6.2.3 向量的数乘运算 题型练习（含解析）

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第六章 6.2.3向量的数乘运算
【基础篇】
题型1　向量的数乘的定义与运算法则
1．已知λ∈R，则下列结论正确的是(　　)
A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0
2．若a，b为已知向量，且 (4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝________.
题型2　向量的数乘的应用
3．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，＝2，则用向量，表示为(　　)
A.＝－＋
B.＝－＋
C.＝－
D.＝＋
4．如图，在平面四边形ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，＝m，＝n，则＝(　　)
A.m＋n B.m＋n
C.m＋n D.m＋n
题型3　向量共线的判定
5．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，且a，b不共线，则(　　)
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
6．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若2＋3＝2＋3，则四边形ABCD一定是(　　)
A．矩形 B．梯形
C．平行四边形 D．菱形
7．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2不共线．问是否存在实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
题型4　向量共线定理的应用
8．如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点．若＝m＋，则实数m的值为(　　)
A.　　　　　 B.
C. D.
9．在△ABC中，点D在边BC的延长线上，且＝3.若＝x＋(1－x)，－A．线段BC上 B．线段CD上
C．线段AC上 D．线段AD上
10．在△ABC中，点D满足＝＋，直线AD与BC交于点E，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
11．设e1，e2是空间内两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________．
【提升篇】
1．在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，则(　　)
A.＝＋
B.＝(＋)
C.＝－
D.＝(－)
2．已知向量a，b不共线．若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ的值为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．±1
3．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，已知＝，则(　　)
A.＝＋
B.＝＋
C.＝＋
D.＝＋
4．已知O是平面内一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
5．(多选)[重庆南开中学2022质量检测]已知点P是△ABC的中线BD上一点(不包含端点)且＝x＋y，则下列说法正确的是(　　)
A．x＋2y＝1 B．2x＋y＝1
C．2x＋4y≥2 D．log2x＋log2y≥－3
6．(多选)[山东师范大学附属中学2022高一月考]已知点P为△ABC所在平面内一点，且＋2＋3＝0.若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．向量与可能平行
B．点P在线段EF的延长线上
C．点P在线段EF上
D．PE∶PF＝2∶1
7．已知M是△ABC所在平面内的一点．若满足6－－2＝0，且S△ABC＝λS△ABM，则实数λ的值是________．
8．[山东历城二中、章丘四中等校2022高一联考]在△ABC中，点P满足BP＝2PC，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，求＋的最小值．
9．已知e1，e2是平面上两个不共线的向量，且＝ke1－4e2，＝－e1＋ke2，＝e1＋2e2.
(1)若，方向相反，求k的值；
(2)若A，C，D三点共线，求k的值．
答案及解析
1.【答案】C
【详解】当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.
2.【答案】b－a
【详解】∵(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，∴a－2c＋15c－12b＝0，化简得13c＝12b－a，∴c＝b－a.
3.【答案】A
【详解】由题意可得＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋＋＝－.故选A.
4.【答案】A
【详解】由已知可得＋＝0，＋＝0，由平面向量的加法可得上述两个等式相加可得2＝＋＝m＋n，则＝(m＋n)．故选A.
5.【答案】B
【详解】∵＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，且a，b不共线，
∴＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b.∵＝a＋5b，∴＝，即与共线，则A，B，D三点共线，故选B.
6.【答案】B
【详解】∵2＋3＝2＋3，∴2(－)＝3(－)，∴2＝3，∴四边形ABCD一定是梯形．故选B.
7.【答案】由题意得d＝λa＋μb＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，
若d与c共线，则存在实数k≠0，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
即解得λ＝－2μ.
故存在实数λ，μ，且λ＝－2μ，使d与c共线．
8.【答案】D
【详解】由题意可得＝5，则＝m＋×5＝m＋.因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，即m＝.
9.【答案】B
【详解】由向量共线定理可知O，B，C三点共线．
∵＝3，∴－＝3－3，∴＝－＋.
