5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
5.4三角函数的图象与性质
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质
授课老师：某某某
学习目标及重难点
学习目标
2.理解正弦函数与余弦函数的周期性，会求函数的周期，提升数学抽象、数学运算素养
1.了解周期函数的概念
3.理解三角函数的奇偶性以及对称性，会判断给定函数的奇偶性
复习回顾
正弦函数、余弦函数的简图怎么画吗？
五点作图法
y＝sin x









y＝cos x
正弦函数y＝sinx
余弦函数y＝cosx
新课引入
问题1：类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？
单调性
最值
定义域
值域
奇偶性
新课内容
探究1：周期性
今天星期几？ 7天后星期几？
14天后呢？ 100天后呢？……
世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺，这种现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质。
新课内容
问题2：观察正弦函数图像，有什么特点？
正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律
(1)正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
(2)规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2kπ,k∈Z重复出现）;
诱导公式一：sin(2kπ+x)=sinx(k∈Z)
若f(x)=sinx，则 f(x+2kπ)=f(x)
正、余弦函数的周期性
最小正周期的定义: 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，
则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.
附：今后本书中所涉及的周期，如果不加特别说明，都是指最小正周期.
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x D都有x+T D，且
那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.
f(x+T)=f(x)
新课内容
说明
2.周期函数的周期不唯一.若T是函数f(x)的最小正周期，则kT(k∈Z，k≠0)也是函数f(x)的周期.
3.并不是所有的周期函数都有最小正周期.
例如，对于函数f(x)=C，(C为常数) 所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.
1.对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内的每一个值时”，要特别注意其中“每一个”的要求.如果只是对某些x有f(x+T)=f(x)，那么T就不是f(x)的周期.
新课内容
问题3：观察正弦函数、余弦函数的周期是多少呢？
追问：正弦函数、余弦函数的最小正周期是多少呢？
y=sinx
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

y=cosx
2 ,4 ,6 ,...,以及-2 ,-4 ,-6 ,...都是正弦函数的周期.事实上2kπ (k∈Z且k≠0)都是它的周期.
周期2kπ (k∈Z且k≠0)
2π
概念辨析
任意性
周期函数的定义域一定为无限集
等式 f(x+T)=f(x). 强调x本身加的常数才是周期
例题探究
例1：求下列函数的周期
解：(1)∵cos(x+2π)=cosx,
∴3cos(x+2π)=3cosx,
∴函数y= 3cosx，x∈R的周期为2π
由周期函数的定义可知，函数y＝ sin 2x的周期为π．
即sin （z＋2π）＝ sin z，
于是sin(2x＋2π)＝ sin 2x，所以sin 2(x＋π)＝ sin 2x，x∈R．
(2)令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝sin z的周期为2π，
例题探究
例1：求下列函数的周期
解：
新课内容
问题4：回顾上题解答过程，你能发现这些函数的周期与解析中哪些量有关吗？
函数 周期
y＝3cos x
y＝sin 2x
与x的系数有关
仿照上述分析过程可得函数y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ) (其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的最小正周期为：T＝ ．
A≠0，ω ≠0，最小正周期为：T＝ ．
练习巩固
(5) y=|sin x|,x∈R
（
（
求函数最小正周期的常用方法:
(1)定义法: 利用周期函数的定义求解．
(2)公式法: T＝ .
(3)图象法: 通过图象直接观察即可．
练习巩固
3.若函数满足，且。则的值为多少？
2. 函数y=最小正周期是4，求的值。
新课内容
探究2：奇偶性
问题5：观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

正弦曲线关于原点对称
正弦函数y=sinx是奇函数
新课内容
探究2：奇偶性
问题5：观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

余弦曲线关于y轴对称
余弦函数y=cosx是偶函数
新课内容
思考：知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图像及其他性质有什么帮助？
可以先考察这个函数在y轴左右半个周期上的图象与性质，然后在根据奇偶性、周期性进行拓展，例如sinx
关于原点对称
向左、右平 移个单位
正弦函数图像
练习巩固
4. 判断下列函数的奇偶性
解：(1)已知x∈R ,所以定义域关于原点对称
f(-x)=-sin(-3x)=sin3x=-f(x),为奇函数
(2)已知x∈R ,所以定义域关于原点对称
f(-x)=sin(-x)+1=-sinx+1，非奇非偶
(3)已知x∈R ,所以定义域关于原点对称
f(-x)=|cos(-x)|=|cosx|，偶函数
课堂小结
函数 y＝sin x(x∈R) y＝cos x (x∈R)
图像
周期
奇偶性 奇函数 偶函数
T=2π
T=2π