(共23张PPT)
1.一次函数的表达式是什么
y=kx+b(k,b为常数,k≠0)
3.一次函数图象是什么？
5.直线y=kx+4与正比例函数y=-2x图象平行,则k= _____ ，此直线的关系式为_____ .
y=kx(k≠0)
2.正比例函数的表达式是什么？
一条直线,其中正比例函数的图象必过原点.
-2
y=-2x+4
4.已知直线y=3x+2与一条经过原点的直线平行,则这条直线的函数关系式为_________.
y=3x
6.直线y=kx+b与正比例函数y=-2x图象平行,则k= _____ ，此直线的关系式为_____ .
-2
？
知识回顾
确定正比例函数的表达式需要几个条件？
要确定哪个量的值？
总结：在确定函数表达式时,要求几个量就需要知道几个条件,相应地就要列几个方程.
k(自变量的系数)
K、b的值
确定一次函数的表达式需要几个条件？
要确定哪个量的值？
一个
两个
知识回顾
分析 :
例：已知弹簧的长度y(cm)在一定的限度内是所挂重物质量x(千克)的一次函数,现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米,挂4千克质量的重物时,弹簧的长度是7.2厘米.求这个一次函数的关系式.
已知y与x的函数关系是一次函数,则关系式必是y=kx+b的形式，求此函数关系式的关键是求出k、b,根据题意列出关于k、b 的方程.
探究活动
例：已知弹簧的长度y(cm)在一定的限度内是所挂重物质量x(千克)的一次函数,现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米,挂4千克质量的重物时,弹簧的长度是7.2厘米.求这个一次函数的关系式.
设一次函数的表达式为
解：
y=kx+b (k≠0)
根据题意，得
b＝6
4k+b＝7.2
解得：
k＝0.3
b＝6
∴ 函数的解析式为 y= 0.3x ＋6
探究活动
待定系数法：
先设待求的函数关系式(其中含有未知的系数)再根据条件列出方程或方程组,求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法.
用待定系数法解题一般分为几步？
一设、二列、三解、四还原
1.设一次函数的一般形式y=kx+b(k≠0) ;
2.根据已知条件列出关于k , b 的二元一次方程组 ;
3.解这个方程组,求出k, b ;
4.将已经求出的 k, b的值代入解析式 .
探究归纳
求图中直线的解析式：
解:图象是经过原点的直线,因此是正比例函数,设解析式为y=kx,把(1,2)代入，得k=2,所以图中直线的解析式为y=2x.
1
2
x
y
o
随堂练习
如图所示,已知直线AB和x轴交于点B,和y轴交于点A
①写出A、B两点的坐标
②求直线AB的表达式
A
B
A(0,2)、B(4,0)
y
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-3
x
4
3
2
1
0
-1
-2
解:设直线AB的表达式是y=kx+b
把A(0,2)、B(4,0)代入上
式,得b=2,4k+b=0;
解得
所以直线AB的表达式为
随堂练习
1.已知一次函数y=kx+b,当x=0时,y=2;当x=4时,y=6.求这个一次函数的解析式．
2.已知一次函数的图象经过点(3,5)与(-4,-9).
求这个一次函数的解析式．
解:把x=0,y=2;x=4,y=6代入y=kx+b,得
b=2,4k+b=6; 解得k=1
所以这个一次函数的解析式为y=x+2
解:设这个一次函数的解析式是y=kx+b(k≠0)
把 (3,5)、(-4,-9)代入上式,得
5=3k+b,-9=-4k+b;
解得 k=2,b=-1
所以这个一次函数的解析式为y=2x-1
随堂练习
如果y+3与x+2成正比例,且x＝3时,y＝7
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)求当x＝－1时,y的值；(3)求当y＝0时,x的值.
