2014年春八年级数学下册第十七章勾股定理全章精品教案
文档属性
| 名称 | 2014年春八年级数学下册第十七章勾股定理全章精品教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 173.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-03-13 23:43:52 | ||
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文档简介
课 题： 勾股定理 (1) 1
知识与技能：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用.
过程与方法：经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.
情感态度与价值观：通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
教学重点：：知道勾股定理的结果，并能运用于解题
教学难点：体会数形结合的思想，并能迁移
教学方法：创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论
教学过程：
一课堂导入：问题1、同学们，知道勾股定理的内容吗？会用面积法证明勾股定理吗？能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用吗？.
看书、讨论 归纳总结 得出结论
二、合作探究：
1、议一议 ：画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。 当学生量出AB的长为5cm 时 提问：为什么呢？
看书、讨论 归纳总结 得出结论
2、例1已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正
4×ab＋（b－a）2=c2，化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明小结： 命题1：
如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b.斜边长为c。那么
三、交流展示：
勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。、同学们，试一试？
3、例2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=4×ab＋c2
右边S=（a+b）2
左边和右边面积相等，即
4×ab＋c2=（a+b）2 化简可证。
这样就证明了命题1的正确性我国把它叫勾股定理
四、归纳小结：什么叫勾股定理？怎样证明？
五、当堂训练：
一、必作题 ：
1．勾股定理的具体内容是：
2．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ；
⑵若D为斜边中点，则斜边中线
⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：
⑷三边之间的关系： 。
3．△ABC的三边a、b、c，若满足b2= a2＋c2，则 =90°
； 若满足b2＞c2＋a2，则∠B是 角； 若满足b2＜c2＋a2，则∠ B是 角。
二、选做题：
4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。
5、求下列图中未知数x、y、z的值
板书设计： 勾股定理 (1)
例1 例2 命题1： 小结：
教学反思：
课 题： 勾股定理（2） 2
知识与技能：1、掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，
2、能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用.
过程与方法：1、经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,
2、发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.树立数形 结合的思想、分类讨论思想
情感态度与价值观：通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
教学重点：勾股定理的简单计算。
教学难点：勾股定理的灵活运用。
教学方法：创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论
教学过程：
一课堂导入：
问题1、什么叫勾股定理？怎样证明？
二、合作探究：
1、议一议： 看书、讨论 归纳解题方法：怎样用勾股定理来求 Rt△的边呢？
小组讨论、分组发言、教授订正 或举例说明
三、交流展示：
例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c。⑵已知a=1,c=2, 求b。
⑶已知c=17,b=8, 求a。⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。
⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。
分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。
例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
例3（补充）已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。
⑴求等边△ABC的高。
⑵求S△ABC。
分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要
创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做
法。欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，
但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=AB=3cm，则此题可解。
四、归纳小结：
用勾股定理计算时，要先画好图形，并标好图形，理清边之间的关系，之后灵活运用勾股定理计算。
五、当堂训练：
一、必作题 ：
1．填空题
⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。
⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 。
⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 ，面积为 。
2．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。
二、选做题：
3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
2．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，
AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。
板书设计： 勾股定理（2）
命题1： 例1
例2 小结：
教学反思：
课 题： 勾股定理（3） 3
知识与技能：1．、掌握勾股定理的内容，会用勾股定理解决简单的实际问题。
2．树立数形结合的思想。
过程与方法：1、经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,
2、发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想. 树立数形 结合的思想、分类讨论思想
情感态度与价值观：通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
教学重点：勾股定理的简单计算。勾股定理的应用。
教学难点：勾股定理的灵活运用。实际问题向数学问题的转化。
教学方法：创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论
教学过程：
一课堂导入：
问题1、什么叫勾股定理？怎样证明？
问题2、如何将实际问题转化为数学问题，之后用勾股定理解决实际问题呢？
