基本立体图形
一、空间几何体、多面体、旋转体的定义
1．空间几何体：如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．
2．多面体、旋转体
类别 多面体 旋转体
定义 由若干个平面多边形围成的几何体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体
图形
相关概念 面：围成多面体的各个多边形； 棱：相邻两个面的公共边； 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线
二、棱柱的结构特征
1．棱柱的结构特征
棱柱 图形及表示
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱 ABCDEF—A′B′C′D′E′F′
相关概念：底面(底)：两个互相平行的面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与底面的公共顶点
分类：按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……
2．几个特殊的棱柱
(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱(如图①③)；
(2)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱(如图②④)；
(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(如图③)；
(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体(如图④)．
三、棱锥的结构特征
棱锥 图形及表示
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥S—ABCD
相关概念：底面(底)：多边形面； 侧面：有公共顶点的各个三角形面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：各侧面的公共顶点
分类：(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫四面体； (2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥
四、棱台的结构特征
棱台
图形及表示
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台
如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′
相关概念：上底面：平行于棱锥底面的截面；
下底面：原棱锥的底面；
侧面：其余各面；
侧棱：相邻侧面的公共边；
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……
截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
五、旋转体的结构特征
1．圆柱的概念及结构特征
圆柱 图形及表示
定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图中圆柱表示为圆柱O′O
相关概念： 圆柱的轴：旋转轴； 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边
2.圆锥的概念及结构特征
圆锥 图形及表示
定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 图中圆锥表示为圆锥SO
相关概念： 圆锥的轴：旋转轴； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边
3．圆台的概念及结构特征
圆台 图形及表示
定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 图中圆台表示为圆台O′O
相关概念： 圆台的轴：旋转轴； 圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面； 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
4.球的概念及结构特征
球 图形及表示
定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球表示为球O
相关概念： 球心：半圆的圆心； 半径：连接球心和球面上任意一点的线段； 直径：连接球面上两点并经过球心的线段
六、简单组合体的结构特征
现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体，简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几
七、旋转体的有关计算
(1)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解．
(2)利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键．
跟踪训练3 如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．
考点一 多面体
【例1】(多选)(2020·全国专题练习)下列说法正确的是( )
A．如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等
B．五棱锥只有五条棱
C．一个棱柱至少有五个面
D．棱台的各侧棱延长后交于一点
【答案】CD
【解析】四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等，A错误；
五棱锥除了五条侧棱外，底面上还有五条棱，故共条棱，B错误；
一个棱柱最少有三个侧面，两个底面，故至少有五个面，C正确；
棱台是由平行于棱锥底面的截面截得，故棱台的各侧棱延长后交于一点，D正确.故选：CD.
【练1】(2020·全国高三专题练习)一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是( )
A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥
【答案】D
【解析】因为正六变形的中心到底面顶点的距离等于边长，所以正六棱锥的侧棱必大于底面棱长，故选：D.
考点二 旋转体
【例2】(2020·全国课时练习)下列说法正确的是( )
A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
【答案】C
【解析】以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以斜边为轴旋转一周所得的旋转体是是两个同底圆锥的组合体，A错；
以直角梯形的直角腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，B错；
圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，正确；
平行于圆锥底面平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，如果截面不平行于底面，则截得的不是圆锥和圆台，D错.
故选：C.
【练2】(2020·浙江)以下空间几何体是旋转体的是( )
A．圆台 B．棱台 C．正方体 D．三棱锥
【答案】A
【解析】由封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体可知，只有A项满足题意故选：A
考点三 组合体
【例3】(2020·浙江省东阳中学)如图所示的组合体，其结构特征是( )
A．由两个圆锥组合成的
B．由两个圆柱组合成的
C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的
D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
【答案】D
【解析】由图知：该组合体是由一个圆锥和一个圆柱组合成的，故选：D
【练3】(2020·全国高一课时练习)如图，说出图中两个几何体的结构特征.
【答案】(1)由圆锥和圆台组合而成的简单组合体.(2)由四梭柱和四棱锥组合而成的简单组合体.
