2014年春八年级数学下册第十六章二次根式全章精品教案
文档属性
| 名称 | 2014年春八年级数学下册第十六章二次根式全章精品教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 552.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-03-13 23:43:42 | ||
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文档简介
课 题：16．1 二次根式《二次根式的概念及其运用》 1
知识与技能： 理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．
过程与方法：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．
情感与价值：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念
教学难点：利用“（a≥0）”解决具体问题．
教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:
学法：1、类比的方法、2、阅读的方法、3、分组讨论法 4、练习法
教学过程
一、课堂导入：
问题1：．（1）当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？
二、合作探究：
很明显、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
议一议：
1．-1有算术平方根吗？0的算术平方根是多少？当a<0，有意义吗？
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ．
例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？
解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义．
三、交流展示：
例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？
解：依题意，得 由①得：x≥- 由②得：x≠-1
当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．
例4(1)已知y=++5，求的值．(答案:2)
四、归纳小结
1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．
五、当堂训练：
一、选择题
1．下列式子中，是二次根式的是（ ）2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A．- B． C． D．x2． A． B． C． D．
3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）A5 BC D．以上皆不对
二、填空题
1．形如________的式子叫做二次根式．
2．面积为a的正方形的边长为________．
3．负数________平方根．
三、综合提高题
1．若+有意义，则=_______．
2.使式子HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 有意义的未知数x有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
，
板书设计： 二次根式《二次根式的概念及其运用》
问题1 议一议： 例1 例2
例3 学生板演 例4 归纳小结
教学反思：
课 题： 16.1 二次根式(2) 2
知识与技能：理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．
过程与方法：过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．
情感与价值：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重点：（a≥0）是一个非负数；（HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ）2=a（a≥0）及其运用．
教学难点：导出（a≥0）是一个非负数；用探究（）2=a（a≥0）．
教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:
学法：1、类比的方法 2、阅读的方法3、分组讨论法 4、练习法
教学过程
一、课堂导入 ：问题1．什么叫二次根式？2．当a≥0时，叫什么？当a<0时，有意义吗？ 老师点评（略）．
二、合作探究：
议一议（a≥0）是一个什么数呢 老师点评：（a≥0）是一个非负数
做一做：根据算术平方根的意义填空：
（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；
（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．
老师点评：（）2=a（a≥0）
例1、 计算
1．（）2 2．（3）2 3．（）2 4．（）2
解：（）2 =，（3）2 =32·（）2=32·5=45，
（）2=，（）2=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ．
三、交流展示：
例1、计算下列各式的值：
（）2 （）2 （）2 （）2 （4）2
例2、 计算
1．（）2（x≥0） 2．（）2 3．（）2
解：（1）因为x≥0，所以x+1>0
（）2=x+1
（2）∵a2≥0，∴（）2=a2
（3）∵a2+2a+1=（a+1）2
又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 =a2+2a+1
例3、在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
四、归纳小结
1．（a≥0）是一个非负数2．（）2=a（a≥0）;反之:a=（）2（a≥0）．
五、当堂训练：
一、选择题
1．下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1
2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）．A a>0 B a≥0 C a<0 D a=0
二、填空题
1．（-）2=________．2．已知有意义，那么是一个_______数．
三、综合提高题
1．计算 、 3．已知HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 +=0，求xy的值．
2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: 4．在实数范围内分解下列因式:
（1）5 （2）3.4 （3）（4）x（x≥0） （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5
板书设计： 二次根式《2》
问题1 议一议： 例1 例2
例3 学生板演 归纳小结
教学反思：
课 题： 16.1 二次根式(3) 3
知识与技能：理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．
过程与方法：通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用结论解决具体问题．
情感与价值：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重难点：＝a（a≥0）．
教学重难点 ：探究结论．关键：讲清a≥0时，HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ＝a才成立．
教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:
学法：1、类比的方法 2、阅读的方法3、分组讨论法 4、练习法
教学过程
一、课堂导入 ：
问题1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式；
2．（a≥0）是一个非负数；3．()2＝a（a≥0）．
那么，我们猜想当a≥0时，=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．
二、合作探究：
议一议 填空：
=__=_=__；=__；=_；=_．
（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：
=2；=0.01；=；HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 =；=0；=．
因此，一般地：=a（a≥0）
例1、化简
（1） （2） （3） （4）
解：（1）==3 （2）==4
（3）==5 （4）==3
三、交流展示：
例2、 填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题． （1）若=a，则a可以是什么数？
（2）若=-a，则a可以是什么数？（3）>a，则a可以是什么数？
解：（1）因为=a，所以a≥0； （2）因为=-a，所以a≤0；
（3）因为当a≥0时=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，=-a，要使>a，即使-a>a，a<0综上，a<0
例3、当x>2，化简-HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ．
四、归纳小结
