安徽省芜湖市华星学校2022-2023学年高二上学期9月入学考试数学试卷

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安徽省芜湖市华星学校2022-2023学年高二上学期9月入学考试数学试卷
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。）
1．计算（　　）
A． B． C． D．
2．设向量，，若，则（　　）
A．－3 B．0 C．3 D．3或－3
3．（）若某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为3，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
4．在中，角的对边分别为，已知三个向量，共线，则的形状为（　　）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个角是的直角三角形 D．等腰直角三角形
5．关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论错误的是（　　）
A．某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查
B．为了解高一学生的视力情况，现有高一男生480人，女生420人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为63，则样本容量为135
C．若甲 乙两组数据的标准差满足则可以估计乙比甲更稳定
D．若数据的平均数为，则数据的平均数为
6．有5个相同球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（　　）
A．甲与丙相互独立 B．丙与丁相互独立
C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立
7．如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（　　）
A．存在最大值，最大值为 B．存在最小值，最小值为
C．为定值 D．不确定，与，位置有关
8．如图，一座垂直建于地面的信号发射塔的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在B点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为（　　）
A． B．
B．
C． D．
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）
9．设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（　　）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存单位向量和实数，使；
D．若，存在单位向量和正实数，使，则.
10．对于，角的对边分别为，有如下判断，其中正确的判断是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则符合条件的有两个
D．若，则是钝角三角形
11．（2022高一下·襄阳期末）如图，在正方体，中，是棱的中点，是线段（不含端点）上的一个动点，那么在点的运动过程中，下列说法中正确的有（　　）
A．存在某一位置，使得直线和直线相交
B．存在某一位置，使得平面
C．点与点到平面的距离总相等
D．三棱锥的体积不变
12．（2022高一下·电白期末）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：平均数为2，众数为2；丙地：平均数为2，中位数为3；丁地：平均数为2，方差为2，甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（　　）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（2022高一下·襄阳期末）向量在向量方向上的投影向量的模为　 　．
14．（2022高一下·电白期末）我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、水、火、土这五种物质，称为“五行”.古人构建了金生水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理论，随机任取“两行”，则取出的“两行”相生的概率是　 　
15．平面过正方体的顶点平面平面，平面，则所成角的正弦值为　 　.
16．（2022高一下·襄阳期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则△ABC的面积的最大值为　 　．
四、解答题（本大题共6小题，满分70分．）
17．已知=（1，2），=（1，-1）.
（1） 与夹角的余弦值；
（2）若与垂直，求k的值.
18．从某校高一年级新生中随机抽取一个容量为20的身高样本，数据如下（单位：，数据间无大小顺序要求）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，.x，174，175.
（1）若为这组数据的一个众数，求的取值集合；
（2）若样本数据的第90百分位数是173，求的值；
（3）若，试估计该校高一年级新生的平均身高.
19．（2022·聊城模拟）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B；
（2）若b=4，求周长的最大值.
20．（2021高一下·沈阳期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E为PB的中点，F为线段BC上的点，且BF＝ BC.
（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；
（2）求点F到平面PCD的距离.
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，D为AC边上的一点，，且 ▲ ，求△ABC的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）
22．如图所示，矩形中，，.、分别在线段和上，，将矩形沿折起.记折起后矩形为，且平面平面.
（1）求证：平面；
（2）若，求证：；
（3）求四面体体积最大值
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： ，
故选D.
【分析】由复数的乘法与除法法则直接计算即可.
2．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为 ，，且，
所以，
解得x=±3，
故选D.
【分析】由平行向量的坐标表示可得，计算即可.
3．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】由公式
，可知：该圆台的体积为
。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合圆台的体积公式，进而得出该圆台的体积。
4．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为 ，共线，
所以，
由正弦定理得，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
同理由 共线， 可得B=C，
所以A=B=C，
所以 的形状为等边三角形.