【解析】几何体(1)是圆台上拼接了一个与圆台上底同底的圆锥；
几何体(2)是长方体上拼接了一个同底的四棱锥；
考点四 截面问题
【例4】(多选)(2021·凯里市第三中学)用一个平面截一个正方体，截面图形可以是( )
A．三角形 B．等腰梯形
C．五边形 D．正六边形
【答案】ABCD
【解析】
如图所示：
三角形 等腰梯形 五边形 正六边形
故用一个平面去截一个正方体，截面可能是三角形、等腰梯形、五边形、正六边形，
故选：ABCD.
【练4】(2021·江苏高一课时练习)如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．组合体
【答案】B
【解析】根据棱锥的结构特征可判断，余下部分是四棱锥A′－BCC′B′．故选：B.
课后练习
（2021高一下·铜仁期末）下列命题正确的是（ ）
A.棱柱的底面一定是平行四边形
B.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
C.棱锥的底面一定是三角形
D.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
【答案】 D
【考点】棱柱的结构特征，棱锥的结构特征
【解析】解：对于A选项，三棱柱的底面是三角形，A选项错误；
对于B选项，过棱锥顶点与底面内的线构成的截面将棱锥分为两个棱锥，B选项错误；
对于C选项，棱锥有三棱锥、四棱锥等，故底面不一定为三角形，C选项错误；
对于D选项，当该截面为平行于上下底面的截面时，分成的两部分依然为棱柱，D选项正确.
故答案为：D
【分析】 棱柱的底面是平面多边形,即可判断A；棱锥被过顶点的平面分成的两部分有可能都是棱锥,即可判断B；棱锥的底面是平面多边形，不一定是三角形，即可判断C；棱柱被平行于底面的平面所截分成的两部分可以都是棱柱，即可判断D.
（2021高一下·天津期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】解：圆锥底面半径为1，母线长为2，
则圆锥的侧面积为 。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合圆锥的侧面积的公式，从而求出圆锥的侧面积。
（2021·榆林模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝4，AB⊥AC，M为BB1的中点，点N在棱CC1上，CN＝3NC1 ， 则异面直线A1N与CM所成角的正切值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】 D
【考点】棱锥的结构特征，异面直线及其所成的角
【解析】解：在棱AA1上取一点D，使得AD＝1，连结CD，DM，
则CD＝DM＝ ， ，CD∥A1N，所以∠DCM即为A1N与CM所成的角，
取CM的中点E，连结DE，所以 ，
故 ，所以异面直线A1N与CM所成角的正切值为 ．
故答案为：D．
【分析】由直三棱锥的几何性质，即可得出线线平行，然后由题意即可得出∠DCM即为A1N与CM所成的角，然后由三角形中的几何计算关系代入数值计算出结果即可。
（2021高一下·西城期末）某圆锥的母线长为 ，底面半径长为 ，则该圆锥的体积为
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】由题意得圆锥的高为 ，
所以圆锥的体积为 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合圆锥的体积公式，从而求出圆锥的体积。
（2021·安阳模拟）如图，点 在以 为直径的圆 上， ，若以直线 为轴旋转一周，左半圆旋转所形成的几何体的体积为 ， 旋转所形成的几何体的体积为 ，则 .
【答案】 250π
【考点】组合几何体的面积、体积问题，旋转体（圆柱、圆锥、圆台），球的体积和表面积
【解析】左半圆旋转一周为球体，
因为 ， 为直径，所以 ，
所以 ，即半径 ，
所以 ，
以直线 为轴旋转所形成的几何体是两个接在一起的圆锥，
高 ， ，
所以 ，
所以 .
故答案为：250π.