=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，＝－a的应用拓展．
五、当堂训练：
一、选择题
1．HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 的值是（ ）．A．0 B． C．4 D．以上都不对
2．a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的
是（ ）． A．=≥- B．>>-
C．<<- D．->=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4
二、填空题
1．-=___．2．若是一个正整数，则正整数m的最小值是__．
三、综合提高题
1．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．
2 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 。
3．若 ，则a的取值范围是
4．若△ABC的三边长为a,b,c，其中a和b满足 ，
则c的取值范围是
板书设计： 二次根式《3》
问题1 议一议： 例1 例2
例3 学生板演 归纳小结
教学反思：
课 题： 16．2 二次根式的乘除（1） 4
知识与技能：理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简
过程与方法：由具体数据，发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出=·（a≥0，b≥0）并用它解题和化简．
情感与价值：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重点：·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及运用．
教学难点：发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）．
教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:
学法：1、类比的方法 2、阅读的方法3、分组讨论法 4、练习法
教学过程
一、课堂导入 ：问题1．填空
（1）×=__，=_；（2）×=__，=_．
（3）×=__，=__．老师点评（纠正学生练习中的错误）
二、合作探究：
议一议 ：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．
一般地，对二次根式的乘法规定为： ·＝．（a≥0，b≥0）
反过来: =·（a≥0，b≥0）
例1．计算：（1）× （2）HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ×（3）×（4）×
解：（1）×= （2）×==
（3）×==9 （4）×==
例2 化简（1） （2） （3） （4）
解：（1）=×=3×4=12（2）=×=4×9=36
（3）=×HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 =9×10=90 （4）=×=×
三、交流展示：（1）计算：① × ②3×2 ③·
(2) 化简: ; ; ; ;
例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）
（2）×=4××=4HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ×=4=8
四、归纳小结·＝=（a≥0，b≥0）=·（a≥0，b≥0）运用．
五、当堂训练：一、选择题
1．若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形 斜边长是（ ）．A．3cm B．3cm C．9cm D．27cm
2．化简a的结果是（ ）． A． B C．- D．-
3．等式HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
二、填空题：1．=___．2．自由落体的公式为S=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．
三、综合提高题：
1．计算 比校大小
（1）与 （2）与
2、计算（1） （2）
（3）
板书设计： 二次根式的乘除（1）
问题1 议一议： 例1 例2
例3 学生板演 归纳小结
教学反思：
课 题：16．2 二次根式的乘除（2） 5
知识与技能：理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它运算．
过程与方法：利用具体数据，发现规律，归纳出除法规定，逆向思维写出逆向等式
情感与价值：通过学习培养学生利用规定计算和化简的科学精神，观察、分析问题能力．
教学重点:理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及计算和化简．
教学难点：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．
教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:
学法：1、类比的方法 2、阅读的方法3、分组讨论法 4、练习法
教学过程
一、课堂导入 ：问题 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．
2．填空
（1）=___，HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 =___；（2）=__，=_；（3）=___，=___；
规律：__；HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 __；___；
二、合作探究： 议一议 ：根据以上计算，你能发现什么规律：
一般地，对二次根式的除法规定：=（a≥0，b>0）， 、反过来呢？
例1．计算：（1） （2） （3） （4）
解：1、===2 2、==×=2
（3）=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ==2、（4）===2
例2．化简：（1） （2） （3） （4）
解：1、=2、= 3、=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4
三、交流展示：
例3．已知HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ，且x为偶数，求（1+x）的值．
解：由题意得，即 ∴6∴原式=（1+x）HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 =（1+x）=（1+x）=
∴当x=8时，原式的值==6．
四、归纳小结
本节课要掌握=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其运用．
五、当堂训练：一、选择题
1．计算的结果（ ）． A．B．C．D．
2．阅读下列运算过程：，HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（ ）． A．2 B．6 C． D．
二、填空题 1．分母有理化:(1) =___;(2) =__;(3) =_.
2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．
三、综合提高题 1．计算
（1）·（-）÷（m>0，n>0）
（2）-3÷（HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ）× （a>0）
板书设计： 二次根式的乘除（1）
问题1 议一议： 例1 例2
例3 学生板演 归纳小结
教学反思：
课 题： 16.2 二次根式的乘除(3) 6
知识与技能： 理解最简二次根式，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．
过程与方法：通过计算或化简提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点检验结果 情感与价值：通过学习培养学生计算和化简的科学精神，观察、分析、发现问题的能力．
教学重点：1、最简二次根式的运用．
教学难点：2、会判断这个二次根式是否是最简二次根式．
教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:
学法：1、类比的方法 2、阅读的方法3、分组讨论法 4、练习法
教学过程
一、课堂导入 ：问题 1．计算（1），（2），（3）
2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径的比是__．．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．
二、合作探究： 议一议 ：根据以上计算，你能发现什么规律：
二次根式有如下两个特点： 1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．
学生分组讨论，老师点评：不是．
例1．(1) ; (2) ; (3)
例2．填空、1、一个等腰三角形的周长为,腰长为,则底边的长度为___________. 2、一张面积为7的正方形纸片的边长为__________
三、交流展示：
例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
==-1，
==-，
同理可得：=-...从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（+++……）（+1）的值．