故选A
【分析】分别由共线向量的坐标表示，求得，B=C，进而可判断A=B=C，从而可得结论.
5．【答案】C
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：对于A，了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查，故A正确；
对于B，根据分层抽样的抽样比可知，样本容量为 x (480+ 420)= 135，故B正确；
对于C，因为S甲对于D，因为数据x1，x2，x3，……，xn的平均数为， 所以，
所以数据yi=axi-b(i=1，2，3，……，n)的平均数为，故D正确.
故选： C.
【分析】对于A，根据普查的适用情形即可求解；对于B，根据分层抽样的抽样比即可求解；对于C，根据标准差的含义即可求解；对于D，根据平均数的公式即可求解.
6．【答案】C
【知识点】相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】
解：从5个标有数字1，2， 3，4，5的小球中有放回的随机取两次，每次取1个球， 共有52=25个基本事件，
令事件A：“第一次取出的球的数字是1"，事件4包含：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5) 共5个基本事件，
则P(A)=，
令事件B：“第二次取出的球的数字是2”，事件B包含：(1，2)，(2，2)，(3，2)， (4，2)， (5，2)共5个基本事件，
则P(B)=，
令事件C：“两次取出的球的数字之和是7"，事件C包含：(2，5)， (5，2)， (3，4)， (4，3)，共4个基本事件，
则P(C)=，
令事件D：“两次取出的球的数字之和是6"， 事件D包含：(1，5)， (5，1)，(2，4)， (4，2)， (3，3)共5个基本事件，
则P(D)=，
对选项A，P(AC)=0≠P(A)P(C)，故A错误.
对选项B，P(BD)=，P(B)P(D)P(BD)，所以乙与丁相互独立，故B错误.
对选项C，P(AD)=， P(A)P(D)P(AD)，所以甲与丁相互独立，故C正确.
对选项D，P(BC)=， P(B)P(C)≠P( BD)，所以乙与丙不相互独立，故D错误.
故选：C
【分析】首先令事件A：“第一次取出的球的数字是1"，事件B：“第二次取出的球的数字是2"，事件C：“两次取出的球的数字之和是7”， 事件D：“两次取出的球的数字之和是6"，得到P(A)=，P(B)=，P(C)=，P(D)=，再根据独立事件的性质依次判断选项即可.
7．【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：如图，
连接AM，BN，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1D1，B1C1的中点，
可得MN//AB//CD，CD//平面MEN，
所以当F在棱CD移动时，F到平面MEN的距离为定值，当E在棱AB移动时，F到MN的距离为定值，
所以S△MEN为定值，则三棱锥M-NEF的体积为定值，
平面MEN即平面MABN，作CH⊥BN于H，由于AB⊥CH，可得CH⊥平面MABN，
由△BB1N∽△CHB，可得，
而S△MEN=，
所以.
故选：C
【分析】通过顶点转换，确定三棱锥的底和高的变化情况，利用等体积法即可确定答案.
8．【答案】D
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=45°，则AD=CD=30m，
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠CBD=30°，则，
在△ABD中，∠ADB=30°，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=，
解得AB=30m，
即有，
所以他的步行速度为.
故选：D
【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系求出AD， BD，再利用余弦定理计算作答.
9．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：对于A，给定向量，总存在向量，使得，即，显然存在，所以A正确；
对于B，因为向量在同一平面内且两两不共线，由平面向量基本定理可得：总存在实数λ，μ，使得，故B正确；
对于C，给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和正数λ，使得，当分解到方向的向量长度大于μ时，向量没办法按分解，所以C不正确；
对于D，存在单位向量，和正实数λ，μ，由于，向量，的模为1，由三角形的三边关系可得λ+μ>2，所以D成立.
