1.4.1 角平分线的性质与判定 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
角平分线
课时1 角平分线的性质与判定
角平分线的性质
角平分线的判定.（重点、难点）
学习目标
新课导入
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等
的角. 你有什么办法？
A
O
B
C
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
对折
新课讲解
知识点1 角平分线的性质
还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？请你尝试证明这性质，并与同伴交流.
新课讲解
如图，任意作一个角∠AOB，作出 ∠AOB的平分
线OC. 在OC上任取一点P，过点P 画出OA，OB的垂
线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE并作比较，你
得到什么结论？在OC上再取
几个点试一试.
通过以上测量，你发现了
角的平分线的什么性质？
A
B
O
P
C
D
E
新课讲解
1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2.书写格式：
如图，∵OP平分∠AOB，
PD⊥ OA于点D，PE⊥OB于点E,
∴PD＝PE.
新课讲解
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
(1)角的平分线；
(2)点在该平分线上；
(3)垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
定理　　角平分线上的点到这个角的两边的距
离相等.
新课讲解
例
典例分析
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E.
求证：PD＝PE.
新课讲解
∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
∵∠1＝∠2, OP＝OP
∴△PDO≌△PEO ( AAS ).
∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
证明：
新课讲解
例
典例分析
如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上， AD＝10，DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，DE＝DF，求DE的长.
新课讲解
解：
∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分分别为E，F,
且DE＝DF，
∴AD平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边
距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°.
在 Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，
∴DE＝　AD＝ ×10＝5 (在直角三角形中，如果
一个锐角等于30°. 那么它所对的直角边等于斜
边的一半).
新课讲解
练一练
如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是(　　)
A．PC⊥OA，PD⊥OB
B．OC＝OD
C．∠OPC＝∠OPD
D．PC＝PD
D
新课讲解
知识点2 角平分线的判定
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两
边的距离相等.
O
D
E
P
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
A
C
B
新课讲解
如图，由 ⊥ 于点 D ， ⊥
于点E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？
OB
PE
PD
OA
B
A
D
O
P
E
到一个角的两边的距离相等
的点， 在这个角的平分线上.
新课讲解
证明过程：
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE．
求证：OP平分∠AOB.
新课讲解
∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E，
∴∠ODP＝∠OEP＝90°，
∵PD＝PE，OP＝OP，
∴Rt△DOP≌ Rt△EOP ( HL ).
∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等).
∴OP平分∠AOB.
证明：
新课讲解
判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角
的平分线上．
书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
新课讲解
例
典例分析
如图，已知BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.
求证：AD平分∠BAC.
分析：
要证AD平分∠BAC，已知条件
中有两个垂直，即有点到角的
两边的距离，再证这两个距离
相等即可证明结论，证这两条
垂线段相等，可通过证明
△BDE和△CDF全等来完成．
新课讲解
∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS)．
∴DE＝DF.
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴AD平分∠BAC.
证明：
新课讲解
练一练
如图，一目标在A区，到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500 m，在图上标出它的位置(比例尺1：20 000).
如图，设公路、铁路的交点为O. 在A区内作角的平分线OB，在OB上截取OC＝2.5 cm，则点C即为所求．
解：
课堂小结
角的平分线的性质与判定定理的关系：
(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．
(2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距
离相等．　
(3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距
离就一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离
相等的点，都应在角的平分线上．
当堂小练
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是(　　)
A．15 B．30
C．45 D．60
B
当堂小练
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，连接AD，E为AD上一点，EM⊥AB于点M，EN⊥AC于点N，则下面四个结论：①若AD⊥BC，则EM＝EN；②若EM＝EN，则∠BAD＝∠CAD；③若EM＝EN，则AM＝AN；④若EM＝EN，则∠AEM＝
∠AEN.其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D
拓展与延伸
如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的数量关系为(　　)
A．AD>DE
B．AD＝DE
C．ADD．不确定
D