6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 题型练习 2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含解析）

试题资源网 https://stzy.com
第六章 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
【基础篇】
题型1　平面向量的正交分解及坐标表示
1．已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则(2a＋b)·c＝(　　)
A．－ B．1
C. D.
2．已知向量a＝(－2，1)，b＝(2，4)，c＝(－4，2)，则下列结论正确的是(　　)
A．a∥b，a∥c B．a⊥b，a⊥c
C．a∥b，b⊥c D．a⊥b，a∥c
题型2　平面向量的坐标运算
3．已知向量＝(1，7)，＝(5，1)(O为坐标原点)，设M是直线y＝x上的一点，那么·的最小值是________．
4．已知向量a＝(1，2)，b＝(4，k)，若a与b垂直，则a与a＋b夹角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
5．(多选)已知向量a与向量b满足如下条件，其中a与b的夹角是的有(　　)
A．|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2
B．|a|＝|b|＝1，a2＋a·b＝
C．a＝(，－1)，b＝(2 ，2)
D．a＝(2，2 )，b＝(－3，0)
6．向量a＝(1，2)，b＝(－2，1)，则|2a＋b|＝(　　)
A．2 B.
C．3 D．5
题型3　平面向量共线的坐标表示
7． (多选)已知向量a＝(1，0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈，则|a＋b|的值可以是(　　)
A. B.
C．2 D．2
8．已知a＝(2，1)与b＝(1，2)，要使|a＋tb|最小，则实数t的值为________．
9．在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为(　　)
A. B．2
C．5 D．10
10．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，7)，则下列结论正确的是(　　)
A．a⊥b B．a⊥(a－b)
C．b⊥(a－b) D．a⊥(a＋b)
易错点　转换向量关系失误
11．已知向量a＝(m，－1)，b＝(－2，－m＋1)．若a⊥(a＋b)，则m＝________．
12．已知向量a＝(2cos φ，2sin φ)，φ∈，b＝(0，－1)，则a与b的夹角为(　　)
A.－φ B.＋φ
C．φ－ D．φ
【提升篇】
1．已知向量a＝(－4，3)，b＝(5，12)，则a·b－2|b|等于(　　)
A．52 B．－3
C．－10 D．3
2．(多选)[安徽六安一中2022高一期末]已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则(　　)
A．|a＋b|＝2
B．a与b垂直
C．a与a－b的夹角为
D．|a－b|＝1
3．已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m)，若a与b反向共线，则|a－b|的值为(　　)
A．0 B．48
C．4 D．3
4．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(1，2)，若a在b上的投影向量为c，则c·(a＋b) ＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
5．已知△ABC是边长为a的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)
A．－2a2 B．－a2
C．－a2 D．－a2
.
6．(多选)[浙江杭州2022高一期中]若向量a＝(，3)，b＝(n，)，下列结论正确的有(　　)
A．若a，b同向，则n＝1
B．与a垂直的单位向量一定是
C．若b在a上的投影向量为3e(e是与向量a同向的单位向量)，则n＝3
D．若a与b的夹角为钝角，则n的取值范围是(－3，＋∞)
7．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥CB，∠ABC＝60°，AB＝2，AD＝，E为线段CD的中点，F为线段AB上一动点(包括端点)，且＝λ＋μ，则下列说法错误的是(　　)
A．BC＝
B．若F为线段AB的中点，则λ＋μ＝1
C.·的最小值为
D．μ的最大值比最小值大
8．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝________．
9．已知a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)．若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________．
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)．若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，则＝________.　
11．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD上的点，＝2，＝2.点M在线段EF上，且＝＋，则||＝________；若点N为线段BD上一个动点，则·的取值范围为________．
12．已知e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，a＝2e1＋λe2，b＝e1－e2，且a∥b.
(1)求λ的值；
(2)求向量a与向量c＝e1＋2e2夹角的余弦值．
13．已知点A(2，－1)，B(3，1)，C(1，－2)．
(1)求向量与夹角的余弦值；
(2)若向量⊥(＋t)，求实数t的值．
14．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α的值(其中k为非零实数)．
15．如图，AB是半径为1的圆O的直径，点C为圆周上一点，且∠ABC＝60°，点P为圆周上一动点．
(1)求·的值；
(2)求·的最大值．
答案及解析
【基础篇】
1．【答案】B
【详解】以a，b的公共起点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
则a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，所以2a＋b＝(6，1)，(2a＋b)·c＝1.故选B.
2．【答案】D
【详解】∵a＝(－2，1)，b＝(2，4)，c＝(－4，2)，∴c＝2a，a·b＝－2×2＋1×4＝0，b·c＝2b·a＝0，因此a∥c，a⊥b，b⊥c.故选D.
