17.2.1勾股定理的逆定理 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
17.2.1勾股定理的逆定理
人教版八年级下册
知识回顾
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，那么.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
A
C
B
a
b
c
条件：直角三角形的两直角边长为a、b，斜边长为c.
结论：
教学目标
1.理解互逆命题、互逆定理的概念和关系，能准确表述出一个命题的逆命题并判断真假.
2.掌握勾股定理的逆定理概念，并熟练运用勾股定理的逆定理去判定直角三角形.
新知导入
问题1 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
c=5
c=6.5
c=8.5
思考 以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？
条件：三角形
结论：该三角形是直角三角形.
结论能成立吗？
新知探究
知识点 1
知识点：勾股定理的逆定理
画一画 如果围成的三角形的三边长分别为3、4、5，并且满足，那么围成的三角形是直角三角形吗？
画一画 如果围成的三角形的三边长分别为2.5、6、6.5，并且满足，那么围成的三角形是直角三角形吗？
说说你有什么发现.
新知探究
由以上的例子，我们可以作出什么猜想？
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
已知：如图，△ABC的三边长a、b、c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
证一证
新知探究
如图，已知△的三边长a、b、c满足.
求证：△是直角三角形.
分析：我们可以先画一个两条直角边长分别为a、b的直角三角形，如果可以证和这个直角三角形全等，那么△也是一个直角三角形.
A
C
B
a
b
c
新知探究
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°， A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)，
∴∠C= ∠C′=90° ，即△ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
新知小结
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a 、b 、c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
特别说明
新知探究
利用边的关系判定直角三角形的步骤
找：找出三角形三边中的最长边；
算：计算其他两边的平方和与最长边的平方；
判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是.
1
2
3
新知探究
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件
结论
区别
联系 在Rt中，∠C=90 .
勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”到“数”.
在△中，
勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形” ，即由“数”到“形”.
新知探究
判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
(2) a=13 ，b=14 ，c=15.
(2)∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
归纳：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
例1
新知探究
【变式题1】若△ABC的三边a、b、c满足 a:b: c=3:4:5，试判断△ABC的形状.
解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0).
∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,
∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.
归纳：已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.
新知探究
【变式题2】(1)若△ABC的三边a、b、c，且a+b=4,
ab=1,c= ，试说明△ABC是直角三角形.
解：∵a+b=4,ab=1,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.
又∵c2=14,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形.
新知探究
(2) 若△ABC的三边 a、b、c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0，
即 (a－3) + (b－4) + (c－5) =0，
∴ a=3, b=4, c=5，
即 a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.
新知探究
如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝ CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．
解：AF⊥EF.理由如下：
设正方形的边长为4a,
则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．
∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
例2
新知小结
（1）只是一种表达形式，只要有两边的平方和等于第三边的平方的三角形都是直角三角形，其中最长边即为斜边.
（2）这种判定方法不是判定直角三角形的唯一方法，也可以用定义或其他方法来证明.
新知探究
知识点 1
知识点：逆定理
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、 b ，斜边长为 c ，那么.
命题2 如果三角形的三边长a、 b 、 c 满足，那么这个三角形是直角三角形.
仔细观察命题1、命题2的题设和结论，你能发现什么？
新知探究
命题1：
直角三角形
a2+b2=c2
命题2：
直角三角形
a2+b2=c2
题设
结论
它们是题设和结论正好相反的两个命题.
问题1 两个命题的条件和结论分别是什么？
问题2 两个命题的条件和结论有何联系？
新知探究
互逆命题：如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做它的逆命题.
互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另外一个定理的逆定理.
（1）命题有真有假，而定理都是真命题；
（2）每个命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理；
（3）原命题的真假与其逆命题的真假没有关系.
新知练习
1.说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
内错角相等，两条直线平行.
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.
对应角相等的三角形全等 .
在角平分线上的点到角两边的距离相等.
成立
不成立
不成立
成立
课堂总结
勾股定理的逆定理
逆定理
如何判断
直角三角形
如果三角形的三边长a、 b 、 c 满足，那么这个三角形是直角三角形.
①找最长边
②算两短边的平方和与长边的平方
③判断等量关系
课堂总结
勾股定理的逆定理
互逆命题
互逆定理
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题.
一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.
课堂练习
D
A
课堂练习
课堂练习
课堂练习
6.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD= ,求四边形ABCD 的面积.
∴△ ABC是直角三角形，且∠B是直角.
∴ △ ADC是直角三角形，且∠D是直角.
∴ S 四边形 ABCD=
谢谢
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