解:(1)设函数的关系式是y+3=k(x+2)
把x=3,y=7代入上式,得7+3=(3+2)k
解得k=2 所以y+3=2(x+2) 即y+3=2x+4
所以y与x之间的函数关系式为y=2x+1
(2)当x＝－1时,y=2x(-1)+1=-1
(3)当y＝0时,有0=2x+1 解得
随堂练习
探究归纳
1、由于正比例函数y=kx(k≠0)中,只有一个待定系数K,所以只要一个条件(如一组对应点的值),就可以求出k的值。
2、一次函数y=kx+b(k≠ 0)有两个待定系数k、b,需要两个独立的条件确定关于k、b的方程,求得k、b的值,这两个条件通常是两组对应的x、y值.
某型号汽车进行耗油实验,y(耗油量)是t(时间)的一次函数,函数关系如下表,请确定函数表达式.
t (时 间) 0 1 2 3 …
y(耗油量) 100 84 68 52 …
解:设这个一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0)
把 (0,100)、(1,84)代入上式,得
100=b,84=k+b; 解得k=-16
所以这个一次函数的表达式为y=-16x+100
实践探究
小明根据某个一次函数关系式填写了下表:
x -2 -1 0 1
y 3 1 0
其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看,该空 格里原来填的数是多少 解释你的理由。
解:设这个一次函数的表达式是y=kx+b
把 (0,1)、(1,0)代入上式,得1=b,0=k+b;
解得k=-1 所以这个一次函数的表达式为y=-x+1
当x=-1时,y=-(-1)+1=1+1=2
所以该空格里原来填的数是2
实践探究
1. 若有同学画了如图所示的一条直线, 则他画的直线的表达式是 .
y
x
0
1
3
2.已知一个正比例函数,它的图象经过点(-1,2),则该函数表达式是＿＿＿
y = - 2x
y=3x
3.若函数y=kx+b的图象经过点(0,5)
(1,6), 则k= ，b=
1
5
4.若一次函数的图象经过(0,0),(-1,1)两点,则这个一次函数的表达式 .
y=-x
巩固练习
1.若y=kx的图象经过(1,2)点,那么它一定过( )
A.(2,-1) B.(-0.5,-1) C.(-2,1) D.(-1,0.5)
B
2.y是x的正比例函数,当x=2时,y=6,y与x的函数表达式是（ ）
y=3x
3.图象经过点(2,6)的正比例函数的表达式是 ．
y=3x
4.若一次函数y=2x+b的图像经过点A(-1,4),则
b=＿＿;该函数图像经过点B(1,＿）和点C(＿,0)
6
8
-3
5.点A(3,0)B(0,-3)C(1,m)在同一直线上,则m的值是 .
-2
巩固练习
1.若一次函数图像y=ax+3的图象经过A(1,-2),则 a= .
2.直线y=2x+b过点(1,-2),则它与y轴交点坐标为( ).
-5
(0, -4)
3.如图,直线l是一次函数y=kx+b的图象,填空
(1)b=____,k=____;
(2)当x=30时,y=____;
(3)当y=30时,x=____；
(4)三角形AOB的面积是 .
A
B
3
巩固练习
2.已知函数y=(k-2)x+2k+1,若它是正比例函数,则k值是( );若它是一次函数,则k值是( ).
1.若正比例函数的图象经过点(-1,2),则这个函数图象必经过点( )
A.(1,2) B.(-1,-2) C.(2,-1) D.(1,-2)
D
3.若直线y=kx+b经过点(0,2),且与坐标轴围成
等腰直角三角形,则该直线的函数表达式
是 .
y=x+2 或 y=-x+2
巩固练习
已知直线 与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0,2)，求直线 的解析式。
解：设直线 的解析式为y=kx+b,
∵ 与直线y=-2x平行，∴k= -2
又直线 过点(０,２)
∴２=-2×0+b, ∴b=2
∴直线 的解析式为y=-2x+2
巩固提高
已知正比例函数y=k1x的图象与一次函数y=k2x-9的图象的交点坐标为P(3,-6).(1)求两函数解析式．
(2)求两函数图象与x轴围成的三角形面积．
解:(1)把P(3,-6)代入y=k1x得，
-6=3k1，∴k1=-2，
代入y=k2x-9 得-6=3k2-9
∴ k2=1，
故两函数解析式分别为：
y=-2x，y=x-9．
(2)S△OAP
巩固提高
某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y元是行李质量x(千克)的一次函数,其图象如图所示:
①写出y与x之间的函数关系式;
②旅客最多可免费携带多少千克行李
60
80
6
10
X/千克
y/元
0
解:①设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)把
(60,6)(80,10)代入上式,得6=60k+b 10=80k+b
解得:k= b=-6
所以y与x的函数关系式为y=
②当y=0时,有0= 解得x=30
所以旅客最多可免费携带30千克行李.