故选：ABD
【分析】根据向量减法说明A；根据平面向量基本定理判断B；举例说明C；根据平面向量基本定理，结合三角形的性质，即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：对于A，若A>B，则a>b，由正弦定理可得sinA>sinB，故A正确；
对于B，若a>b，由正弦定理可得sinA>sinB>0，所以1-2sin2A<1-2sin2B，即cos2A对于C，若a=8，c=10，B=60°，显然三角形的一个内角及两邻边确定，则符合条件的△ABC只有一个，故C错误；
对于D，若sin2A+sin2B故选：ABD
【分析】利用正、余弦定理、倍角公式以及三角形的一些结论进行判断求解.
11．【答案】B,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于A，假设存在，则四点共面，而点不在平面内，A不符合题意．
对于B，因为，所以平面，所以当是直线与平面的交点时就满足要求，B符合题意．
对于C，因为的中点在平面内，所以点与点到平面的距离总相等，C符合题意．
对于D，连接，交于O，则O为中点，
所以，又平面，平面，
所以平面，所以点到平面的距离为定值，
从而三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，D符合题意．
故答案为：BCD
【分析】根据题意由正方体的几何性质由线面平行的性质即可得出线线平行，再由空间直线与直线的位置关系，即可判断出选项A错误；由已知条件由线面平行的判定定理即可得出结果由此判断出选项B正确；由线面垂直与距离的定义，结合线面平行的性质即可得出选项C正确；由三棱锥的体积公式，由等体积法代入数值计算出结果由此判断选项D正确，由此得出答案。
12．【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】甲地的中位数为2，极差为5，所以，最大值不大于，A符合；
若乙地过去10天每天新增疑似病例人数分别为0、0、0、2、2、2、2、2、2、8，
则满足平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，B不符合；
假设丙地至少有一天新增疑似病例人数超过7人，
由中位数为3可得平均数的最小值为，
与题意矛盾，C符合；
假设至少有一天新增疑似病例超过7人，则方差的最小值为，与题意矛盾，D符合．
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合众数、平均数、中位数、极差、方差的公式，进而找出甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的选项。
13．【答案】
【知识点】数量积的坐标表达式；向量的投影
【解析】【解答】解：因为，，
则，，
则向量在向量方向上的投影向量的模为.
故答案为：.
【分析】由数量积的坐标公式以及向量模的公式，代入数值计算出结果，结合向量投影的公式代入数值计算出结果即可。
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由题意得，随机任取“两行”共有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土共10种，
其中取出的“两行”相生的情况有金生水、水生木、木生火、火生土、土生金共5种，
所以取出的“两行”相生的概率。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出取出的“两行”相生的概率。
15．【答案】
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：由题意可知，延长B1A1与平面α交于点E，延长CB与平面α交于点F，连接AE，AF，EF，即平面AEF所在平面为平面α，
如图所示
因为平面AEF//平面CB1D1，平面AEF∩平面ABCD=m，又BD//B1D1，
所以m//B1D1，
同理可证n//CD1，
所以m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C=B1D1=CD1，
所以△CB1D1是等边三角形，
所以m，n所成角就是∠CD1B1=60°，
所以m，n所成角的正弦值为，
故答案为：
【分析】根据已知条件画出图形，再利用异面直线所成角的定义及解三角形即可求解.
16．【答案】
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的单调性；正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理得，所以，
因为，所以，
所以，又正弦定理得，
所以，则，
的面积
，
因为，所以，
当时，的面积取得最大值.
故答案为：.
【分析】首先由正弦定理以及两角和的正弦公式，整理化简即可得出，再由正弦函数的单调性以及三角形的面积公式整理化简即可得出面积的最大值。
17．【答案】（1）解：因为 ， ，故 .
（2）解：因为 ， ，故 ， ，
又向量 与 垂直，则 ，解得 .
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【分析】（1）由向量的夹角公式代入计算即可；
（2）先根据向量的线性运算的坐标表示求得 ， ， 再由向量垂直的坐标表示，列出方程，求解即可.