3．【答案】－8
【详解】由题意，得A(1，7)，B(5，1)．设M，则＝，＝，·＝(1－x)·(5－x)＋＝(x－4)2－8.当x＝4时，·取得最小值－8.
4．【答案】A
【详解】因为a与b垂直，所以a·b＝1×4＋2k＝0，解得k＝－2，则b＝(4，－2)，a＋b＝(5，0)，设a与a＋b夹角为θ，则cos θ＝＝＝.故选A.
5．【答案】ABC
【详解】由a·(b－a)＝2，|a|＝1，得a·b－a2＝2，则a·b＝3，设向量a与向量b的夹角为α，则a·b＝|a||b|·cos α＝3，则cos α＝，由α∈[0，π]，得α＝，故A正确．由a2＋a·b＝，|a|＝1，得a·b＝，设向量a与向量b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ＝，则cos θ＝.由θ∈[0，π]，得θ＝，故B正确．由a＝(，－1)，b＝(2 ，2)，得|a|＝2，|b|＝4，a·b＝4，则cos〈a，b〉＝，那么a与b的夹角为，故C正确．由a＝(2，2 )，b＝(－3，0)，得|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则cos〈a，b〉＝－，那么a与b的夹角为，故D不正确．故选ABC.
6．【答案】D
【详解】由题意知2a＋b＝(0，5)，则|2a＋b|＝5.故选D.
7． 【答案】ABC
【详解】由向量a＝(1，0)，b＝(cos θ，sin θ)，
可得|a|＝1，|b|＝1，a·b＝cos θ，
则|a＋b|＝＝
.
因为θ∈，所以cos θ∈[0，1]，
所以∈[，2]，
即|a＋b|∈[，2]，故选项ABC符合题意．故选ABC.
8．【答案】－
【详解】∵a＋tb＝(2＋t，1＋2t)，
∴|a＋tb|＝＝.
∴当t＝－时，|a＋tb|有最小值.
9．【答案】C
【详解】·＝(1，2)·(－4，2)＝0，故⊥.故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S＝||||＝××2 ＝5.　
10．【答案】D
【详解】因为a＝(2，－1)，b＝(1，7)，
所以a·b＝1×2＋7×(－1)＝－5，故A错误；
a－b＝(2，－1)－(1，7)＝(1，－8)，a＋b＝(2，－1)＋(1，7)＝(3，6)，
所以a·(a－b)＝2×1＋(－1)×(－8)＝10，b·(a－b)＝1×1＋(－8)×7＝－55，故B，C错误；
a·(a＋b)＝2×3＋(－1)×6＝0，故a⊥(a＋b)，故D正确．故选D.
11．【答案】0或1
【详解】由a＝(m，－1)，b＝(－2，－m＋1)，得a＋b＝(m－2，－m)．
因为a⊥(a＋b)，所以a·(a＋b)＝m(m－2)＋(－1)×(－m)＝0，
即m2－m＝0，解得m＝1或m＝0.
故答案为0或1.
12．【答案】A
【详解】设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝－sin φ.
∵φ∈，θ∈[0，π]，∴－sin φ＝cos，∴θ＝－φ.
【提升篇】
1．【答案】C
【详解】由题意得，a·b－2|b|＝－4×5＋3×12－2×＝16－26＝－10.
2．【答案】BC
【详解】将a＋b＝(1，－1)两边平方，得|a|2＋|b|2＋2a·b＝12＋(－1)2＝2，则|a＋b|＝，所以A选项错误；因为a，b是单位向量，所以1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，即a与b垂直，所以B选项正确；由|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，得|a－b|＝，所以D选项错误；设a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝，θ∈[0，π]，所以a与a－b的夹角为，所以C选项正确．故选BC.
3．【答案】C
【详解】由题意得m2＝3，解得m＝±，又a与b反向共线，故m＝－，此时a－b＝(－2 ，6)，故|a－b|＝4 .故选C.
4．【答案】B
【详解】因为a＝(－2，－1)，b＝(1，2)，所以a在b上的投影向量为·＝×(1，2)＝，所以c＝.
因为a＋b＝(－1，1)，所以c·(a＋b)＝－＝－，故选B.
5．【答案】B
【详解】以BC的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A，
B，
C.设P(x，y)，则＝，＝，＝，所以＋＝(－2x，－2y)，
所以·(＋)＝－x·(－2x)＋·(－2y)＝2x2－ay＋2y2＝2x2＋22－a2.所以当x＝0，y＝a时，·(＋)取得最小值－a2.故选B.