又∵－10.【答案】C　
【解析】设＝λ＝＋，
则＝－＝λ－＝＋－＝＋，
＝－，且，共线，设＝k，
则＋＝k(－)，
所以
所以＝1－，解得λ＝，
此时＝－，所以＝，故＝.
故选C.
11.【答案】1
【详解】依题意，＝e1＋2e2，
故＝＋＋＝7e1＋(k＋6)e2.
已知A，B，D三点共线，可设＝λ，
则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，
所以解得k＝1.
1.【答案】B
【详解】如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，由平行四边形法则得＋＝＝2，所以＝(＋)．故选B.
2.【答案】C
【详解】∵向量a＋λb与b＋λa的方向相反，∴(a＋λb)∥(b＋λa)．由向量共线的充要条件可知，存在一个实数m，使得a＋λb＝m(b＋λa)，即(1－mλ)a＝(m－λ)b.∵a与b不共线，∴1－mλ＝m－λ＝0，可得m＝λ.∴1－λ2＝0，λ＝±1.当λ＝1时，向量a＋b与b＋a是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去．∴λ＝－1.
3.【答案】A
【详解】设AP＝1，则PT＝＝TS，CP＝1＋＝＝CS，
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(－)＝＋－，
所以＝＋，所以＝＋.
故选A.
4.【答案】B
【详解】为上的单位向量，为上的单位向量，设∠BAC的平分线为AD，则＋的方向为　的方向．
又∵λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同．∵＝＋λ，∴点P在射线AD上移动．
∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．
5.【答案】AC
【详解】因为＝x＋y，所以＝x＋2y.又B，P，D三点共线，所以x＋2y＝1，所以选项A正确，选项B错误．
x＋2y＝1，所以2x＋4y＝2x＋22y≥2 ＝2 ＝2 (当且仅当x＝，y＝时等号成立)，所以选项C正确．
因为x＋2y＝1≥2 ，所以xy≤，
所以log2x＋log2y＝log2(xy)≤log2＝－3，所以选项D错误．
故选AC.
6.【答案】CD
【详解】点P为△ABC所在平面内一点，E为AC的中点，F为BC的中点，
则＋＝2，＋＝2，而＋2＋3＝0，即(＋)＋2(＋)＝0，于是得2＋4＝0，即＝2，所以点P在线段EF上，且PE∶PF＝2∶1，即点P，A，C不共线，则向量与不可能平行，A不正确，B不正确，C正确，D正确．故选CD.
7.【答案】3
【详解】如图，记2＝.∵－＋2－2＝0，
∴＝2，S△ABC＝S△ABN.
又∵S△ABM＝S△ABN，∴S△ABC＝3S△ABM，
∴λ＝3.
8.【答案】
【详解】连接AP，如图．
∵△ABC中，＝＋，＝＋，
点P满足＝2，
∴－＋＝2(－)，
∴＝＋.
又∵＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，
∴＝＋.
又∵M，P，N三点共线，
∴＋＝1，λ>0，μ>0，
∴＋＝·＝＋＋1≥2 ＋1＝＋1,
当且仅当＝，即 时取“＝”，
则＋的最小值为＋1.
9.【答案】(1)由题意知，∥，则存在λ∈R，使得＝λ，即ke1－4e2＝λ(－e1＋ke2)，整理得(k＋λ)e1＝(kλ＋4)e2.
由e1，e2是不共线的向量，
得解得或
又，方向相反，则λ＝－2，k＝2，故k的值为2.
(2)由题意知，＝＋＝(k＋1)e1－2e2.由A，C，D三点共线得，存在μ∈R，使得＝μ，即(k＋1)e1－2e2＝μ(－e1＋ke2)，整理得(k＋μ＋1)e1＝(kμ＋2)e2.
由e1，e2是不共线的向量，
得
解得或
综上，k＝1或k＝－2.
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