6.3平面向量基本定理及其坐标表示 综合训练（含解析）

试题资源网 https://stzy.com
6.3平面向量基本定理及坐标表示综合训练
1．已知向量a＝(1，0)，b＝(2－m，2＋m)．若a·b＝0，则2a－b＝(　　)
A．(2，－4) B．(－2，4)
C．(2，4) D．(－2，－4)
2．已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为(　　)
A．(3，－2) B．(3，2)
C．(－3，－2) D．(－3，2)
3．如果平面向量a＝(2，1)，b＝(1，3)，那么下列结论中正确的是(　　)
A．|b|＝3|a|
B．a∥b
C．a与b的夹角为30°
D．a在b上的投影向量的模为
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F为AB的中点，CE＝3，CB＝8，AB＝12，则·＝(　　)
A．－15 B．－13
C．13 D．15
5．已知向量＝(1，0)，＝(0，2)，＝t，则当||取最小值时，实数t＝(　　)
A. B.
C. D．1
6．在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上一点．若＝m＋，则实数m＝ (　　)
A. B. C. D．1
7．向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)．若A，B，C三点共线，则k的值为(　　)
A．－2 B．11
C．－2或11 D．2或－11
8．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点，则·的取值范围是(　　)
A．[2，4] B．[2，3]
C．[3，4] D．[1，4]
9．(多选)如图，在平面四边形ABCD中，等边三角形ABC的边长为2，∠ADC＝30°，AC⊥CD.M为边AB上一动点，记λ＝·，则λ的取值可以是(　　)
A．－4 B.
C．5 D．10
10．在平行四边形ABCD中，点E是边AB的中点，点F在边CD上，满足＝.若||＝4，∠DAB＝，且⊥，则||＝________．
11．设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：a×b.a×b是一个向量，它的模为|a×b|＝|a|·|b|·sin θ.若a＝(－1，1)，b＝(0，2)，则|a×b|＝________.
12．如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D.若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
13．已知a＝(1，2)，b＝(－3，1)．
(1)设a，b的夹角为θ，求cos θ的值；
(2)若向量a＋kb与a－kb互相垂直，求k的值．
14．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1，3)，B(2，－2)，C(4，1)．
(1)若＝，求点D的坐标；
(2)设向量a＝，b＝，若向量ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．
15．如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，点E在边AC上，且AE＝2EC，BE交AD于点G，求及的值．
16．在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠ACB＝，D是线段BC上一点，且＝，F为线段AB上一点．
(1)若＝x＋y，求实数x－y的值；
(2)求·的取值范围．
答案及解析
1．【答案】A
【详解】∵a＝(1，0)，b＝(2－m，2＋m)，a·b＝0，∴2－m＝0，解得m＝2，则2a－b＝2(1，0)－(0，4)＝(2，－4)，故选A.
2．【答案】C
【详解】设c＝(x，y)，由c⊥a，b·c＝1得解得所以c＝(－3，－2)．故选C.
3．【答案】D
【详解】|a|＝＝，|b|＝＝，则|b|≠3|a|，A错误；
由于2×3≠1×1，则a，b不平行，B错误；
cos〈a，b〉＝＝＝，0°≤〈a，b〉≤180°，则〈a，b〉＝45°，C错误；
a在b上的投影向量的模为＝＝，D正确．
4．【答案】C
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则A(12，0)，B(0，0)，C(0，8)，F(6，0)．
在Rt△CBF中，CF＝＝10，又CE＝3，所以CE＝FC，即FE＝FC，则＝＋＝＋＝(6，0)＋(－6，8)＝，同理＝.
所以＝，＝，则·＝×＋2＝13，故选C.
5．【答案】A
【详解】由＝t得＝＋t(－)，则＝(1，0)＋t[(0，2)－(1，0)]＝(1－t，2t)，||＝＝＝，则当t＝时，||有最小值．故选A.