【分析】左半圆旋转一周为球体， 以直线 为轴旋转所形成的几何体是两个接在一起的圆锥，由球体体积公式和圆锥体积公式计算可得结果。
（2021·青海模拟）已知圆锥的侧面积为2π，高为 ，则圆锥的体积为
【答案】 π
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】设圆锥的底面半径为R，母线长为l，有 ，解得 ，则圆锥的体积为 。
【分析】利用已知条件结合圆锥侧面积公式和勾股定理，从而求出圆锥的底面半径和母线长，再利用圆锥的体积公式，从而求出圆锥的体积。
（2020高一上·河南月考）某圆柱的侧面展开图是一个长、宽分别为 和 的矩形，则该圆柱其中一个底面的面积为 ．
【答案】 或
【考点】棱柱的结构特征
【解析】设底面半径为 ，
当底面圆周长为4时， ，解得 ，
所以底面圆的面积为 ；
当底面圆周长为3时， ，解得 ，
所以底面圆的面积为 ；
所以底面圆的面积为 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】 讨论底面圆周长为4和3时，分别求出底面圆的半径和面积.
（2021高一下·安达期末）已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为 .
【答案】
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】由题意得 ，圆锥的体积为
故答案为：
【分析】根据圆锥的结构特征，结合圆锥的侧面积与体积公式求解即可.
（2021高一下·常州期末）如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 的点， 垂直于圆 所在的平面，且 ．
（1）若 为线段 的中点，求证：平面 平面 ；
（2）若 ，点 是线段 上的动点，求 的最小值．
【答案】 （1）解：在 中，因为 ， 为 的中点，
所以 ．
又 垂直于圆 所在的平面，因为 圆 所在的平面，所以 ．
因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）在 中， ， ，所以 ．
同理 ，所以 ．
在三棱锥 中，将侧面 绕 旋转至平面 ，使之与平面 共面，
如图所示．当 ， ， 共线时， 取得最小值．
又因为 ， ，所以 垂直平分 ，即 为 中点．
从而 ，
亦即 的最小值为 ．
【考点】棱锥的结构特征，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定
【解析】 (1)根据题意由中点的性质得出线线垂直，再由圆的几何性质即可得出线线垂直，然后由线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)由三角形的几何计算关系结合勾股定理计算出边的大小，然后由三棱锥的几何性质结合已知条件即可得出当 ， ， 共线时， 取得最小值，再由已知条件即可得出 即 为 中点，结合中点的性质即可计算出结果即可。
（2021高一下·通化期中）如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为 的圆柱，
（1）求圆锥的体积；
（2）求圆柱的表面积.
【答案】 （1）解：由已知得圆锥的高
圆锥底面积
圆锥的体积
（2）解：由（1）知，圆柱的高与圆锥的高的比为1:2
则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径之比为1:2
所以圆柱的底面半径为1
则圆柱的表面积等于
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】（1）由圆锥的体积公式直接求解即可；
（2）由圆柱的表面积公式公式直接求解即可.
（2020高二上·池州期末）已知圆台上、下底面的底面积分别为 ， ，且母线长为13．
（1）求圆台的高；
（2）求圆台的侧面积．
【答案】（1）解：依题意，圆台的上底面半径 ，下底面半径 ，故圆台的高
（2）解：圆台的侧面积
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】（1）利用已知条件结合圆的面积公式，进而求出圆台的上底面半径和下底面半径，再利用勾股定理求出圆台的高。
（2）再根据（1）求出的圆台的高和已知条件，再结合圆台的侧面积公式，进而求出圆台的侧面积。
（2020高一上·河南月考）如图，正方体 的棱长为 分别是 的中点．
（1）求证： 四点共面；
（2）已知 在棱 上，求四面体 的体积．
【答案】（1）证明：连接 ， 且 ，
四边形 是平行四边形， ，
又 分别为 中点， ，
四点共面．
（2）解：由题意，得 的面积 ，
又 平面 ，且 ，
四面体 的体积 ．
【考点】棱柱的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】(1) 连接 ，推导出 四边形 是平行四边形 ，从而A1D// B1C,由中位线定理得ME/// B1C,从而ME // A1D,由此能证明A1,D, M, E四点共面；
(2)求出△BMN的面积，推导出 平面 ,且 ,由此能求出四面体 的体积。基本立体图形
一、空间几何体、多面体、旋转体的定义
1．空间几何体：如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．
2．多面体、旋转体
类别 多面体 旋转体
定义 由若干个平面多边形围成的几何体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体
图形
相关概念 面：围成多面体的各个多边形； 棱：相邻两个面的公共边； 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线
二、棱柱的结构特征
1．棱柱的结构特征
棱柱 图形及表示
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱 ABCDEF—A′B′C′D′E′F′
相关概念：底面(底)：两个互相平行的面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与底面的公共顶点
分类：按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……
2．几个特殊的棱柱
(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱(如图①③)；
(2)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱(如图②④)；
(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(如图③)；
(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体(如图④)．
三、棱锥的结构特征