解：原式=（-1+-+-+……+HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 -）×（+1）
=（-1）（+1）
=2002-1=2001
四、归纳小结：本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．
五、当堂训练： 一、选择题
1．把（y>0）化为最简二次根式（ ）．
A．（y>0） B．（y>0） C．（y>0） D．以上都不对
2．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）．
A． B． C．- D．-
3．化简的结果是（ ）A．- B．-C．-D．-
二、填空题：1．化简=_________．（x≥0）
2．a化简二次根式号后的结果是_________．
三、综合提高题
1、若x、y为实数，且y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ，求的值．
2.解方程(1)= (2)3x－=
3、已知，，求的值。
4、计算（1） （2）
板书设计： 二次根式的乘除（1）
问题1 议一议： 例1 例2
例3 学生板演 归纳小结
教学反思：
课 题： 16.3 二次根式的加减(1) 7
知识与技能： 理解和掌握二次根式加减的方法．
过程与方法：先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．
情感与价值：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重点：二次根式化简为最简根式． 教学难点：会判定是否是最简二次根式．
教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:
学法：1、类比的方法 2、阅读的方法3、分组讨论法 4、练习法
教学过程
一、课堂导入 ：问题 1．学生活动：计算下列各式．
（1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3
教师点评：上面题目的结果，实际上是同类项合并．就是字母不变，系数相加减．
合作探究： 议一议 ：学生活动：计算下列各式．
（1）2+3 （2）2HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 -3+5 （3）+2+3
老师点评： （1）如果我们把当成x，不就转化为上面的问题吗？
（2）把当成y； 2-3+5=（2-3+5）=4=8
（3）把当成z； +2+=2+2+3=（1+2+3）=6 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的；2与它们可以合并吗？试试看？
3+=3+2=5 3+=3+3=6
所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
例1．计算：（1）+ （2）HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 +
解：（1）+=2+3=（2+3）=5：
（2）+=4+8=（4+8）=12
例2．计算：（1）3-9+3； （2）（+）+（-）
解：（1）3-9+3=12-3+6=（12-3+6）=15
（2）（+）+（-）=++-
=4+2+2-=6+
三、交流展示：例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ）-（x2-5x）
解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0 ∴ 4x2-4x+1+y2-6y+9=0∴（2x-1）2+（y-3）2=0∴x=，y=3
原式=+y2-x2+5x =2x+-x+5=x+6
当x=，y=3时、原式=×+6HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 =+3
四、归纳小结：1不是最简二次根式，应化成最简的；2相同的最简二次根式进行合并．
五、当堂训练：一、选择题
1．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（ ）A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
2．下列各式：①3+3=6；②=1；③+==2；④=2，其中错误的有（ ） A．3个 B．2个 C．1个D．0个
二、填空题：1．在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有—． 2．计算5-3-7+9的最后结果是_．
三、综合提高题：
1．已知≈2.236，求（-）-（HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 +）的值．（结果精确到0.01）
2．先化简，再求值．（6x+）-（4xHYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 +），其中x=，y=27．
3、计算：
（1） （2）
板书设计： 二次根式的加减(1)
问题1 议一议： 例1 例2
例3 学生板演 归纳小结
教学反思：
课 题： 16.3 二次根式的加减(2) 8
知识与技能：运用二次根式、化简解应用题．
过程与方法：通过将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题．
情感与价值：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重点：讲清如何解答应用题， 教学难点：如何解答应用题，．
教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:
学法：1、类比的方法 2、阅读的方法3、分组讨论法 4、练习法
教学过程
一、课堂导入 ：问题 1．上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤，哪两个步骤 ？第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．
二、合作探究： 议一议 ：例1．观察下列运算，完成下列各题的解答：
判断下列各式是否正确
（ ） （ ）
（ ） （ ）
根据上述判定结果你能发现什么规律？请你用含有自然数n的式子将你发现的规律写出来，并注明n的取值范围。
例2．计算：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
三、交流展示：
例3．若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）
分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b．
解：首先把根式化为最简二次根式：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ==|b|·
由题意得 ∴ ∴a=1，b=1
四、归纳小结
本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．
五、当堂训练： 一、选择题
1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（结果用最简二次根式） A．5 B． C．2 D．以上都不对
2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表示） A．13 B． C．10 D．5
二、填空题
1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）
2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）
三、综合提高题
1．若最简二次根式HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 与是同类二次根式，求m、n的值．
2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（）2，5=（）2，是谁的二次根式呢？观察（-1）2=（）2-2·1·+12=2-2+1=3-2反之3-2=2-2+1=（-1）2
∴3-2=（-1）2 ∴=-1
求：（1）；（2）；（3）你会算吗？
（4）若=，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
板书设计： 二次根式的加减(2)
问题1 议一议： 例1 例2
例3 学生板演 归纳小结
教学反思：
课 题： 16.3 二次根式的加减(3) 9
知识与技能： 含有二次根式的式子进行乘除运算及二次根式的多项式乘法公式的应用．
过程与方法：复习整式运算知识并将运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
情感与价值：通过学习培养学生准确计算和化简的科学精神及观察分析发现问题能力．
教学重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；
教学难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．
教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:
学法：1、类比的方法 2、阅读的方法3、分组讨论法 4、练习法
教学过程
一、课堂导入 ：问题 1：学生活动：请同学们完成下列各题:
1．计算：（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy
2．计算：（1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2
老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．
二、合作探究：议一议：如果x、y、z改成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？
整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．
例1．计算: （1）（+）× （2）（4HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 -3）÷2
解：（1）（+）×=×+×=+=3+2
（2）（4-3）÷2=4÷2-3÷2=2-
例2．计算：（1）（+6）（3-） （2）（+）（-）
解：（1）（+6）（3-）=3-（）2+18-6=13-3
（2）（+）（-）=（）2-（）2 =10-7=3
三、交流展示：
例3．已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，
化简+HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ，并求值．
解：原式=+HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4
=+=（x+1）+x-2+x+2
=4x+2 ∵=2- ∴b（x-b）=2ab-a（x-a） ∴bx-b2=2ab-ax+a2
∴（a+b）x=a2+2ab+b2∴（a+b）x=（a+b）2∵a+b≠0∴x=a+b
∴原式=4x+2=4（a+b）+2
四、归纳小结：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．
五、当堂训练： 一、选择题：1．（-3+2HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ）×的值是（ ）．
A．-3； B．3-； C．2- ； D．-
2．计算（+）（-）的值是（ ）．A．2 B．3 C．4 D．1
二、填空题
1．（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是________．
2．（1-2）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．
3．若x=-1，则x2+2x+1=__．4．已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_．
三、综合提高题
1．化简
2．当x=时，求HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 +的值．（结果用最简二次根式表示）
板书设计： 二次根式的加减(2)
问题1 议一议： 例1 例2
例3 学生板演 归纳小结
教学反思：
附： 课外知识
1练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．
A．与 B．与C．与 D．与
2． 练习：+的有理化因式是________；x-的有理化因式是________
3、 练习：把下列各式的分母有理化（1）； （2）；
课 题： 《二次根式》复习导学案 班级：___ 姓名：___ 10
一导学目标：理解二次根式的概念，会利用概念判别二次根式、求字母的取值范围围；掌握二次根式的性质和运算法则，会运用它们求字母的取值、化简和计算；3．了解最简二次根式的概念，会判别最简二次根式．
二导学重点：二次根式的化简及计算三、导学方法：探究、引例、当堂训练
四、导学过程：（一）、二次根式的判别
【思考】二次根式的条件是：1含有 ，2被开方数 。特别是必须确定被开方数。例下列式子中二次根式有
（二）、二次根式有意义的条件：【思考】一个代数式有意义，不仅其中的二次根式的被开方数 ，而且分母 ，幂的底数 。
【例】（1）中的取值范围是 ；（2）当 时，有意
若等式成立，则的取值范围是 ；
若+有意义，则=
（三）、二次根式的双非负数性：【思考】 0（ 0）
【例】（1）已知HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 +=0，求xy的值；
（2）已知、为实数，且，求、的值．
（3）已知x，y为实数，且满足=0，那么 ．
（四）、二次根式的化简1、【思考】最简二次根式的条件是：（1） ，（2）
【例1】化简：（1）＝ ＝ ＝ 。小结：若被开方数是一个整数，则
（2）＝ ＝ 。小结：若被开方数中的分母是一个平方数，则
（3）＝ ＝ ＝ 。小结：若被开方数是一个带分数，则
（4）＝ ＝ ＝ 。小结：若被开方数是一个小数，则
（5）＝ ＝ 。小结：若根号外的正系数能与被开方数中的分母约分，则 。
（6）已知，则的正确结果为_。小结：若化简含字母的二次根式，则必须先确定字母的 ，再化简。
2、【思考】+的有理化因式是__； 的有理化因式是__；的有理化因式是___．
【例2】把下列各式的分母有理化（1）＝ （2）＝
（五）、同类二次根式的应用
【思考】把几个二次根式化为 后，被开方数 的二次根式叫同类二次根式。
【例1】在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有___ ___
【例2】若最简二次根式HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 与是同类二次根式，求m、n的值
（六）、二次根式的求值
【例1】实数a在数轴上的位置如图所示，则 化简后为
【例2】一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 ．
【例3】已知为有理数，分别表示的整数部分和小数部分，且，则 。
【例4】先化简再计算：
，其中x是一元二次方程的正数根.
（七） 、二次根式的计算
【例1】（1），则（ ）A．a＜B. a≤C. a＞D. a≥
五、当堂训练
1、设a=－1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
2、下列各式中正确的是 A B CD
3、计算=____4、若，则的值为
5、已知，，则代数式的值为
6、已知，则
7、若，则的值是
9、计算：（1）
（2）已知HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ，且x为偶数，求（1+x）的值．
课 题： 二次根式练习题 11
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各式中① ；②； ③； ④； ⑤；
⑥一定是二次根式的有（ ）个。
A . 1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
若，则b的值为（ ）
A．0 B．0或1 C．b≤3 D．b≥3
已知已知：是整数，则满足条件的最小正整数n 的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4. 已知xy＞0，化简二次根式的正确结果为（ ）
A. B. C. D.
5．能使等式成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 小明做了以下四道题：①；②；③；
④ 。做错的题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7. 化简的结果为（ ）A． B． C． D．
8．下列各式中，一定能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9．化简得（ ）A．—2 B． C．2 D．
10．如果数轴上表示a、b两个数的点都在原点的左侧，且a在b的左侧，则（ ）A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．① ；② 。12．二次根式有意义的条件是 。
若m<0，则= 。
已知＝－x，则x的取值范围是 。
比较大小： 。
， 。17. 计算= 。
若，则的值为 。
把 。
20.已知：
当时，第n个等式可表示为 。
三、解答题（共60分）
21、在实数范围内分解因式：（每小题4分）
（1） （2）
22．计算：（（每小题4分））
（1） （2）
（3） （4）
（5）
（8）
23若xy是实数，，求的值。
课 题： 第十六章二次根式单元测试 12
一、选择题
1、下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、下列根式中,最简二次根式是( )
A. B. C. D.
3、计算：3÷的结果是 ( )
A、 B、 C、 D、
4、如果＝－a，那么a一定是 （ ）
A、负数 B、正数 C、正数或零 D、负数或零
5、下列说法正确的是( )
A、若,则a＜0 B、若,则a＞0
C、 D、5的平方根是
6、若2m-4与3m-1是同一个数的平方根,则m为( )
A、-3 B、1 C、-3 或1 D、-1
7、能使等式成立的x值的取值范围是（ ）
A、x≠2 B、x≥0 C、x＞2 D、x≥2
8、已知xy＞0,化简二次根式的正确结果是( )
A. B. C.- D. -
9、已知二次根式的值为3，那么x的值是（ ）
A、3 B、9 C、-3 D、3或-3
10、若 ，，则两数的关系是（ ）
A、 B、 C、互为相反数 D、互为倒数
二、填空题：
11、当a=-3时，二次根式的值等于 。
12．若成立。则x的取值范围为 ；
13、如图，实数a在数轴上的位置如图所示，
化简: =___________.
14、若ab＜0,则化简 的结果是_____________.