注意条件的转化；学会如何利用数学 知识、思想、方法解决实际问题。
二、合作探究：
1、议一议： 看书、讨论 归纳解题方法 p25例1、例2
勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。
三、交流展示：
例1（教材P25）一个门框的尺寸如图，一块长3 米、宽2.2米的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。
明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。
例2（教材P25）一架2.6米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4米，如果梯子的顶端A沿强下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？
分析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。 （2）在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。
则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。
⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD
四、归纳小结：
1、用勾股定理计算时，要先画好图形，并标好图形，理清边之间的关系，之后灵活运用勾股定理计算。
2、注意条件的转化；学会如何利用数学 知识、思想、方法解决实际问题。
五、当堂训练：
一、必作题 ：
1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。
2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。
2题 3题 4题
3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。
二、选做题：
4．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？
板书设计： 勾股定理（3）
勾股定理 例1
例2 小结：
教学反思：
课后练习 5．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。
（精确到1米）
课 题： 勾股定理（4） 4
知识与技能：1．掌握勾股定理，会用勾股定理解决较综合的问题。
2．树立数形结合的思想。
3、灵活运用勾股定理。把实际问题向数学问题的转化。
过程与方法：1、经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,
2、发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.树立数形 结合的思想、分类讨论思想
情感态度与价值观：通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
教学重点：勾股定理的综合应用。
教学难点：1、树立数形结合的思想，
2、灵活运用勾股定理。把实际问题向数学问题的转化
教学方法：创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论
教学过程：
一课堂导入：
问题1、什么叫勾股定理？怎样证明？
2、前一节课我们学习了：用勾股定理计算时，要先画好图形，并标好图形，理清边之间的关系，之后灵活运用勾股定理计算。学会如何利用数学 知识、思想、方法解决实际问题，这一节课我们学习勾股定理的综合应用。
二、合作探究：
1、议一议： 看书、讨论 归纳解题方法 p25例1、例2
例1、（教材P26页思考）
例2 （教材P26.....27页探究）
交流展示：
例3（补充）1．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=，求线段AB的长
分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。
要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。或欲求AB，可由，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6。
例4（补充）已知：如图，△ABC中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？
分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°。在学生充分思考和讨论后，发现添置AB边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及S△ABC。让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？
小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。并指出如何作辅助线？
解略。
例5（补充）已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。
四、归纳小结：
用勾股定理计算时，要先画好图形，并标好图形，理清边之间的关系，之后灵活运用勾股定理计算。灵活运用勾股定理。把实际问题向数学问题的转化
五、当堂训练：
一、必作题 ：
1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC= ，S△ABC= 。
2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=cm，则∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度，BC= ，S△ABC= 。
3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=，CD⊥AB于D，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,S△ABC= 。
二、选做题：
4．已知：如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，
求S△ABC。
5．已知：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=，
求（1）AB的长；（2）S△ABC。
板书设计： 勾股定理（2）
例1 例2 例3
例4 例25 小结：
教学反思：
课 题： 勾股定理的逆定理（1） 5
知识与技能：1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
过程与方法：1、经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,
2、发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.树立数形 结合的思想、分类讨论思想
情感态度与价值观：通过对勾股定理的逆定理的证明的探究，．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
教学重点：勾股定理的逆定理，原命题、逆命题、逆定理的概念及关系
教学难点：勾股定理的逆定理的证明方法，
教学方法：创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论
教学过程：
一课堂导入：
问题1、什么叫勾股定理？如果把命题一的题设和结论互换，会得到什么命题呢？ 讨论 、交流、得出命题二
二、合作探究：
1、议一议： 同学们想一想： 命题一 命题二有什么关系？
看书、讨论 归纳 p31...32
三、交流展示：
2、同学们：原命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系？
讨论 、归纳。分小组发言，教师订正
3、同学们： 看书 p32面的内容后，你能证明命题二是真命题吗？
动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合。得出结论。
勾股定理的逆定理：............................................