18．【答案】（1）解：解：其余19个数据152，155，158，164，164，165，165，166，167，168，169，170，170，170，171，174，175中，数据出现的频数为3的数据有165，170，出现频数为2的数据有164，168，因为x为这组数据的一个众数，所以x的取值集合为 {164，165，168，170} ；
（2）解：因为20×90%=18，所以90百分位数时第18和第19项数据的平均数，
若x≤171，则90百分位数为，矛盾；
若171若x≥175，则90百分位数为，矛盾；
综上，x的值为172；
（3）解： 依题意得152+155+158+164+164+165+165+165+166+167+168+168+169+170+170+170+171+174+174+175=3330，
所以平均数为3330÷20=166.5cm，
估计该校高一年级学生平均身高166.5cm.
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【分析】(1)首先排列19个数据，根据众数的定义，即可确定x的取值集合；
(2)首先确定第90百分位数是第18项和第19项数据的平均数，再讨论x的取值，根据百分位数，列式求值；
(3)根据平均数公式，列式求值.
19．【答案】（1）解：因为，则，
在中，由正弦定理得，，而，即，
整理得，即，又，解得，
所以.
（2）解：在中，由余弦定理得：，即，
而，于是得，当且仅当a=c=4时取“=”，
因此，当a=c=4时，a+c取最大值8，从而a+b+c取最大值12，
所以周长的最大值为12.
【知识点】基本不等式；正弦定理
【解析】【分析】（1）利用差角的余弦公式，结合正弦定理，化简计算作答.
（2）利用余弦定理，结合均值不等式求出的最大值， 从而求得周长的最大值.
20．【答案】（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，BC 底面ABCD，所以 ，又因为底面ABCD为正方形，所以 ，又因为AB 平面PBC，PA 平面PBC，且 ，所以BC⊥底面PAB，又因为AE 平面PBA，所以 ，因为PA＝AB，E为PB的中点，所以 ，又因为PB 平面PBC，BC 平面PBC，所以AE⊥平面PBC，因为AE 平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC；
（2）解：因为 ， ，所以 ，又 ，所以
，因为 ，
设点B到平面PCD的距离为 ，
所以 ，
由BF＝ BC，知点F到平面PCD的距离为 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据题意可证明 AE⊥平面PBC ，即可证明平面AEF⊥平面PBC；
（2）根据三棱锥中 ， 利用等体积即可求高，再由BF＝ BC转化即可。
21．【答案】（1）解：由正弦定理知， ，
∵ ，
代入上式得 ，
∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ .
（2）解：若选①：
由 平分 得， ，
∴ ，
即 ．
在 中，由余弦定理得 ，
又 ，∴ ，
联立 得 ，
解得 ， （舍去），
∴ ．
若选②：
因为 ， ，
，得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
联立 ，可得 ，
∴ ．
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解；
(2)选择①，由BD平分∠ABC得S△ABC= S△ABD+ S△BCD，分别用三角形面积公式求解可得ac=a+c，利用余弦定理可得a2+c2+ac=12，联立即可求解ac的值，即可求得△ABC的面积；
选择②，利用平面向量的线性运算可得，求解向量的模可得a2+c2-ac=4，利用余弦定理可得a2+c2+ac=12，联立即可求解ac的值，即可求得△ABC的面积.
22．【答案】（1）解：因为四边形MNEF，ECDF都是矩形，
所以MN//EF//CD，MN=EF=CD，
所以四边形MNCD是平行四边形，
所以NC//MD，
因为平面MFD，
所以NC//平面MFD，
（2）连接ED，设ED∩FC=O，
因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，
所以NE⊥平面ECDF，
所以NE⊥FC，
所以FC⊥平面NED，
又ND平面NED，
所以ND⊥FC，
（3）解：设NE=x，则EC=4-x，其中0由（1）得NE⊥平面FEC，
所以四面体NFEC的体积为：，
当x=2时，四面体NFEC的体积最大，且最大值为2.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】(1)要证线面平行，先证线线平行，先证四边形MNCD是平行四边形，即可.