棱锥 图形及表示
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥S—ABCD
相关概念：底面(底)：多边形面； 侧面：有公共顶点的各个三角形面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：各侧面的公共顶点
分类：(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫四面体； (2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥
四、棱台的结构特征
棱台
图形及表示
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台
如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′
相关概念：上底面：平行于棱锥底面的截面；
下底面：原棱锥的底面；
侧面：其余各面；
侧棱：相邻侧面的公共边；
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……
截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
五、旋转体的结构特征
1．圆柱的概念及结构特征
圆柱 图形及表示
定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图中圆柱表示为圆柱O′O
相关概念： 圆柱的轴：旋转轴； 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边
2.圆锥的概念及结构特征
圆锥 图形及表示
定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 图中圆锥表示为圆锥SO
相关概念： 圆锥的轴：旋转轴； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边
3．圆台的概念及结构特征
圆台 图形及表示
定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 图中圆台表示为圆台O′O
相关概念： 圆台的轴：旋转轴； 圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面； 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
4.球的概念及结构特征
球 图形及表示
定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球表示为球O
相关概念： 球心：半圆的圆心； 半径：连接球心和球面上任意一点的线段； 直径：连接球面上两点并经过球心的线段
六、简单组合体的结构特征
现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体，简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几
七、旋转体的有关计算
(1)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解．
(2)利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键．
跟踪训练3 如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．
考点一 多面体
【例1】(多选)(2020·全国专题练习)下列说法正确的是( )
A．如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等
B．五棱锥只有五条棱
C．一个棱柱至少有五个面
D．棱台的各侧棱延长后交于一点
【练1】(2020·全国高三专题练习)一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是( )
A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥
考点二 旋转体
【例2】(2020·全国课时练习)下列说法正确的是( )
A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
【练2】(2020·浙江)以下空间几何体是旋转体的是( )
A．圆台 B．棱台 C．正方体 D．三棱锥
考点三 组合体
【例3】(2020·浙江省东阳中学)如图所示的组合体，其结构特征是( )
A．由两个圆锥组合成的
B．由两个圆柱组合成的
C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的
D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
【练3】(2020·全国高一课时练习)如图，说出图中两个几何体的结构特征.
考点四 截面问题
【例4】(多选)(2021·凯里市第三中学)用一个平面截一个正方体，截面图形可以是( )
A．三角形 B．等腰梯形
C．五边形 D．正六边形
【练4】(2021·江苏高一课时练习)如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．组合体
课后练习
（2021高一下·铜仁期末）下列命题正确的是（ ）
A.棱柱的底面一定是平行四边形
B.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
C.棱锥的底面一定是三角形
D.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
（2021高一下·天津期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
（2021·榆林模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝4，AB⊥AC，M为BB1的中点，点N在棱CC1上，CN＝3NC1 ， 则异面直线A1N与CM所成角的正切值为（ ）
A. B.
C. D.
（2021高一下·西城期末）某圆锥的母线长为 ，底面半径长为 ，则该圆锥的体积为
A.
B.
C.
D.
（2021·安阳模拟）如图，点 在以 为直径的圆 上， ，若以直线 为轴旋转一周，左半圆旋转所形成的几何体的体积为 ， 旋转所形成的几何体的体积为 ，则 .
（2021·青海模拟）已知圆锥的侧面积为2π，高为 ，则圆锥的体积为
（2020高一上·河南月考）某圆柱的侧面展开图是一个长、宽分别为 和 的矩形，则该圆柱其中一个底面的面积为 ．
（2021高一下·安达期末）已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为 .