例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
⑴同旁内角互补，两条直线平行。
⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。
⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。
⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。
例2（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1） 求证：∠C=90°。
分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。
⑶由于a2+b2= （n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2= n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证。
四、归纳小结：1、 命题一 命题二 2勾股定理、勾股定理的逆定理
3、原命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系
五、当堂训练：
一、必作题 ： 1．判断题。
⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。
⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。
⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
⑷△ABC的三边之比是1：1：，则△ABC是直角三角形。
2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。
B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。
二、选做题：
3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）
A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15
C．a=，b=，c= D．a：b：c=2：3：4
4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
1、a=，b=，c=； 2、 a=5，b=，c=1。
板书设计： 勾股定理的逆定理（1）
命题1：命题2：勾股定理、勾股定理的逆定理
例1 例2 小结：
教学反思：
3．若三角形的三边是 ⑴1、、2； ⑵； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41；
⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；则构成的是直角三角形的有（ ）
A．2个 B．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个
课 题： 勾股定理的逆定理（2） 6
知识与技能：1．掌握勾股定理的逆定理。
2、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
过程与方法：1、经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,
2、发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想. 树立数形 结合的思想、分类讨论思想
情感态度与价值观：、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。
通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
教学重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
教学难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
教学方法：创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论
教学过程：
一课堂导入：
问题1、什么叫勾股定理？勾股定理的逆定理？怎样灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题呢？在前面我们以经学习过，今天我们继续学习，灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
二、合作探究：
1、议一议
例1（P32）判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
1、a=15、b=8、c=17
2、a=13、b=14、c=15
分析：根据勾股定理及逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方。
看书 p32 、讨论 归纳 理解 例1解题方法。 了解勾股数。
三、交流展示：
例2 课本（P33例2）
分析：⑴了解方位角，及方位名词；
⑵依题意画出图形；
⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30；
⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90
⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。
小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。
例3（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。
分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；
⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；
⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。
解略。
例2、 例3两题 分小组讨论 ，小组发言，后全班展示
四、归纳小结：1、勾股定理及逆定理
2、养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识
3、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
五、当堂训练：
一、必作题 ：
一、 填空
1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 。
2．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。
二、选做题：
二、解答题
3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？
4．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。
5．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？
板书设计： 勾股定理的逆定理（2）
勾股定理及逆定理
例1 例2
例3 小结：
教学反思：
课 题： 勾股定理的逆定理（3） 7
知识与技能：1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。
2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。
3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
过程与方法：1、经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,
2、发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.树立数形 结合的思想、分类讨论思想
情感态度与价值观：、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
教学重点：灵活利用勾股定理及逆定理解综合题
教学难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题、解综合题。
教学方法：创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论
教学过程：
一课堂导入：
问题1、什么叫勾股定理？、勾股定理的逆定理？怎样灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题呢？在前面我们以经学习过，今天我们继续学习，灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题、解综合题。
二、合作探究：
1、议一议： 同学们想一想：下列几题怎样做？
例1（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。试判断△ABC的形状。
分析：⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，则都为0；
⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。
解：∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。∴a2+b2+c2+338—10a-24b-26c=0
∴（a2 —10a+25 ）+（b2 -24b+144 ）+（c2-26c+169）=0
∴.................... 下面的步骤 同学们自己完成
例2（补充）已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。求：四边形ABCD的面积。
分析：⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；
⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；
⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；
⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。
三、交流展示：
例3（补充）已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。
求证：△ABC是直角三角形。
分析：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2
∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2
=AD2+2AD·BD+BD2
=（AD+BD）2=AB2
∴AC2+BC=AB2
即：△ABC是直角三角形。
学生版书完整的证明过程，与同学们讨论 归纳、纠正
四、归纳小结：1、勾股定理及逆定理
2、灵活利用勾股定理及逆定理解综合题
五、当堂训练：
一、必作题 ：
1．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形； B．直角三角形；