(2)要证线线垂直，先证线面垂直，先证FC⊥平面NED即可.
(3)设NE=x，四面体NFEC的体积为，即可求最值.
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安徽省芜湖市华星学校2022-2023学年高二上学期9月入学考试数学试卷
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。）
1．计算（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： ，
故选D.
【分析】由复数的乘法与除法法则直接计算即可.
2．设向量，，若，则（　　）
A．－3 B．0 C．3 D．3或－3
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为 ，，且，
所以，
解得x=±3，
故选D.
【分析】由平行向量的坐标表示可得，计算即可.
3．（）若某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为3，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】由公式
，可知：该圆台的体积为
。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合圆台的体积公式，进而得出该圆台的体积。
4．在中，角的对边分别为，已知三个向量，共线，则的形状为（　　）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个角是的直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为 ，共线，
所以，
由正弦定理得，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
同理由 共线， 可得B=C，
所以A=B=C，
所以 的形状为等边三角形.
故选A
【分析】分别由共线向量的坐标表示，求得，B=C，进而可判断A=B=C，从而可得结论.
5．关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论错误的是（　　）
A．某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查
B．为了解高一学生的视力情况，现有高一男生480人，女生420人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为63，则样本容量为135
C．若甲 乙两组数据的标准差满足则可以估计乙比甲更稳定
D．若数据的平均数为，则数据的平均数为
【答案】C
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：对于A，了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查，故A正确；
对于B，根据分层抽样的抽样比可知，样本容量为 x (480+ 420)= 135，故B正确；
对于C，因为S甲对于D，因为数据x1，x2，x3，……，xn的平均数为， 所以，
所以数据yi=axi-b(i=1，2，3，……，n)的平均数为，故D正确.
故选： C.
【分析】对于A，根据普查的适用情形即可求解；对于B，根据分层抽样的抽样比即可求解；对于C，根据标准差的含义即可求解；对于D，根据平均数的公式即可求解.
6．有5个相同球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（　　）
A．甲与丙相互独立 B．丙与丁相互独立
C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立
【答案】C
【知识点】相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】
解：从5个标有数字1，2， 3，4，5的小球中有放回的随机取两次，每次取1个球， 共有52=25个基本事件，
令事件A：“第一次取出的球的数字是1"，事件4包含：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5) 共5个基本事件，
则P(A)=，
令事件B：“第二次取出的球的数字是2”，事件B包含：(1，2)，(2，2)，(3，2)， (4，2)， (5，2)共5个基本事件，
则P(B)=，
令事件C：“两次取出的球的数字之和是7"，事件C包含：(2，5)， (5，2)， (3，4)， (4，3)，共4个基本事件，
则P(C)=，
令事件D：“两次取出的球的数字之和是6"， 事件D包含：(1，5)， (5，1)，(2，4)， (4，2)， (3，3)共5个基本事件，
则P(D)=，
对选项A，P(AC)=0≠P(A)P(C)，故A错误.
对选项B，P(BD)=，P(B)P(D)P(BD)，所以乙与丁相互独立，故B错误.
对选项C，P(AD)=， P(A)P(D)P(AD)，所以甲与丁相互独立，故C正确.
对选项D，P(BC)=， P(B)P(C)≠P( BD)，所以乙与丙不相互独立，故D错误.
故选：C
【分析】首先令事件A：“第一次取出的球的数字是1"，事件B：“第二次取出的球的数字是2"，事件C：“两次取出的球的数字之和是7”， 事件D：“两次取出的球的数字之和是6"，得到P(A)=，P(B)=，P(C)=，P(D)=，再根据独立事件的性质依次判断选项即可.