能力提高
某同学在做放水实验时,记录下池中水量 y 立方米与放水时间 x 小时之间有如下对应关系 ：
x 2 4 6 8 …
y 15 12 9 6 …
（1）按规律把表格填写完整：
（2）写出池中原有水＿＿立方米。
（3）根据上表中的数据，把 y 作为纵坐标，x 作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点。
（4）请你猜一猜上述各点会在某一个函数图像上吗？如果在某一函数的图像上，求出该函数的表达式。
（5）预计＿＿小时池中的水放完。
0
18
18
12
能力提高
(1)若一次函数y=kx+b与y轴交点的纵坐标为-2,且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则k=____.
(2)若直线y=3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积是6个面积单位,则b=_____.
(3)直线y=kx+b与直线y=-2x+1平行,且过(-2,4)点,则直线的解析式是 。
（4)要使直线y=x-1向上平移后经过点(-2,2),那么直线应向上平移的单位数是___
2或-2
6或-6
y=-2x
5
达标检测
直线 与直线y=1+2x交点的横坐标为2,与直线y=-x+2的交点的纵坐标为1,求直线 的解析式.
解:把x=2代入y=1+2x 得y=5;
把y=1代入y=-x+2得x=1
设直线 的解析式为y=kx+b
把(2,5)(1,1)代入,得5=2k+b 1=k+b
解得k=4 b=-3
所以直线 的解析式为y=4x-3
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17.3一次函数
4.求一次函数的表达式
学习目标世纪教育网
1.理解待定系数法；
2.能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题．
3.体会用“数”和“形”结合的方法求函数式，感受求函数解析式和解方程组间的转化．
学习过程世纪教育网
一、探究活动世纪教育网
一次函数关系式y＝kx＋b(k≠0)，如果知道了k与b的值，函数解析式就确定了，那么有怎样的条件才能求出k和b呢？
问题1 已知一个一次函数当自变量x＝-2时，函数值y＝-1,当x＝3时，y＝-3．能否写出这个一次函数的解析式呢？
根据一次函数的定义，可以设这个一次函数为:y＝kx＋b(k≠0),问题就归结为如何求出k与b的值．
由已知条件x＝-2时，y＝-1，得 -1＝-2k＋b．
由已知条件x＝3时，y＝-3， 得 -3＝3k＋b．
两个条件都要满足，即解关于x的二元一次方程
解得
所以，一次函数解析式为．
问题2 已知弹簧的长度y（厘米）在一定的限度内是所挂物质量x（千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式．
考虑 这个问题中的不挂物体时弹簧的长度6厘米和挂4千克质量的重物时，弹簧的长度7.2厘米,与一次函数关系式中的两个x、y有什么关系？
二、探究归纳世纪教育网
上题可作如下分析：
已知y是x的函数关系式是一次函数，则关系式必是y＝kx＋b的形式，所以要求的就是系数k和b 的值．而两个已知条件就是x和y的两组对应值，也就是当x＝0时，y＝6；当x＝4时，y＝7.2．可以分别将它们代入函数式，转化为求k与b 的二元一次方程组，进而求得k与b的值．
解 设所求函数的关系式是y＝kx＋b(k≠0),由题意，得
解这个方程组，得
所以所求函数的关系式是y＝0.3x＋6．(其中自变量有一定的范围)
讨论 1．本题中把两对函数值代入解析式后，求解k和b的过程，转化为关于k和b的二元一次方程组的问题．
2．这个问题是与实际问题有关的函数，自变量往往有一定的范围．
问题3 若一次函数y＝mx-(m-2)过点(0,3)，求m的值．
分析 考虑到直线y＝mx-(m-2)过点(0,3)，说明点(0,3)在直线上，这里虽然已知条件中没有直接给出x和y的对应值，但由于图象上每一点的坐标(x,y)代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值．所以此题转化为已知x＝0时，y＝3，求m．即求关于m的一元一次方程．