C．等腰三角形或直角三角形； D．等腰直角三角形。
2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：，试判断△ABC的形状。
二、选做题：
3．已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且AB⊥BC。求：四边形ABCD的面积。
4．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD2=AD·BD。
求证：△ABC中是直角三角形。
板书设计： 勾股定理（3）
勾股定理及逆定理
例1 例2 例3 小结：
教学反思：
附、 课后练习，
1．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积。
2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。
求证：△ABC是等腰三角形。
3．已知：如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。
求证：AB2=AE2+CE2。4．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，试判定△ABC的形状。
课 题： 勾股定理复习 8
知识与技能：1、复习勾股定理和勾股定理的逆定理，
2、能进行相应的计算，并能在实际问题中应用。
3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
过程与方法：1、经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,
2、发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.树立数形 结合的思想、分类讨论思想
情感态度与价值观：、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。
通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
教学重点：1、能熟练运用勾股定理进行计算和证明
2、能用勾股定理解决实际生活中的问题
教学难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
教学方法：创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论
教学过程：
一课堂导入：
问题1、什么叫勾股定理？怎样用面积法证明？
1、勾股定理的证明（面积法）
四个小直角三角形的面积如何表示：中间小正方形的边长如何表示：根据大正方形面积等于四个小直三角形的面积+小正方形的面积：
2、勾股定理的逆定理：__________________________
考点：（１）已知直角三角形的任两边，求第三边
（２）证明线段的平方关系问题；
（３）作数轴上的、、，……等；
（４）解决实际问题．、
二、合作探究：
1、（1）直角三角形斜边长是13，则以两直角边所作正方形的面积和是（ ）
（2）由四根木棒，长度分别为3，4，5，6 若取其中三根木棒组成三角形，有( )
种取法，其中，能构成直角三角形的是
（3）某直角三角形的勾股分别是另一直角三角形勾股的n倍，则这个三角形与
另一直角三角形的弦之比是______
2、把一个直角三角形各边扩大N倍，它还是直角三角形吗？______
把一个直角三角形各边加上一个N，它还是直角三角形吗？____
把一个直角三角形各边都求平方根，它还是直角三角形吗？____
选择一个进行证明，（并展示）
三、交流展示：
3.如何判定一个三角形是直角三角形 小组交流，讨论补充，
先确定最大边（如c）验证与是否具有相等关系，若=，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若≠则△ABC不是直角三角形
4、怎样求几何体的表面距离最短(教师画图) 小组交流，讨论补充，
1. 几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成平面。
2.利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。
四、归纳小结：这节课你学了那些知识？还有那些知识不熟练？
五、当堂训练：
一、必作题 ：
1．已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的三条边之比为（ ）．
A．1：1： B．1：：2 C．1：： D．1：4：1
2．已知直角三角形的两边分别为3、4，则第三边为_____．
3、一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B （CD中点）处吃食,要爬行的最短路程是 _____．
二、选做题：
4、在中，．⑴已知，．求的长
⑵已知，，求的长
5⑴在中，，，，于，＝
⑵已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为
⑶已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为
6、已知中，，，边上的中线，
求证：
板书设计： 勾股定理复习
1、勾股定理的证明（面积法） 2、勾股定理的逆定理：
3.如何判定一个三角形是直角三角形 4、几何体的表面距离最短
教学反思：
附、 探索神秘的勾股数组：满足的三个正整数，称为勾股数．如（1）3
4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 ；（5）7，24，25 ；（6
9, 40, 41若a、b、c是一组勾股数，则ka、kb、kc (k为正整数)也是勾股数．
①设n为正整数，且n＞1，令，则有
②设m、n为正整数，且m＞n，令，则有 ；
第17章 勾股定理单元复习测试 9
一、精心选一选，相信你一定能选对！
1．已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的三条边之比为（ ）．
A．1：1： B．1：：2 C．1：： D．1：4：1
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" 2．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）．
A． B．3 C． D．
3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）．
A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，5
4．下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
5．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（ ）．
A．cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
6．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（ ）．
A．2 B．4 C．2 D．
7．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（ ）．
A． B． C．1 D．
8．下面四组数中是勾股数的有（ ）．
（1）1.5，2.5，2 （2），，2
（3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1.3
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
9．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（ ）．
二、细心填一填，相信你填得又快又准！）
10．已知直角三角形的两边分别为3、4，则第三边为_____．
11．你听说过亡羊补牢的故事吗？如图,为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需_____m长．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"三、耐心选一选，千万别漏选！
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则下列结论中正确的是（ ）。
A．AB=2BC B．AB=2AC C．AC2+AB2=BC2 D．AC2+BC2=AB2
13．在Rt△ABC中，若AC=，BC=，AB=3，则下列结论中不正确的是（ ）。
A．∠C=90° B．∠B=90°C．△ABC是锐角三角形 D．△ABC是钝角三角形
四、仔细想一想，相信你一定行！
14．（8分）如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？
15．（8分）已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长． ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
16．（8分）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
17．（9分）如图，正方形MNPQ网格中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上．（1）设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1，求：①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面积；②正方形ABCD的面积．
（2）设MB=a，BQ=b，利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗？相信你能给出简明的推理过程．
勾股定理单元复习练习题 10
1、勾股定理的证明
2、.勾股定理的应用
在中，．⑴已知，．求的长
⑵已知，，求的长
3、应用勾股定理建立方程
⑴在中，，，，于，＝
⑵已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为
⑶已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为
如图中，，，，，求的长
如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
4、实际问题中应用勾股定理
如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了
5、应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
.已知三角形的三边长为，，，判定是否为
①，， ②，，
三边长为，，满足，，的三角形是什么形状？
6、勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
已知中，，，边上的中线，求证：
已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长． ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
a
b
c
知识与技能：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用.