（2021高一下·常州期末）如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 的点， 垂直于圆 所在的平面，且 ．
（1）若 为线段 的中点，求证：平面 平面 ；
（2）若 ，点 是线段 上的动点，求 的最小值．
（2021高一下·通化期中）如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为 的圆柱，
（1）求圆锥的体积；
（2）求圆柱的表面积.
（2020高二上·池州期末）已知圆台上、下底面的底面积分别为 ， ，且母线长为13．
（1）求圆台的高；
（2）求圆台的侧面积．
（2020高一上·河南月考）如图，正方体 的棱长为 分别是 的中点．
（1）求证： 四点共面；
（2）已知 在棱 上，求四面体 的体积．
精讲答案
【例1】
【答案】CD
【解析】四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等，A错误；
五棱锥除了五条侧棱外，底面上还有五条棱，故共条棱，B错误；
一个棱柱最少有三个侧面，两个底面，故至少有五个面，C正确；
棱台是由平行于棱锥底面的截面截得，故棱台的各侧棱延长后交于一点，D正确.故选：CD.
【练1】
【答案】D
【解析】因为正六变形的中心到底面顶点的距离等于边长，所以正六棱锥的侧棱必大于底面棱长，故选：D.
【例2】
【答案】C
【解析】以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以斜边为轴旋转一周所得的旋转体是是两个同底圆锥的组合体，A错；
以直角梯形的直角腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，B错；
圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，正确；
平行于圆锥底面平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，如果截面不平行于底面，则截得的不是圆锥和圆台，D错.
故选：C.
【练2】
【答案】A
【解析】由封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体可知，只有A项满足题意故选：A
【例3】
【答案】D
【解析】由图知：该组合体是由一个圆锥和一个圆柱组合成的，故选：D
练3】
【答案】(1)由圆锥和圆台组合而成的简单组合体.(2)由四梭柱和四棱锥组合而成的简单组合体.
【解析】几何体(1)是圆台上拼接了一个与圆台上底同底的圆锥；
几何体(2)是长方体上拼接了一个同底的四棱锥；
【例4】
【答案】ABCD
【解析】
如图所示：
三角形 等腰梯形 五边形 正六边形
故用一个平面去截一个正方体，截面可能是三角形、等腰梯形、五边形、正六边形，
故选：ABCD.
【练4】
【答案】B
【解析】根据棱锥的结构特征可判断，余下部分是四棱锥A′－BCC′B′．故选：B.
练习答案
【答案】 D
【考点】棱柱的结构特征，棱锥的结构特征
【解析】解：对于A选项，三棱柱的底面是三角形，A选项错误；
对于B选项，过棱锥顶点与底面内的线构成的截面将棱锥分为两个棱锥，B选项错误；
对于C选项，棱锥有三棱锥、四棱锥等，故底面不一定为三角形，C选项错误；
对于D选项，当该截面为平行于上下底面的截面时，分成的两部分依然为棱柱，D选项正确.
故答案为：D
【分析】 棱柱的底面是平面多边形,即可判断A；棱锥被过顶点的平面分成的两部分有可能都是棱锥,即可判断B；棱锥的底面是平面多边形，不一定是三角形，即可判断C；棱柱被平行于底面的平面所截分成的两部分可以都是棱柱，即可判断D.