6．【答案】B
【详解】如图，因为＝，所以＝3，则＝m＋＝m＋.又因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，故m＝.
7．【答案】C
【详解】＝－＝(k，12)－(4，5)＝(k－4，7)，
＝－＝(k，12)－(10，k)＝(k－10，12－k)．
因为A，B，C三点共线，所以∥，所以(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0，整理得k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.
8．【答案】B　
【解析】以A为坐标原点，，的方向为x，y轴的正方向，建立如图所示平面直角坐标系，则D(0，1)，E(1，0)．
设F(2，m)(0≤m≤1)，∴＝(1，－1)，＝(2，m－1)，
∴·＝2－m＋1＝3－m.∵0≤m≤1，∴2≤3－m≤3，即·的取值范围为[2，3]．故选B.
9．【答案】CD
【详解】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系．设AM＝t，t∈[0，2]，则M，C(1，)，D(4，0)．
即＝，＝，故λ＝·＝·＝
t2＋t＋4＋t2－t＝t2＋t＋4，则λ(t)在[0，2]上单调递增，故λ＝t2＋t＋4∈[4，10]．故选CD.
10．【答案】1　
【解析】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．设||＝a，则由题意可得E(2，0)，B(4，0)，C，F.
所以＝，＝，
因为⊥，所以·＝0，即＋2＝0，
所以5a2＋3a－8＝0，解得a＝1或a＝－(舍去)，所以||＝1.
11．2
12．【答案】(－1，0)
【详解】由D是圆O外一点，可设＝λ(λ＞1)，则＝＋λ＝λ＋(1－λ).又因为C，O，D三点共线，所以令＝－μ(μ＞1)，则＝－－(λ＞1，μ＞1)，所以m＝－，n＝－，则m＋n＝－－＝－∈(－1，0)．
13．【答案】(1)因为a·b＝|a||b|·cos θ，
所以cos θ＝＝
＝－.
(2)由a＝(1，2)，b＝(－3，1)得a＋kb＝(1，2)＋k(－3，1)＝(1－3k，2＋k)，
a－kb＝(1，2)－k(－3，1)＝(1＋3k，2－k)．
因为向量a＋kb与a－kb互相垂直，
所以(a＋kb)·(a－kb)＝(1－3k)(1＋3k)＋(2＋k)(2－k)＝0，即2k2＝1，解得k＝±.
14．【答案】(1)设D(x，y)．
因为＝，所以(2，－2)－(1，3)＝(x，y)－(4，1)，
整理得(1，－5)＝(x－4，y－1)，
所以解得
所以D(5，－4)．
(2)因为a＝＝(1，－5)，b＝＝(4，1)－(2，－2)＝(2，3)，
所以ka－b＝k(1，－5)－(2，3)＝(k－2，－5k－3)，
a＋3b＝(1，－5)＋3(2，3)＝(7，4)．
因为向量ka－b与a＋3b平行，
所以7(－5k－3)－4(k－2)＝0，解得k＝－.
15．【答案】设＝λ，＝μ(λ，μ∈R，λ>0，
μ>0)．
∵AD为BC边上的中线，
∴＝(＋)．
∵＝λ＝λ(－)，
∴＝＝＋.
又∵＝μ，即－＝μ(－)，
∴(1＋μ)＝＋μ，
∴＝＋.
又∵＝，
∴＝＋.
∵，不共线，
∴解得
∴＝4，＝.
16．【答案】(1)因为＝，
所以－＝(－)，
得＝＋.
因为＝x＋y，
所以x＝，y＝，
所以x－y＝.
(2)因为在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠ACB＝，
所以∠CAB＝，BC＝，
所以·＝(＋)·＝·＋·.
设||＝x，由题意得x∈[0，2]，
所以·＝·＋·＝||||cos∠CAB－||2＝x－x2＝－＋.
因为x∈[0，2]，
所以－＋∈，
所以·的取值范围为.
第 page number 页，共 number of pages 页
第 page number 页，共 number of pages 页