过程与方法：经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.
情感态度与价值观：通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
教学重点：：知道勾股定理的结果，并能运用于解题
教学难点：体会数形结合的思想，并能迁移
教学方法：创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论
教学过程：
一课堂导入：问题1、同学们，知道勾股定理的内容吗？会用面积法证明勾股定理吗？能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用吗？.
看书、讨论 归纳总结 得出结论
二、合作探究：
1、议一议 ：画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。 当学生量出AB的长为5cm 时 提问：为什么呢？
看书、讨论 归纳总结 得出结论
2、例1已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正
4×ab＋（b－a）2=c2，化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明小结： 命题1：
如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b.斜边长为c。那么
三、交流展示：
勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。、同学们，试一试？
3、例2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=4×ab＋c2
右边S=（a+b）2
左边和右边面积相等，即
4×ab＋c2=（a+b）2 化简可证。
这样就证明了命题1的正确性我国把它叫勾股定理
四、归纳小结：什么叫勾股定理？怎样证明？
五、当堂训练：
一、必作题 ：
1．勾股定理的具体内容是：
2．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ；
⑵若D为斜边中点，则斜边中线
⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：
⑷三边之间的关系： 。
3．△ABC的三边a、b、c，若满足b2= a2＋c2，则 =90°
； 若满足b2＞c2＋a2，则∠B是 角； 若满足b2＜c2＋a2，则∠ B是 角。
二、选做题：
4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。
5、求下列图中未知数x、y、z的值
板书设计： 勾股定理 (1)
例1 例2 命题1： 小结：
教学反思：
课 题： 勾股定理（2） 2
知识与技能：1、掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，
2、能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用.
过程与方法：1、经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,
2、发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.树立数形 结合的思想、分类讨论思想
情感态度与价值观：通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
教学重点：勾股定理的简单计算。
教学难点：勾股定理的灵活运用。
教学方法：创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论
教学过程：
一课堂导入：
问题1、什么叫勾股定理？怎样证明？
二、合作探究：
1、议一议： 看书、讨论 归纳解题方法：怎样用勾股定理来求 Rt△的边呢？
小组讨论、分组发言、教授订正 或举例说明
三、交流展示：
例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c。⑵已知a=1,c=2, 求b。
⑶已知c=17,b=8, 求a。⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。
⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。
分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。
例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
例3（补充）已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。
⑴求等边△ABC的高。
⑵求S△ABC。
分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要
创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做
法。欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，
但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=AB=3cm，则此题可解。
四、归纳小结：
用勾股定理计算时，要先画好图形，并标好图形，理清边之间的关系，之后灵活运用勾股定理计算。
五、当堂训练：
一、必作题 ：
1．填空题
⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。
⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 。
⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 ，面积为 。
2．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。
二、选做题：
3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
2．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，
AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。
板书设计： 勾股定理（2）
命题1： 例1
例2 小结：
教学反思：
课 题： 勾股定理（3） 3
知识与技能：1．、掌握勾股定理的内容，会用勾股定理解决简单的实际问题。
2．树立数形结合的思想。
过程与方法：1、经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,
2、发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想. 树立数形 结合的思想、分类讨论思想
情感态度与价值观：通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
教学重点：勾股定理的简单计算。勾股定理的应用。
教学难点：勾股定理的灵活运用。实际问题向数学问题的转化。
教学方法：创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论
教学过程：
一课堂导入：
问题1、什么叫勾股定理？怎样证明？
问题2、如何将实际问题转化为数学问题，之后用勾股定理解决实际问题呢？
注意条件的转化；学会如何利用数学 知识、思想、方法解决实际问题。
二、合作探究：
1、议一议： 看书、讨论 归纳解题方法 p25例1、例2
勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。
三、交流展示：