7．如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（　　）
A．存在最大值，最大值为 B．存在最小值，最小值为
C．为定值 D．不确定，与，位置有关
【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：如图，
连接AM，BN，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1D1，B1C1的中点，
可得MN//AB//CD，CD//平面MEN，
所以当F在棱CD移动时，F到平面MEN的距离为定值，当E在棱AB移动时，F到MN的距离为定值，
所以S△MEN为定值，则三棱锥M-NEF的体积为定值，
平面MEN即平面MABN，作CH⊥BN于H，由于AB⊥CH，可得CH⊥平面MABN，
由△BB1N∽△CHB，可得，
而S△MEN=，
所以.
故选：C
【分析】通过顶点转换，确定三棱锥的底和高的变化情况，利用等体积法即可确定答案.
8．如图，一座垂直建于地面的信号发射塔的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在B点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为（　　）
A． B．
B．
C． D．
【答案】D
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=45°，则AD=CD=30m，
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠CBD=30°，则，
在△ABD中，∠ADB=30°，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=，
解得AB=30m，
即有，
所以他的步行速度为.
故选：D
【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系求出AD， BD，再利用余弦定理计算作答.
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）
9．设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（　　）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存单位向量和实数，使；
D．若，存在单位向量和正实数，使，则.
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：对于A，给定向量，总存在向量，使得，即，显然存在，所以A正确；
对于B，因为向量在同一平面内且两两不共线，由平面向量基本定理可得：总存在实数λ，μ，使得，故B正确；
对于C，给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和正数λ，使得，当分解到方向的向量长度大于μ时，向量没办法按分解，所以C不正确；
对于D，存在单位向量，和正实数λ，μ，由于，向量，的模为1，由三角形的三边关系可得λ+μ>2，所以D成立.
故选：ABD
【分析】根据向量减法说明A；根据平面向量基本定理判断B；举例说明C；根据平面向量基本定理，结合三角形的性质，即可判断D.
10．对于，角的对边分别为，有如下判断，其中正确的判断是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则符合条件的有两个
D．若，则是钝角三角形
【答案】A,B,D
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：对于A，若A>B，则a>b，由正弦定理可得sinA>sinB，故A正确；
对于B，若a>b，由正弦定理可得sinA>sinB>0，所以1-2sin2A<1-2sin2B，即cos2A对于C，若a=8，c=10，B=60°，显然三角形的一个内角及两邻边确定，则符合条件的△ABC只有一个，故C错误；
对于D，若sin2A+sin2B故选：ABD
【分析】利用正、余弦定理、倍角公式以及三角形的一些结论进行判断求解.
11．（2022高一下·襄阳期末）如图，在正方体，中，是棱的中点，是线段（不含端点）上的一个动点，那么在点的运动过程中，下列说法中正确的有（　　）
A．存在某一位置，使得直线和直线相交
B．存在某一位置，使得平面
C．点与点到平面的距离总相等
D．三棱锥的体积不变
【答案】B,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于A，假设存在，则四点共面，而点不在平面内，A不符合题意．
对于B，因为，所以平面，所以当是直线与平面的交点时就满足要求，B符合题意．
对于C，因为的中点在平面内，所以点与点到平面的距离总相等，C符合题意．
对于D，连接，交于O，则O为中点，
所以，又平面，平面，
所以平面，所以点到平面的距离为定值，
从而三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，D符合题意．
故答案为：BCD
【分析】根据题意由正方体的几何性质由线面平行的性质即可得出线线平行，再由空间直线与直线的位置关系，即可判断出选项A错误；由已知条件由线面平行的判定定理即可得出结果由此判断出选项B正确；由线面垂直与距离的定义，结合线面平行的性质即可得出选项C正确；由三棱锥的体积公式，由等体积法代入数值计算出结果由此判断选项D正确，由此得出答案。
12．（2022高一下·电白期末）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：平均数为2，众数为2；丙地：平均数为2，中位数为3；丁地：平均数为2，方差为2，甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（　　）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】甲地的中位数为2，极差为5，所以，最大值不大于，A符合；
若乙地过去10天每天新增疑似病例人数分别为0、0、0、2、2、2、2、2、2、8，
则满足平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，B不符合；
假设丙地至少有一天新增疑似病例人数超过7人，
由中位数为3可得平均数的最小值为，
与题意矛盾，C符合；
假设至少有一天新增疑似病例超过7人，则方差的最小值为，与题意矛盾，D符合．
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合众数、平均数、中位数、极差、方差的公式，进而找出甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的选项。
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（2022高一下·襄阳期末）向量在向量方向上的投影向量的模为　 　．
【答案】
【知识点】数量积的坐标表达式；向量的投影
【解析】【解答】解：因为，，
则，，
则向量在向量方向上的投影向量的模为.