15、已知，则 。
16、已知：当a取某一范围内的实数时，代数式的值是一个常数（确定值），则这个常数是 ；
17、若，则的值为 ；
18、若正三角形的边长为2cm，则这个正三角形的面积是_______cm2。
19、在平面直角坐标系中，点P（-，-1）到原点的距离是 。
20、观察下列等式：①=+1；②=+；③=+；……，请用字母表示你所发现的规律： 。
三、解答题：
21、计算
（1） (2)
（3） (4)
（5） （6）
22、 已知：，分别求下列代数式的值：
（1） （2）
23、先化简，再求值：，其中薄a=
24、（6分）由两个等腰直角三角形拼成的四边形（如图），
已知AB＝，
求：（1）四边形ABCD的周长； （2）四边形ABCD的面积．
25、（6分）在如图的4×4的方格内画△ABC，使它的顶点都
在格点上，三条边长分别为
3，，。
知识与技能： 理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．
过程与方法：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．
情感与价值：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念
教学难点：利用“（a≥0）”解决具体问题．
教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:
学法：1、类比的方法、2、阅读的方法、3、分组讨论法 4、练习法
教学过程
一、课堂导入：
问题1：．（1）当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？
二、合作探究：
很明显、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
议一议：
1．-1有算术平方根吗？0的算术平方根是多少？当a<0，有意义吗？
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ．
例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？
解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义．
三、交流展示：
例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？
解：依题意，得 由①得：x≥- 由②得：x≠-1
当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．
例4(1)已知y=++5，求的值．(答案:2)
四、归纳小结
1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．
五、当堂训练：
一、选择题
1．下列式子中，是二次根式的是（ ）2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A．- B． C． D．x2． A． B． C． D．
3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）A5 BC D．以上皆不对
二、填空题
1．形如________的式子叫做二次根式．
2．面积为a的正方形的边长为________．
3．负数________平方根．
三、综合提高题
1．若+有意义，则=_______．
2.使式子HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 有意义的未知数x有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
，
板书设计： 二次根式《二次根式的概念及其运用》
问题1 议一议： 例1 例2
例3 学生板演 例4 归纳小结
教学反思：
课 题： 16.1 二次根式(2) 2
知识与技能：理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．
过程与方法：过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．
情感与价值：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重点：（a≥0）是一个非负数；（HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ）2=a（a≥0）及其运用．
教学难点：导出（a≥0）是一个非负数；用探究（）2=a（a≥0）．
教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:
学法：1、类比的方法 2、阅读的方法3、分组讨论法 4、练习法
教学过程
一、课堂导入 ：问题1．什么叫二次根式？2．当a≥0时，叫什么？当a<0时，有意义吗？ 老师点评（略）．
二、合作探究：
议一议（a≥0）是一个什么数呢 老师点评：（a≥0）是一个非负数
做一做：根据算术平方根的意义填空：
（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；
（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．
老师点评：（）2=a（a≥0）
例1、 计算
1．（）2 2．（3）2 3．（）2 4．（）2
解：（）2 =，（3）2 =32·（）2=32·5=45，
（）2=，（）2=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ．
三、交流展示：
例1、计算下列各式的值：
（）2 （）2 （）2 （）2 （4）2
例2、 计算
1．（）2（x≥0） 2．（）2 3．（）2
解：（1）因为x≥0，所以x+1>0
（）2=x+1
（2）∵a2≥0，∴（）2=a2
（3）∵a2+2a+1=（a+1）2
又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 =a2+2a+1
例3、在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
四、归纳小结
1．（a≥0）是一个非负数2．（）2=a（a≥0）;反之:a=（）2（a≥0）．
五、当堂训练：
一、选择题
1．下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1
2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）．A a>0 B a≥0 C a<0 D a=0
二、填空题
1．（-）2=________．2．已知有意义，那么是一个_______数．
三、综合提高题
1．计算 、 3．已知HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 +=0，求xy的值．
2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: 4．在实数范围内分解下列因式:
（1）5 （2）3.4 （3）（4）x（x≥0） （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5
板书设计： 二次根式《2》
问题1 议一议： 例1 例2
例3 学生板演 归纳小结
教学反思：
课 题： 16.1 二次根式(3) 3
知识与技能：理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．
过程与方法：通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用结论解决具体问题．
情感与价值：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重难点：＝a（a≥0）．
教学重难点 ：探究结论．关键：讲清a≥0时，HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ＝a才成立．
教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:
学法：1、类比的方法 2、阅读的方法3、分组讨论法 4、练习法
教学过程
一、课堂导入 ：
问题1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式；
2．（a≥0）是一个非负数；3．()2＝a（a≥0）．
那么，我们猜想当a≥0时，=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．
二、合作探究：
议一议 填空：
=__=_=__；=__；=_；=_．
（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：
=2；=0.01；=；HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 =；=0；=．
因此，一般地：=a（a≥0）
例1、化简
（1） （2） （3） （4）
解：（1）==3 （2）==4
（3）==5 （4）==3
三、交流展示：
例2、 填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题． （1）若=a，则a可以是什么数？
（2）若=-a，则a可以是什么数？（3）>a，则a可以是什么数？
解：（1）因为=a，所以a≥0； （2）因为=-a，所以a≤0；
（3）因为当a≥0时=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，=-a，要使>a，即使-a>a，a<0综上，a<0
例3、当x>2，化简-HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ．
四、归纳小结