例1（教材P25）一个门框的尺寸如图，一块长3 米、宽2.2米的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。
明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。
例2（教材P25）一架2.6米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4米，如果梯子的顶端A沿强下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？
分析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。 （2）在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。
则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。
⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD
四、归纳小结：
1、用勾股定理计算时，要先画好图形，并标好图形，理清边之间的关系，之后灵活运用勾股定理计算。
2、注意条件的转化；学会如何利用数学 知识、思想、方法解决实际问题。
五、当堂训练：
一、必作题 ：
1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。
2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。
2题 3题 4题
3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。
二、选做题：
4．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？
板书设计： 勾股定理（3）
勾股定理 例1
例2 小结：
教学反思：
课后练习 5．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。
（精确到1米）
课 题： 勾股定理（4） 4
知识与技能：1．掌握勾股定理，会用勾股定理解决较综合的问题。
2．树立数形结合的思想。
3、灵活运用勾股定理。把实际问题向数学问题的转化。
过程与方法：1、经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,
2、发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.树立数形 结合的思想、分类讨论思想
情感态度与价值观：通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
教学重点：勾股定理的综合应用。
教学难点：1、树立数形结合的思想，
2、灵活运用勾股定理。把实际问题向数学问题的转化
教学方法：创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论
教学过程：
一课堂导入：
问题1、什么叫勾股定理？怎样证明？
2、前一节课我们学习了：用勾股定理计算时，要先画好图形，并标好图形，理清边之间的关系，之后灵活运用勾股定理计算。学会如何利用数学 知识、思想、方法解决实际问题，这一节课我们学习勾股定理的综合应用。
二、合作探究：
1、议一议： 看书、讨论 归纳解题方法 p25例1、例2
例1、（教材P26页思考）
例2 （教材P26.....27页探究）
交流展示：
例3（补充）1．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=，求线段AB的长
分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。
要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。或欲求AB，可由，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6。
例4（补充）已知：如图，△ABC中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？
分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°。在学生充分思考和讨论后，发现添置AB边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及S△ABC。让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？
小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。并指出如何作辅助线？
解略。
例5（补充）已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。
四、归纳小结：
用勾股定理计算时，要先画好图形，并标好图形，理清边之间的关系，之后灵活运用勾股定理计算。灵活运用勾股定理。把实际问题向数学问题的转化
五、当堂训练：
一、必作题 ：
1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC= ，S△ABC= 。
2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=cm，则∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度，BC= ，S△ABC= 。
3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=，CD⊥AB于D，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,S△ABC= 。
二、选做题：
4．已知：如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，
求S△ABC。
5．已知：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=，
求（1）AB的长；（2）S△ABC。
板书设计： 勾股定理（2）
例1 例2 例3
例4 例25 小结：
教学反思：
课 题： 勾股定理的逆定理（1） 5
知识与技能：1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
过程与方法：1、经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,
2、发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.树立数形 结合的思想、分类讨论思想
情感态度与价值观：通过对勾股定理的逆定理的证明的探究，．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
教学重点：勾股定理的逆定理，原命题、逆命题、逆定理的概念及关系
教学难点：勾股定理的逆定理的证明方法，
教学方法：创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论
教学过程：
一课堂导入：
问题1、什么叫勾股定理？如果把命题一的题设和结论互换，会得到什么命题呢？ 讨论 、交流、得出命题二
二、合作探究：
1、议一议： 同学们想一想： 命题一 命题二有什么关系？
看书、讨论 归纳 p31...32
三、交流展示：
2、同学们：原命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系？
讨论 、归纳。分小组发言，教师订正
3、同学们： 看书 p32面的内容后，你能证明命题二是真命题吗？
动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合。得出结论。
勾股定理的逆定理：............................................