6．【答案】AC
【详解】设a＝kb(k＞0)，所以解得
即a＝b，故A正确．
设c＝(x，y)是与a垂直的单位向量，则有x＋3y＝0，x2＋y2＝1，所以c＝或c＝，故B错误．
因为b在a上的投影向量为3e，所以＝3，所以＝3，解得n＝3，故C正确．
因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0且a，b不共线，所以解得即n<－3，所以n∈(－∞，－3)，故D错误．故选AC.
7．【答案】C　
【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，过点C作CG⊥x轴于点G，作CH⊥y轴于点H，过点B作BM⊥CH交HC的延长线于点M，则△CDH～△BCM.
因为AB⊥AD，CD⊥CB，∠ABC＝60°，所以∠CDH＝60°，设HD＝x，则CH＝x，BM＝AH＝＋x，CM＝HM－CH＝AB－CH＝2－x，则＝，即＝，解得x＝或x＝0(舍去)．
则A(0，0)，B(2，0)，D(0，)，C，E，
则BC＝＝＝，A说法正确；
若F为线段AB的中点，则F(1，0)，所以＝，＝(0，－)，＝，
则解得
则λ＋μ＝1，B说法正确；
设F(m，0)，0≤m≤2，则·＝·(－m，)＝m2－m＋＝2＋，故当m＝时，·取得最小值，且最小值为，C选项说法错误；
＝，
则
因为0≤m≤2，所以m－∈，即μ∈，所以μ∈，－＝，所以μ的最大值比最小值大，D说法正确．故选C.
8．【答案】
【详解】设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，a＋b＝(3，－1)．
因为(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，
所以
解得所以c＝.
9．【答案】8
【详解】因为a∥b，所以x＝4，所以b＝(4，－2)，所以a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．因为(a＋b)⊥(b－c)，所以(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，解得y＝－4.
所以向量＝(y－x，x－y)＝(－8，8)，||＝8 .
10．【答案】
【详解】如图，已知A(0，1)，B(－3，4)，设E(0，5)，D(－3，9)，
∴四边形OBDE为菱形，∴∠AOB的平分线是菱形OBDE的对角线OD所在的射线OD.
设C(x1，y1)，∵||＝2，||＝3，
∴＝.
∴＝(x1，y1)＝(－3，9)＝(－，)．
11．【答案】　　
【解析】连接AC，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，以BD，AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图．因为AB＝2，∠BAD＝60°，所以OB＝OD＝1，OC＝OA＝，则A(0，－)，B(1，0)，C(0，)，D(－1，0)．因为＝2，＝2，所以E，F.设M(m，)，m∈，N(n，0)，n∈[－1，1]，
则＝(1，)，＝(－1，)，＝，＝(n，)，＝.
因为＝＋，所以＝(1，)＋(－1，)＝，
所以m＝，||＝＝.
又＝，所以·＝n－1＝2－.
因为－1≤n≤1，所以当n＝时，·有最小值－，当n＝－1时，·有最大值，所以·的取值范围为.
12．【答案】(1)因为e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，a＝2e1＋λe2，b＝e1－e2，
所以a＝(2，0)＋(0，λ)＝(2，λ)，b＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)．
因为a∥b，所以－1×2＝1×λ，所以λ＝－2.
(2)由(1)知a＝(2，－2)，又c＝(1，2)，所以a·c＝1×2＋2×(－2)＝－2，
设a与c的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝－.
13．【答案】(1)因为点A(2，－1)，B(3，1)，C(1，－2)，
所以＝(3，1)－(2，－1)＝(1，2)，＝(1，－2)－(2，－1)＝(－1，－1)．
所以cos〈，〉＝＝－.
(2)由(1)得＋t＝(1，2)＋t(－1，－1)＝(1－t，2－t)，
又因为⊥(＋t)，所以·(＋t)＝1－t＋4－2t＝0，
解得t＝.
14．【答案】(1)【证明】∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，∴|a|＝＝1，同理|b|＝1.
∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝1－1＝0，
∴向量a＋b与a－b垂直．
(2)【解】a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(β－α)．
∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴|ka＋b|2＝|a－kb|2，即k2a2＋2ka·b＋b2＝a2－2ka·b＋k2b2.
即k2＋2ka·b＋1＝1－2ka·b＋k2，整理得a·b＝cos(β－α)＝0.
∵0<β<α<π，则0<α<π，0<β<π，∴－π<β－α<0，∴β－α＝－.
15．【答案】(1)如图，以圆心O为原点，直径AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，C.
所以＝(2，0)，＝，所以·＝(2，0)·＝2×＋0×＝－1.
设P(cos α，sin α)，α∈R，则＝(cos α＋1，sin α)．所以·＝(2，0)·(cos α＋1，sin α)＝2cos α＋2.又－1≤cos α≤1，则当cos α＝1时，·取得最大值，且最大
第 page number 页，共 number of pages 页
第 page number 页，共 number of pages 页