可求得的最大值.
【详解】设，则，
所以，复数在复平面内对应的点的轨迹方程为，
圆的圆心坐标为，半径长为，
表示圆上的点到定点的距离，
因此，的最大值为.
故选：B
2．C
【分析】先求，再求轨迹方程.
【详解】，由题意知，则复数对应点的轨迹方程为.
故选：C．
【点睛】利用复数减法的几何意义，可以表示以下曲线：
①表示以点Z0为圆心，1为半径的圆；
②表示以Z1、Z2为焦点的椭圆；
③表示以Z1、Z2为焦点的双曲线.
3．B
【分析】通过对应的点为，确定对应点所在象限
【详解】复数对应的点为，在第二象限.
故选：B
4．B
【分析】由题目分析可求出，则，在复平面内对应点的坐标是，因为复数z的模是1，所以复数z在复平面内对应的点在单位圆上，即可求出的最大值.
【详解】因为复数z的模是1，所以复数z在复平面内对应的点在单位圆上，又是纯虚数，所以，，在复平面内对应点的坐标是，所以的最大值是2．
故选：B．
5．B
【分析】设，根据，可得，从而可将复数用表示，再判断各个选项即可.
【详解】解：设，
则，故，
因为，所以，
所以，
所以或，
故或，
当时，，
当时，，
所以，所以是直角三角形，
故、、三点不共线且不是等边三角形.
故选：B.
6．C
【分析】由模长定义化简可得，再由基本不等式得2x＋4y＝2x＋22y即可求解
【详解】由|z－4i|＝|z＋2|，得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥，
当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值.
故选：C
【点睛】本题考查由复数的模长求解参数的基本关系，基本不等式求最值，属于中档题.
7．BCD
【分析】A.利用平方关系求解判断；B.代入由复数的概念可判断； C. 利用复数模公式求解判断；D.由复数模的公式以及正弦函数的性质计算可判断.
【详解】解：A.因为，两边平方得，则，
所以，
所以 ，故A不正确；
B. 当时，则，是纯虚数，故B正确；
C.，是定值，故C正确；
D.
（其中），
所以的最小值为，故D正确；
故选：BCD.
8．ACD
【分析】根据已知条件找出Z的轨迹，从而判断A,B;找出复数Z表示的区域计算面积，从而判断C;
＝a+bi，=c+di,分别计算， ，，从而判断D.
【详解】解：对于A,因为|z|＝1，所以Z的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆；而表示到点的距离为1的复数z,此时对应点Z的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，两圆外切于点，所以此时z=,只有一个，故正确；
对于B,由|z－1|＝1可知Z的轨迹是以（1,0）为圆心，1为半径的圆,此时Z有无数个，故错误；
对于C,由可知Z的轨迹是以（0,0）为圆心，3为半径的圆中去掉一个以2为半径的同心圆后的圆环，所以S=(9-4) =5,故正确；
对于D,设＝a+bi，=c+di,因为，所以 ,所以，＝，＝＝，所以为等腰直角三角形，故正确.
故选：ACD.
9．
【分析】由复数相等及消参得到，根据正弦函数的值域及二次函数性质求参数范围.
【详解】由得：，
解得，而，
当时，，当时，，
综上，的取值范围为．
故答案为：
10．
【分析】设，根据模长公式得出，进而得出.
【详解】设，由条件①可以得到，两边平方化简可得，故，；
故答案为：
11．或
【分析】求出的坐标，再设的坐标，根据给定条件，列出方程组求解作答.
【详解】依题意，，设，
由得：，由得：，
联立解得或，即或，
所以或.
故答案为：或
12．4
【解析】本题先将，分别代入，然后相加，再运用复数模的三角不等式可计算出的最大值．
【详解】由题意，可知
，，
则，当与对应的向量反向共线时，等号成立.
．
故的最大值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查复数的模的计算，以及复数模的三角不等式的运用，不等式的计算能力．本题属基础题．
13．（1）；（2）.
【解析】（1）根据复数对应点所在的象限得出关于实数的不等式组，解出即可；
（2）根据是实数，得出该复数的虚部为零，可求出实数的值，再利用复数的模长公式可计算出的值.
【详解】（1）复数在复平面内对应的点在第三象限，则，解得，即.故实数的取值范围是；
（2），，
.
是实数，，解得，
，.
【点睛】本题考查利用复数的几何意义、复数的概念求参数，同时也考查了复数模长的计算，考查计算能力，属于中等题.
14．(1)m=0
(2)（0，1）
【分析】（1）根据纯虚数的概念，让实部等于零，虚部不等于零，列方程求解即可；
（2）根据复数z在复平面内对应的点位于第四象限，得到实部大于零，虚部小于零，列不等式求解即可.
【详解】（1）若复数是纯虚数，则，解得或且，，所以.
（2）复数z在复平面内对应的点位于第四象限，则，解得，故的取值范围为.
15．(1)复数不可能为纯虚数
(2)
(3)
【分析】（1）由实部等于0，虚部不等于0可得；
（2）由实部小于0，虚部小于0可得；
（3）用实部代入，用虚部代入求解可得．
(1)
由为纯虚数，则该组条件无解，所以复数不可能为纯虚数；
(2)
由表示的点位于第三象限，则解得；
(3)
由表示的点在直线上，则，解得．
16．(1);
(2)或.
【分析】（1）判断出，即可求得；（2）由得到，分类讨论，分别列方程，利用复数相等的条件即可求得.
【详解】（1）因为，所以；
因为，所以.
所以，所以恒成立.
即无论实数m取任何值，恒成立.
故.
（2）因为，所以.
因为，，
所以或.
当时，有：，解得：；
当时，有：，解得：.
综上所述：或.
答案第1页，共2页
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