例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
⑴同旁内角互补，两条直线平行。
⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。
⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。
⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。
例2（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1） 求证：∠C=90°。
分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。
⑶由于a2+b2= （n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2= n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证。
四、归纳小结：1、 命题一 命题二 2勾股定理、勾股定理的逆定理
3、原命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系
五、当堂训练：
一、必作题 ： 1．判断题。
⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。
⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。
⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
⑷△ABC的三边之比是1：1：，则△ABC是直角三角形。
2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。
B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。
二、选做题：
3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）
A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15
C．a=，b=，c= D．a：b：c=2：3：4
4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
1、a=，b=，c=； 2、 a=5，b=，c=1。
板书设计： 勾股定理的逆定理（1）
命题1：命题2：勾股定理、勾股定理的逆定理
例1 例2 小结：
教学反思：
3．若三角形的三边是 ⑴1、、2； ⑵； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41；
⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；则构成的是直角三角形的有（ ）
A．2个 B．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个
课 题： 勾股定理的逆定理（2） 6
知识与技能：1．掌握勾股定理的逆定理。
2、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
过程与方法：1、经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,
2、发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想. 树立数形 结合的思想、分类讨论思想
情感态度与价值观：、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。
通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
教学重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
教学难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
教学方法：创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论
教学过程：
一课堂导入：
问题1、什么叫勾股定理？勾股定理的逆定理？怎样灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题呢？在前面我们以经学习过，今天我们继续学习，灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
二、合作探究：
1、议一议
例1（P32）判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
1、a=15、b=8、c=17
2、a=13、b=14、c=15
分析：根据勾股定理及逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方。
看书 p32 、讨论 归纳 理解 例1解题方法。 了解勾股数。
三、交流展示：
例2 课本（P33例2）
分析：⑴了解方位角，及方位名词；
⑵依题意画出图形；
⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30；
⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90
⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。
小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。
例3（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。
分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；
⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；
⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。
解略。
例2、 例3两题 分小组讨论 ，小组发言，后全班展示
四、归纳小结：1、勾股定理及逆定理
2、养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识
3、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
五、当堂训练：
一、必作题 ：
一、 填空
1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 。
2．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。
二、选做题：
二、解答题
3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？
4．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。
5．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？
板书设计： 勾股定理的逆定理（2）
勾股定理及逆定理
例1 例2
例3 小结：
教学反思：
课 题： 勾股定理的逆定理（3） 7
知识与技能：1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。
2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。
3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
过程与方法：1、经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,
2、发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.树立数形 结合的思想、分类讨论思想
情感态度与价值观：、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
教学重点：灵活利用勾股定理及逆定理解综合题
教学难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题、解综合题。
教学方法：创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论
教学过程：
一课堂导入：
问题1、什么叫勾股定理？、勾股定理的逆定理？怎样灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题呢？在前面我们以经学习过，今天我们继续学习，灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题、解综合题。
二、合作探究：
1、议一议： 同学们想一想：下列几题怎样做？
例1（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。试判断△ABC的形状。
分析：⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，则都为0；
⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。
解：∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。∴a2+b2+c2+338—10a-24b-26c=0
∴（a2 —10a+25 ）+（b2 -24b+144 ）+（c2-26c+169）=0
∴.................... 下面的步骤 同学们自己完成
例2（补充）已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。求：四边形ABCD的面积。
分析：⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；
⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；
⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；
⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。
三、交流展示：
例3（补充）已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。
求证：△ABC是直角三角形。
分析：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2
∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2
=AD2+2AD·BD+BD2
=（AD+BD）2=AB2
∴AC2+BC=AB2
即：△ABC是直角三角形。
学生版书完整的证明过程，与同学们讨论 归纳、纠正
四、归纳小结：1、勾股定理及逆定理
2、灵活利用勾股定理及逆定理解综合题
五、当堂训练：
一、必作题 ：
1．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形； B．直角三角形；