=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，＝－a的应用拓展．
五、当堂训练：
一、选择题
1．HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 的值是（ ）．A．0 B． C．4 D．以上都不对
2．a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的
是（ ）． A．=≥- B．>>-
C．<<- D．->=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4
二、填空题
1．-=___．2．若是一个正整数，则正整数m的最小值是__．
三、综合提高题
1．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．
2 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 。
3．若 ，则a的取值范围是
4．若△ABC的三边长为a,b,c，其中a和b满足 ，
则c的取值范围是
板书设计： 二次根式《3》
问题1 议一议： 例1 例2
例3 学生板演 归纳小结
教学反思：
课 题： 16．2 二次根式的乘除（1） 4
知识与技能：理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简
过程与方法：由具体数据，发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出=·（a≥0，b≥0）并用它解题和化简．
情感与价值：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重点：·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及运用．
教学难点：发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）．
教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:
学法：1、类比的方法 2、阅读的方法3、分组讨论法 4、练习法
教学过程
一、课堂导入 ：问题1．填空
（1）×=__，=_；（2）×=__，=_．
（3）×=__，=__．老师点评（纠正学生练习中的错误）
二、合作探究：
议一议 ：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．
一般地，对二次根式的乘法规定为： ·＝．（a≥0，b≥0）
反过来: =·（a≥0，b≥0）
例1．计算：（1）× （2）HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ×（3）×（4）×
解：（1）×= （2）×==
（3）×==9 （4）×==
例2 化简（1） （2） （3） （4）
解：（1）=×=3×4=12（2）=×=4×9=36
（3）=×HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 =9×10=90 （4）=×=×
三、交流展示：（1）计算：① × ②3×2 ③·
(2) 化简: ; ; ; ;
例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）
（2）×=4××=4HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ×=4=8
四、归纳小结·＝=（a≥0，b≥0）=·（a≥0，b≥0）运用．
五、当堂训练：一、选择题
1．若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形 斜边长是（ ）．A．3cm B．3cm C．9cm D．27cm
2．化简a的结果是（ ）． A． B C．- D．-
3．等式HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
二、填空题：1．=___．2．自由落体的公式为S=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．
三、综合提高题：
1．计算 比校大小
（1）与 （2）与
2、计算（1） （2）
（3）
板书设计： 二次根式的乘除（1）
问题1 议一议： 例1 例2
例3 学生板演 归纳小结
教学反思：
课 题：16．2 二次根式的乘除（2） 5
知识与技能：理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它运算．
过程与方法：利用具体数据，发现规律，归纳出除法规定，逆向思维写出逆向等式
情感与价值：通过学习培养学生利用规定计算和化简的科学精神，观察、分析问题能力．
教学重点:理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及计算和化简．
教学难点：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．
教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:
学法：1、类比的方法 2、阅读的方法3、分组讨论法 4、练习法
教学过程
一、课堂导入 ：问题 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．
2．填空
（1）=___，HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 =___；（2）=__，=_；（3）=___，=___；
规律：__；HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 __；___；
二、合作探究： 议一议 ：根据以上计算，你能发现什么规律：
一般地，对二次根式的除法规定：=（a≥0，b>0）， 、反过来呢？
例1．计算：（1） （2） （3） （4）
解：1、===2 2、==×=2
（3）=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ==2、（4）===2
例2．化简：（1） （2） （3） （4）
解：1、=2、= 3、=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4
三、交流展示：
例3．已知HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ，且x为偶数，求（1+x）的值．
解：由题意得，即 ∴6
∴当x=8时，原式的值==6．
四、归纳小结
本节课要掌握=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其运用．
五、当堂训练：一、选择题
1．计算的结果（ ）． A．B．C．D．
2．阅读下列运算过程：，HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（ ）． A．2 B．6 C． D．
二、填空题 1．分母有理化:(1) =___;(2) =__;(3) =_.
2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．
三、综合提高题 1．计算
（1）·（-）÷（m>0，n>0）
（2）-3÷（HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ）× （a>0）
板书设计： 二次根式的乘除（1）
问题1 议一议： 例1 例2
例3 学生板演 归纳小结
教学反思：
课 题： 16.2 二次根式的乘除(3) 6
知识与技能： 理解最简二次根式，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．
过程与方法：通过计算或化简提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点检验结果 情感与价值：通过学习培养学生计算和化简的科学精神，观察、分析、发现问题的能力．
教学重点：1、最简二次根式的运用．
教学难点：2、会判断这个二次根式是否是最简二次根式．
教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:
学法：1、类比的方法 2、阅读的方法3、分组讨论法 4、练习法
教学过程
一、课堂导入 ：问题 1．计算（1），（2），（3）
2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径的比是__．．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．
二、合作探究： 议一议 ：根据以上计算，你能发现什么规律：
二次根式有如下两个特点： 1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．
学生分组讨论，老师点评：不是．
例1．(1) ; (2) ; (3)
例2．填空、1、一个等腰三角形的周长为,腰长为,则底边的长度为___________. 2、一张面积为7的正方形纸片的边长为__________
三、交流展示：
例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
==-1，
==-，
同理可得：=-...从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（+++……）（+1）的值．
解：原式=（-1+-+-+……+HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 -）×（+1）
=（-1）（+1）
=2002-1=2001
四、归纳小结：本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．