【答案】 C
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】解：圆锥底面半径为1，母线长为2，
则圆锥的侧面积为 。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合圆锥的侧面积的公式，从而求出圆锥的侧面积。
【答案】 D
【考点】棱锥的结构特征，异面直线及其所成的角
【解析】解：在棱AA1上取一点D，使得AD＝1，连结CD，DM，
则CD＝DM＝ ， ，CD∥A1N，所以∠DCM即为A1N与CM所成的角，
取CM的中点E，连结DE，所以 ，
故 ，所以异面直线A1N与CM所成角的正切值为 ．
故答案为：D．
【分析】由直三棱锥的几何性质，即可得出线线平行，然后由题意即可得出∠DCM即为A1N与CM所成的角，然后由三角形中的几何计算关系代入数值计算出结果即可。
【答案】 A
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】由题意得圆锥的高为 ，
所以圆锥的体积为 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合圆锥的体积公式，从而求出圆锥的体积。
【答案】 250π
【考点】组合几何体的面积、体积问题，旋转体（圆柱、圆锥、圆台），球的体积和表面积
【解析】左半圆旋转一周为球体，
因为 ， 为直径，所以 ，
所以 ，即半径 ，
所以 ，
以直线 为轴旋转所形成的几何体是两个接在一起的圆锥，
高 ， ，
所以 ，
所以 .
故答案为：250π.
【分析】左半圆旋转一周为球体， 以直线 为轴旋转所形成的几何体是两个接在一起的圆锥，由球体体积公式和圆锥体积公式计算可得结果。
【答案】 π
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】设圆锥的底面半径为R，母线长为l，有 ，解得 ，则圆锥的体积为 。
【分析】利用已知条件结合圆锥侧面积公式和勾股定理，从而求出圆锥的底面半径和母线长，再利用圆锥的体积公式，从而求出圆锥的体积。
【答案】 或
【考点】棱柱的结构特征
【解析】设底面半径为 ，
当底面圆周长为4时， ，解得 ，
所以底面圆的面积为 ；
当底面圆周长为3时， ，解得 ，
所以底面圆的面积为 ；
所以底面圆的面积为 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】 讨论底面圆周长为4和3时，分别求出底面圆的半径和面积.
【答案】
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】由题意得 ，圆锥的体积为
故答案为：
【分析】根据圆锥的结构特征，结合圆锥的侧面积与体积公式求解即可.
【答案】 （1）解：在 中，因为 ， 为 的中点，
所以 ．
又 垂直于圆 所在的平面，因为 圆 所在的平面，所以 ．
因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）在 中， ， ，所以 ．
同理 ，所以 ．
在三棱锥 中，将侧面 绕 旋转至平面 ，使之与平面 共面，
如图所示．当 ， ， 共线时， 取得最小值．
又因为 ， ，所以 垂直平分 ，即 为 中点．
从而 ，
亦即 的最小值为 ．
【考点】棱锥的结构特征，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定
【解析】 (1)根据题意由中点的性质得出线线垂直，再由圆的几何性质即可得出线线垂直，然后由线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)由三角形的几何计算关系结合勾股定理计算出边的大小，然后由三棱锥的几何性质结合已知条件即可得出当 ， ， 共线时， 取得最小值，再由已知条件即可得出 即 为 中点，结合中点的性质即可计算出结果即可。
【答案】 （1）解：由已知得圆锥的高
圆锥底面积
圆锥的体积
（2）解：由（1）知，圆柱的高与圆锥的高的比为1:2
则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径之比为1:2
所以圆柱的底面半径为1
则圆柱的表面积等于
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】（1）由圆锥的体积公式直接求解即可；
（2）由圆柱的表面积公式公式直接求解即可.
【答案】（1）解：依题意，圆台的上底面半径 ，下底面半径 ，故圆台的高
（2）解：圆台的侧面积
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】（1）利用已知条件结合圆的面积公式，进而求出圆台的上底面半径和下底面半径，再利用勾股定理求出圆台的高。
（2）再根据（1）求出的圆台的高和已知条件，再结合圆台的侧面积公式，进而求出圆台的侧面积。
【答案】（1）证明：连接 ， 且 ，
四边形 是平行四边形， ，
又 分别为 中点， ，
四点共面．
（2）解：由题意，得 的面积 ，
又 平面 ，且 ，
四面体 的体积 ．
【考点】棱柱的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】(1) 连接 ，推导出 四边形 是平行四边形 ，从而A1D// B1C,由中位线定理得ME/// B1C,从而ME // A1D,由此能证明A1,D, M, E四点共面；
(2)求出△BMN的面积，推导出 平面 ,且 ,由此能求出四面体 的体积。