C．等腰三角形或直角三角形； D．等腰直角三角形。
2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：，试判断△ABC的形状。
二、选做题：
3．已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且AB⊥BC。求：四边形ABCD的面积。
4．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD2=AD·BD。
求证：△ABC中是直角三角形。
板书设计： 勾股定理（3）
勾股定理及逆定理
例1 例2 例3 小结：
教学反思：
附、 课后练习，
1．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积。
2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。
求证：△ABC是等腰三角形。
3．已知：如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。
求证：AB2=AE2+CE2。4．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，试判定△ABC的形状。
课 题： 勾股定理复习 8
知识与技能：1、复习勾股定理和勾股定理的逆定理，
2、能进行相应的计算，并能在实际问题中应用。
3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
过程与方法：1、经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,
2、发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.树立数形 结合的思想、分类讨论思想
情感态度与价值观：、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。
通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
教学重点：1、能熟练运用勾股定理进行计算和证明
2、能用勾股定理解决实际生活中的问题
教学难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
教学方法：创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论
教学过程：
一课堂导入：
问题1、什么叫勾股定理？怎样用面积法证明？
1、勾股定理的证明（面积法）
四个小直角三角形的面积如何表示：中间小正方形的边长如何表示：根据大正方形面积等于四个小直三角形的面积+小正方形的面积：
2、勾股定理的逆定理：__________________________
考点：（１）已知直角三角形的任两边，求第三边
（２）证明线段的平方关系问题；
（３）作数轴上的、、，……等；
（４）解决实际问题．、
二、合作探究：
1、（1）直角三角形斜边长是13，则以两直角边所作正方形的面积和是（ ）
（2）由四根木棒，长度分别为3，4，5，6 若取其中三根木棒组成三角形，有( )
种取法，其中，能构成直角三角形的是
（3）某直角三角形的勾股分别是另一直角三角形勾股的n倍，则这个三角形与
另一直角三角形的弦之比是______
2、把一个直角三角形各边扩大N倍，它还是直角三角形吗？______
把一个直角三角形各边加上一个N，它还是直角三角形吗？____
把一个直角三角形各边都求平方根，它还是直角三角形吗？____
选择一个进行证明，（并展示）
三、交流展示：
3.如何判定一个三角形是直角三角形 小组交流，讨论补充，
先确定最大边（如c）验证与是否具有相等关系，若=，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若≠则△ABC不是直角三角形
4、怎样求几何体的表面距离最短(教师画图) 小组交流，讨论补充，
1. 几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成平面。
2.利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。
四、归纳小结：这节课你学了那些知识？还有那些知识不熟练？
五、当堂训练：
一、必作题 ：
1．已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的三条边之比为（ ）．
A．1：1： B．1：：2 C．1：： D．1：4：1
2．已知直角三角形的两边分别为3、4，则第三边为_____．
3、一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B （CD中点）处吃食,要爬行的最短路程是 _____．
二、选做题：
4、在中，．⑴已知，．求的长
⑵已知，，求的长
5⑴在中，，，，于，＝
⑵已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为
⑶已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为
6、已知中，，，边上的中线，
求证：
板书设计： 勾股定理复习
1、勾股定理的证明（面积法） 2、勾股定理的逆定理：
3.如何判定一个三角形是直角三角形 4、几何体的表面距离最短
教学反思：
附、 探索神秘的勾股数组：满足的三个正整数，称为勾股数．如（1）3
4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 ；（5）7，24，25 ；（6
9, 40, 41若a、b、c是一组勾股数，则ka、kb、kc (k为正整数)也是勾股数．
①设n为正整数，且n＞1，令，则有
②设m、n为正整数，且m＞n，令，则有 ；
第17章 勾股定理单元复习测试 9
一、精心选一选，相信你一定能选对！
1．已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的三条边之比为（ ）．
A．1：1： B．1：：2 C．1：： D．1：4：1
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" 2．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）．
A． B．3 C． D．
3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）．
A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，5
4．下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
5．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（ ）．
A．cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
6．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（ ）．
A．2 B．4 C．2 D．
7．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（ ）．
A． B． C．1 D．
8．下面四组数中是勾股数的有（ ）．
（1）1.5，2.5，2 （2），，2
（3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1.3
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
9．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（ ）．
二、细心填一填，相信你填得又快又准！）
10．已知直角三角形的两边分别为3、4，则第三边为_____．
11．你听说过亡羊补牢的故事吗？如图,为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需_____m长．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"三、耐心选一选，千万别漏选！
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则下列结论中正确的是（ ）。
A．AB=2BC B．AB=2AC C．AC2+AB2=BC2 D．AC2+BC2=AB2
13．在Rt△ABC中，若AC=，BC=，AB=3，则下列结论中不正确的是（ ）。
A．∠C=90° B．∠B=90°C．△ABC是锐角三角形 D．△ABC是钝角三角形
四、仔细想一想，相信你一定行！
14．（8分）如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？
15．（8分）已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长． ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
16．（8分）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
17．（9分）如图，正方形MNPQ网格中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上．（1）设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1，求：①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面积；②正方形ABCD的面积．
（2）设MB=a，BQ=b，利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗？相信你能给出简明的推理过程．
勾股定理单元复习练习题 10
1、勾股定理的证明
2、.勾股定理的应用
在中，．⑴已知，．求的长
⑵已知，，求的长
3、应用勾股定理建立方程
⑴在中，，，，于，＝
⑵已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为
⑶已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为
如图中，，，，，求的长
如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
4、实际问题中应用勾股定理
如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了
5、应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
.已知三角形的三边长为，，，判定是否为
①，， ②，，
三边长为，，满足，，的三角形是什么形状？
6、勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
已知中，，，边上的中线，求证：
已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长． ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
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