五、当堂训练： 一、选择题
1．把（y>0）化为最简二次根式（ ）．
A．（y>0） B．（y>0） C．（y>0） D．以上都不对
2．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）．
A． B． C．- D．-
3．化简的结果是（ ）A．- B．-C．-D．-
二、填空题：1．化简=_________．（x≥0）
2．a化简二次根式号后的结果是_________．
三、综合提高题
1、若x、y为实数，且y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ，求的值．
2.解方程(1)= (2)3x－=
3、已知，，求的值。
4、计算（1） （2）
板书设计： 二次根式的乘除（1）
问题1 议一议： 例1 例2
例3 学生板演 归纳小结
教学反思：
课 题： 16.3 二次根式的加减(1) 7
知识与技能： 理解和掌握二次根式加减的方法．
过程与方法：先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．
情感与价值：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重点：二次根式化简为最简根式． 教学难点：会判定是否是最简二次根式．
教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:
学法：1、类比的方法 2、阅读的方法3、分组讨论法 4、练习法
教学过程
一、课堂导入 ：问题 1．学生活动：计算下列各式．
（1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3
教师点评：上面题目的结果，实际上是同类项合并．就是字母不变，系数相加减．
合作探究： 议一议 ：学生活动：计算下列各式．
（1）2+3 （2）2HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 -3+5 （3）+2+3
老师点评： （1）如果我们把当成x，不就转化为上面的问题吗？
（2）把当成y； 2-3+5=（2-3+5）=4=8
（3）把当成z； +2+=2+2+3=（1+2+3）=6 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的；2与它们可以合并吗？试试看？
3+=3+2=5 3+=3+3=6
所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
例1．计算：（1）+ （2）HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 +
解：（1）+=2+3=（2+3）=5：
（2）+=4+8=（4+8）=12
例2．计算：（1）3-9+3； （2）（+）+（-）
解：（1）3-9+3=12-3+6=（12-3+6）=15
（2）（+）+（-）=++-
=4+2+2-=6+
三、交流展示：例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ）-（x2-5x）
解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0 ∴ 4x2-4x+1+y2-6y+9=0∴（2x-1）2+（y-3）2=0∴x=，y=3
原式=+y2-x2+5x =2x+-x+5=x+6
当x=，y=3时、原式=×+6HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 =+3
四、归纳小结：1不是最简二次根式，应化成最简的；2相同的最简二次根式进行合并．
五、当堂训练：一、选择题
1．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（ ）A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
2．下列各式：①3+3=6；②=1；③+==2；④=2，其中错误的有（ ） A．3个 B．2个 C．1个D．0个
二、填空题：1．在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有—． 2．计算5-3-7+9的最后结果是_．
三、综合提高题：
1．已知≈2.236，求（-）-（HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 +）的值．（结果精确到0.01）
2．先化简，再求值．（6x+）-（4xHYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 +），其中x=，y=27．
3、计算：
（1） （2）
板书设计： 二次根式的加减(1)
问题1 议一议： 例1 例2
例3 学生板演 归纳小结
教学反思：
课 题： 16.3 二次根式的加减(2) 8
知识与技能：运用二次根式、化简解应用题．
过程与方法：通过将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题．
情感与价值：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重点：讲清如何解答应用题， 教学难点：如何解答应用题，．
教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:
学法：1、类比的方法 2、阅读的方法3、分组讨论法 4、练习法
教学过程
一、课堂导入 ：问题 1．上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤，哪两个步骤 ？第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．
二、合作探究： 议一议 ：例1．观察下列运算，完成下列各题的解答：
判断下列各式是否正确
（ ） （ ）
（ ） （ ）
根据上述判定结果你能发现什么规律？请你用含有自然数n的式子将你发现的规律写出来，并注明n的取值范围。
例2．计算：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
三、交流展示：
例3．若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）
分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b．
解：首先把根式化为最简二次根式：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ==|b|·
由题意得 ∴ ∴a=1，b=1
四、归纳小结
本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．
五、当堂训练： 一、选择题
1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（结果用最简二次根式） A．5 B． C．2 D．以上都不对
2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表示） A．13 B． C．10 D．5
二、填空题
1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）
2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）
三、综合提高题
1．若最简二次根式HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 与是同类二次根式，求m、n的值．
2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（）2，5=（）2，是谁的二次根式呢？观察（-1）2=（）2-2·1·+12=2-2+1=3-2反之3-2=2-2+1=（-1）2
∴3-2=（-1）2 ∴=-1
求：（1）；（2）；（3）你会算吗？
（4）若=，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
板书设计： 二次根式的加减(2)
问题1 议一议： 例1 例2
例3 学生板演 归纳小结
教学反思：
课 题： 16.3 二次根式的加减(3) 9
知识与技能： 含有二次根式的式子进行乘除运算及二次根式的多项式乘法公式的应用．
过程与方法：复习整式运算知识并将运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
情感与价值：通过学习培养学生准确计算和化简的科学精神及观察分析发现问题能力．
教学重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；
教学难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．
教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:
学法：1、类比的方法 2、阅读的方法3、分组讨论法 4、练习法
教学过程
一、课堂导入 ：问题 1：学生活动：请同学们完成下列各题:
1．计算：（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy
2．计算：（1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2
老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．
二、合作探究：议一议：如果x、y、z改成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？
整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．