解 当x＝0时，y＝3．即：3＝-(m-2)．解得m＝-1．
这种先设待求函数关系式（其中含有未知的常数系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。
三、实践应用
例1 已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(-1,1)和点(1，-5),求当x＝5时，函数y的值．世纪教育网
分析 1．图象经过点(-1,1)和点(1，-5)，即已知当x＝-1时，y＝1；x＝1时，y＝-5．代入函数解析式中，求出k与b．
2．虽然题意并没有要求写出函数的关系式，但因为要求x＝5时，函数y的值，仍需从求函数解析式着手．
解 由题意，得
解这个方程组，得
这个函数解析式为y＝-3x-2．
当x＝5时，y＝-3×5-2＝-17．
例2 已知一次函数的图象如下图，写出它的关系式．
分析 从“形” 看，图象经过x轴上横坐标为2的点，y轴上纵坐标是-3的点．从“数”看，坐标(2,0),(0,-3)满足解析式．
解 设：所求的一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
直线经过点(2,0),(0,-3),把这两点坐标代入解析式,得世纪教育网
解得
所以所求的一次函数的关系式是．
例3 求直线y＝2x和y＝x＋3的交点坐标．
分析 两个函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式．而两个函数关系式就是方程组中的两个方程．所以交点坐标就是方程组的解．
解 两个函数关系式组成的方程组为
解这个方程组，得
所以直线y＝2x和y＝x＋3的交点坐标为(3，6)．
例4 已知两条直线y1＝2x-3和y2＝5-x．
(1)在同一坐标系内作出它们的图；
(2)求出它们的交点A坐标；
(3)求出这两条直线与x轴围成的三角形ABC的面积；
(4)k为何值时，直线2k＋1＝5x＋4y与k＝2x＋3y的交点在每四象限．
分析 (1)这两个都是一次函数，所以它们的图象是直线，通过列表，取两点，即可画出这两条直线．
(2)两条直线的交点坐标是两个解析式组成的方程组的解．
(3)求出这两条直线与x轴的交点坐标B、C，结合图形易求出三角形ABC的面积．世纪教育网
(4)先求出交点坐标，根据第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负，可求出k的取值范围．
解 (1)
(2) 解得
所以两条直线的交点坐标A为．
(3)当y1＝0时，x＝所以直线y1＝2x-3与x轴的交点坐标为B(，0)，当y2＝0时，x＝5，所以直线y2＝5-x与x轴的交点坐标为C(5,0)．过点A作AE⊥x轴于点E，则．
(4)两个解析式组成的方程组为
解这个关于x、y的方程组，得
由于交点在第四象限，所以x＞0,y＜0．
即 解得．
四、交流反思
本节课，我们讨论了一次函数解析式的求法
1.求一次函数的解析式往往用待定系数法，即根据题目中给出的两个条件确定一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)中两个待定系数k和b的值；
2.用一次函数解析式解决实际问题时，要注意自变量的取值范围．
3.求两个一次函数图象的交点坐标即以两解析式为方程的方程组的解．
五、检测反馈
1.根据下列条件写出相应的函数关系式．
(1)直线y＝kx＋5经过点(-2,-1)；
(2)一次函数中，当x＝1时，y＝3；当x＝-1时，y＝7．
2.写出两个一次函数，使它们的图象都经过点(-2,3)．
3.如图是某长途汽车站旅客携带行李费用示意图．试说明收费方法，并写出行李费y（元）与行李重量x（千克）之间的函数关系．
4.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(3,3)和(1,-1)．求它的函数关系式，并画出图象．
5.陈华暑假去某地旅游，导游要大家上山时多带一件衣服，并介绍当地山区海拔每增加100米，气温下降0.6℃．陈华在山脚下看了一下随带的温度计，气温为34℃，乘缆车到山顶发现温度为32.2℃．求山高．
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