故答案为：.
【分析】由数量积的坐标公式以及向量模的公式，代入数值计算出结果，结合向量投影的公式代入数值计算出结果即可。
14．（2022高一下·电白期末）我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、水、火、土这五种物质，称为“五行”.古人构建了金生水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理论，随机任取“两行”，则取出的“两行”相生的概率是　 　
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由题意得，随机任取“两行”共有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土共10种，
其中取出的“两行”相生的情况有金生水、水生木、木生火、火生土、土生金共5种，
所以取出的“两行”相生的概率。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出取出的“两行”相生的概率。
15．平面过正方体的顶点平面平面，平面，则所成角的正弦值为　 　.
【答案】
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：由题意可知，延长B1A1与平面α交于点E，延长CB与平面α交于点F，连接AE，AF，EF，即平面AEF所在平面为平面α，
如图所示
因为平面AEF//平面CB1D1，平面AEF∩平面ABCD=m，又BD//B1D1，
所以m//B1D1，
同理可证n//CD1，
所以m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C=B1D1=CD1，
所以△CB1D1是等边三角形，
所以m，n所成角就是∠CD1B1=60°，
所以m，n所成角的正弦值为，
故答案为：
【分析】根据已知条件画出图形，再利用异面直线所成角的定义及解三角形即可求解.
16．（2022高一下·襄阳期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则△ABC的面积的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的单调性；正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理得，所以，
因为，所以，
所以，又正弦定理得，
所以，则，
的面积
，
因为，所以，
当时，的面积取得最大值.
故答案为：.
【分析】首先由正弦定理以及两角和的正弦公式，整理化简即可得出，再由正弦函数的单调性以及三角形的面积公式整理化简即可得出面积的最大值。
四、解答题（本大题共6小题，满分70分．）
17．已知=（1，2），=（1，-1）.
（1） 与夹角的余弦值；
（2）若与垂直，求k的值.
【答案】（1）解：因为 ， ，故 .
（2）解：因为 ， ，故 ， ，
又向量 与 垂直，则 ，解得 .
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【分析】（1）由向量的夹角公式代入计算即可；
（2）先根据向量的线性运算的坐标表示求得 ， ， 再由向量垂直的坐标表示，列出方程，求解即可.
18．从某校高一年级新生中随机抽取一个容量为20的身高样本，数据如下（单位：，数据间无大小顺序要求）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，.x，174，175.
（1）若为这组数据的一个众数，求的取值集合；
（2）若样本数据的第90百分位数是173，求的值；
（3）若，试估计该校高一年级新生的平均身高.
【答案】（1）解：解：其余19个数据152，155，158，164，164，165，165，166，167，168，169，170，170，170，171，174，175中，数据出现的频数为3的数据有165，170，出现频数为2的数据有164，168，因为x为这组数据的一个众数，所以x的取值集合为 {164，165，168，170} ；
（2）解：因为20×90%=18，所以90百分位数时第18和第19项数据的平均数，
若x≤171，则90百分位数为，矛盾；
若171若x≥175，则90百分位数为，矛盾；
综上，x的值为172；
（3）解： 依题意得152+155+158+164+164+165+165+165+166+167+168+168+169+170+170+170+171+174+174+175=3330，
所以平均数为3330÷20=166.5cm，
估计该校高一年级学生平均身高166.5cm.