例1．计算: （1）（+）× （2）（4HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 -3）÷2
解：（1）（+）×=×+×=+=3+2
（2）（4-3）÷2=4÷2-3÷2=2-
例2．计算：（1）（+6）（3-） （2）（+）（-）
解：（1）（+6）（3-）=3-（）2+18-6=13-3
（2）（+）（-）=（）2-（）2 =10-7=3
三、交流展示：
例3．已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，
化简+HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ，并求值．
解：原式=+HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4
=+=（x+1）+x-2+x+2
=4x+2 ∵=2- ∴b（x-b）=2ab-a（x-a） ∴bx-b2=2ab-ax+a2
∴（a+b）x=a2+2ab+b2∴（a+b）x=（a+b）2∵a+b≠0∴x=a+b
∴原式=4x+2=4（a+b）+2
四、归纳小结：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．
五、当堂训练： 一、选择题：1．（-3+2HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ）×的值是（ ）．
A．-3； B．3-； C．2- ； D．-
2．计算（+）（-）的值是（ ）．A．2 B．3 C．4 D．1
二、填空题
1．（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是________．
2．（1-2）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．
3．若x=-1，则x2+2x+1=__．4．已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_．
三、综合提高题
1．化简
2．当x=时，求HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 +的值．（结果用最简二次根式表示）
板书设计： 二次根式的加减(2)
问题1 议一议： 例1 例2
例3 学生板演 归纳小结
教学反思：
附： 课外知识
1练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．
A．与 B．与C．与 D．与
2． 练习：+的有理化因式是________；x-的有理化因式是________
3、 练习：把下列各式的分母有理化（1）； （2）；
课 题： 《二次根式》复习导学案 班级：___ 姓名：___ 10
一导学目标：理解二次根式的概念，会利用概念判别二次根式、求字母的取值范围围；掌握二次根式的性质和运算法则，会运用它们求字母的取值、化简和计算；3．了解最简二次根式的概念，会判别最简二次根式．
二导学重点：二次根式的化简及计算三、导学方法：探究、引例、当堂训练
四、导学过程：（一）、二次根式的判别
【思考】二次根式的条件是：1含有 ，2被开方数 。特别是必须确定被开方数。例下列式子中二次根式有
（二）、二次根式有意义的条件：【思考】一个代数式有意义，不仅其中的二次根式的被开方数 ，而且分母 ，幂的底数 。
【例】（1）中的取值范围是 ；（2）当 时，有意
若等式成立，则的取值范围是 ；
若+有意义，则=
（三）、二次根式的双非负数性：【思考】 0（ 0）
【例】（1）已知HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 +=0，求xy的值；
（2）已知、为实数，且，求、的值．
（3）已知x，y为实数，且满足=0，那么 ．
（四）、二次根式的化简1、【思考】最简二次根式的条件是：（1） ，（2）
【例1】化简：（1）＝ ＝ ＝ 。小结：若被开方数是一个整数，则
（2）＝ ＝ 。小结：若被开方数中的分母是一个平方数，则
（3）＝ ＝ ＝ 。小结：若被开方数是一个带分数，则
（4）＝ ＝ ＝ 。小结：若被开方数是一个小数，则
（5）＝ ＝ 。小结：若根号外的正系数能与被开方数中的分母约分，则 。
（6）已知，则的正确结果为_。小结：若化简含字母的二次根式，则必须先确定字母的 ，再化简。
2、【思考】+的有理化因式是__； 的有理化因式是__；的有理化因式是___．
【例2】把下列各式的分母有理化（1）＝ （2）＝
（五）、同类二次根式的应用
【思考】把几个二次根式化为 后，被开方数 的二次根式叫同类二次根式。
【例1】在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有___ ___
【例2】若最简二次根式HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 与是同类二次根式，求m、n的值
（六）、二次根式的求值
【例1】实数a在数轴上的位置如图所示，则 化简后为
【例2】一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 ．
【例3】已知为有理数，分别表示的整数部分和小数部分，且，则 。
【例4】先化简再计算：
，其中x是一元二次方程的正数根.
（七） 、二次根式的计算
【例1】（1），则（ ）A．a＜B. a≤C. a＞D. a≥
五、当堂训练
1、设a=－1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
2、下列各式中正确的是 A B CD
3、计算=____4、若，则的值为
5、已知，，则代数式的值为
6、已知，则
7、若，则的值是
9、计算：（1）
（2）已知HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 ，且x为偶数，求（1+x）的值．
课 题： 二次根式练习题 11
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各式中① ；②； ③； ④； ⑤；
⑥一定是二次根式的有（ ）个。
A . 1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
若，则b的值为（ ）
A．0 B．0或1 C．b≤3 D．b≥3
已知已知：是整数，则满足条件的最小正整数n 的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4. 已知xy＞0，化简二次根式的正确结果为（ ）
A. B. C. D.
5．能使等式成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 小明做了以下四道题：①；②；③；
④ 。做错的题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7. 化简的结果为（ ）A． B． C． D．
8．下列各式中，一定能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9．化简得（ ）A．—2 B． C．2 D．
10．如果数轴上表示a、b两个数的点都在原点的左侧，且a在b的左侧，则（ ）A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．① ；② 。12．二次根式有意义的条件是 。
若m<0，则= 。
已知＝－x，则x的取值范围是 。
比较大小： 。
， 。17. 计算= 。
若，则的值为 。
把 。
20.已知：
当时，第n个等式可表示为 。
三、解答题（共60分）
21、在实数范围内分解因式：（每小题4分）
（1） （2）
22．计算：（（每小题4分））
（1） （2）
（3） （4）
（5）
（8）
23若xy是实数，，求的值。
课 题： 第十六章二次根式单元测试 12
一、选择题
1、下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、下列根式中,最简二次根式是( )
A. B. C. D.
3、计算：3÷的结果是 ( )
A、 B、 C、 D、
4、如果＝－a，那么a一定是 （ ）
A、负数 B、正数 C、正数或零 D、负数或零
5、下列说法正确的是( )
A、若,则a＜0 B、若,则a＞0
C、 D、5的平方根是
6、若2m-4与3m-1是同一个数的平方根,则m为( )
A、-3 B、1 C、-3 或1 D、-1
7、能使等式成立的x值的取值范围是（ ）
A、x≠2 B、x≥0 C、x＞2 D、x≥2
8、已知xy＞0,化简二次根式的正确结果是( )
A. B. C.- D. -
9、已知二次根式的值为3，那么x的值是（ ）
A、3 B、9 C、-3 D、3或-3
10、若 ，，则两数的关系是（ ）
A、 B、 C、互为相反数 D、互为倒数
二、填空题：
11、当a=-3时，二次根式的值等于 。
12．若成立。则x的取值范围为 ；
13、如图，实数a在数轴上的位置如图所示，
化简: =___________.
14、若ab＜0,则化简 的结果是_____________.
15、已知，则 。
16、已知：当a取某一范围内的实数时，代数式的值是一个常数（确定值），则这个常数是 ；
17、若，则的值为 ；
18、若正三角形的边长为2cm，则这个正三角形的面积是_______cm2。
19、在平面直角坐标系中，点P（-，-1）到原点的距离是 。
20、观察下列等式：①=+1；②=+；③=+；……，请用字母表示你所发现的规律： 。
三、解答题：
21、计算
（1） (2)
（3） (4)
（5） （6）
22、 已知：，分别求下列代数式的值：
（1） （2）
23、先化简，再求值：，其中薄a=
24、（6分）由两个等腰直角三角形拼成的四边形（如图），
已知AB＝，
求：（1）四边形ABCD的周长； （2）四边形ABCD的面积．
25、（6分）在如图的4×4的方格内画△ABC，使它的顶点都
在格点上，三条边长分别为
3，，。