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【分析】(1)首先排列19个数据，根据众数的定义，即可确定x的取值集合；
(2)首先确定第90百分位数是第18项和第19项数据的平均数，再讨论x的取值，根据百分位数，列式求值；
(3)根据平均数公式，列式求值.
19．（2022·聊城模拟）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B；
（2）若b=4，求周长的最大值.
【答案】（1）解：因为，则，
在中，由正弦定理得，，而，即，
整理得，即，又，解得，
所以.
（2）解：在中，由余弦定理得：，即，
而，于是得，当且仅当a=c=4时取“=”，
因此，当a=c=4时，a+c取最大值8，从而a+b+c取最大值12，
所以周长的最大值为12.
【知识点】基本不等式；正弦定理
【解析】【分析】（1）利用差角的余弦公式，结合正弦定理，化简计算作答.
（2）利用余弦定理，结合均值不等式求出的最大值， 从而求得周长的最大值.
20．（2021高一下·沈阳期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E为PB的中点，F为线段BC上的点，且BF＝ BC.
（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；
（2）求点F到平面PCD的距离.
【答案】（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，BC 底面ABCD，所以 ，又因为底面ABCD为正方形，所以 ，又因为AB 平面PBC，PA 平面PBC，且 ，所以BC⊥底面PAB，又因为AE 平面PBA，所以 ，因为PA＝AB，E为PB的中点，所以 ，又因为PB 平面PBC，BC 平面PBC，所以AE⊥平面PBC，因为AE 平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC；
（2）解：因为 ， ，所以 ，又 ，所以
，因为 ，
设点B到平面PCD的距离为 ，
所以 ，
由BF＝ BC，知点F到平面PCD的距离为 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据题意可证明 AE⊥平面PBC ，即可证明平面AEF⊥平面PBC；
（2）根据三棱锥中 ， 利用等体积即可求高，再由BF＝ BC转化即可。
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，D为AC边上的一点，，且 ▲ ，求△ABC的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）
【答案】（1）解：由正弦定理知， ，
∵ ，
代入上式得 ，
∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ .
（2）解：若选①：
由 平分 得， ，
∴ ，
即 ．
在 中，由余弦定理得 ，
又 ，∴ ，
联立 得 ，
解得 ， （舍去），
∴ ．
若选②：
因为 ， ，
，得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
联立 ，可得 ，
∴ ．
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解；
(2)选择①，由BD平分∠ABC得S△ABC= S△ABD+ S△BCD，分别用三角形面积公式求解可得ac=a+c，利用余弦定理可得a2+c2+ac=12，联立即可求解ac的值，即可求得△ABC的面积；
选择②，利用平面向量的线性运算可得，求解向量的模可得a2+c2-ac=4，利用余弦定理可得a2+c2+ac=12，联立即可求解ac的值，即可求得△ABC的面积.
22．如图所示，矩形中，，.、分别在线段和上，，将矩形沿折起.记折起后矩形为，且平面平面.
（1）求证：平面；
（2）若，求证：；
（3）求四面体体积最大值
【答案】（1）解：因为四边形MNEF，ECDF都是矩形，
所以MN//EF//CD，MN=EF=CD，
所以四边形MNCD是平行四边形，
所以NC//MD，
因为平面MFD，
所以NC//平面MFD，
（2）连接ED，设ED∩FC=O，
因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，
所以NE⊥平面ECDF，
所以NE⊥FC，
所以FC⊥平面NED，
又ND平面NED，
所以ND⊥FC，
（3）解：设NE=x，则EC=4-x，其中0由（1）得NE⊥平面FEC，
所以四面体NFEC的体积为：，
当x=2时，四面体NFEC的体积最大，且最大值为2.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】(1)要证线面平行，先证线线平行，先证四边形MNCD是平行四边形，即可.
(2)要证线线垂直，先证线面垂直，先证FC⊥平面NED即可.
(3)设NE=x，四面体NFEC的体积为，即可求最值.
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