6.4.3 余弦定理 题型练习 2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

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6.4.3 余弦定理（1）
题型1　余弦定理的理解
1．下列说法中错误的是(　　)
A．在三角形中，已知两边及其中一边的对角，不能用余弦定理解三角形
B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形
C．利用余弦定理可以解决已知三角形三边求角的问题
D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，b＝3，c＝，则C＝(　　)
A. B. C. D.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos A＝，则B＝(　　)
A. B. C. D.
题型2　已知两边及一角解三角形
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3 ，c＝2，A＋C＝，则b＝(　　)
A. B．6 C．7 D．8
5．在△ABC中，sin ＝，BC＝2, AC＝5，则AB＝(　　)
A．4 B.
C. D.
6．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________．
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若ac＝8，a＋c＝7，B＝，则b＝________.
题型3　已知三边或三边关系解三角形
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若＝－1，则A＝(　　)
A．120° B．45° C．60° D．30°
9．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是(　　)
A．75° B．90° C．135° D．120°
10．△ABC的三边上的高分别为h1，h2，h3.若h1∶h2∶h3＝∶∶，则最大角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a2－b2＝bc，c＝2b，则A＝________.
题型4　利用余弦定理判断三角形的形状
12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是 (　　)
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2a－b＝2ccos B，cos A＋cos B＝1，则△ABC一定是(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．无法确定
答案及解析
1．【答案】A
【详解】已知两边及其中一边的对角，可用余弦定理先解得另一边，从而解三角形．
2．【答案】C
【详解】∵a＝2，b＝3，c＝，∴由余弦定理可得cos C＝＝＝.∵C∈(0，π)，∴C＝.故选C.
3．【答案】C
【详解】由题意cos A＝＝，化简得a2＋c2＝b2，所以B＝，故选C.
4．【答案】A
【详解】∵A＋C＝，
∴B＝π－(A＋C)＝.
∵a＝3 ，c＝2，
∴由余弦定理得b＝＝＝.故选A.
5．【答案】B
【详解】由已知及二倍角公式可得cos C＝1－2sin 2＝－，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则有a＝2，b＝5，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋52－20×＝41，则c＝，故选B.
【栏目：规律方法】已知两边及一角解三角形的问题，由于余弦定理是三边一角之间的一个等量关系，所以利用余弦定理先求第三边，接着再用余弦定理求一个角，最后一个角根据内角和为π即可求解．
6．【答案】3
【详解】由余弦定理得49＝AC2＋25－2×5×AC×cos 120°，整理得AC2＋5AC－24＝0，解得AC＝3或AC＝－8(舍去)．
7．【答案】5
【详解】由题知ac＝8，a＋c＝7，B＝，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝72－3×8＝25，则b＝5.
8．【答案】A
【详解】因为＝－1，所以a2－(b＋c)2＝－bc，即a2－b2－c2－2bc＝－bc，所以a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得cos A＝＝－.因为0°9．【答案】D
【详解】边长为7的边所对的角α满足cos α＝＝，∵0°<α<180°，∴α＝60°.∴边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是180°－60°＝120°.故选D.
10．【答案】C
【详解】△ABC的三边上的高满足h1∶h2∶h3＝∶∶，故可得对应的边长之比为6∶5∶4，可设△ABC的三边分别为6m，5m，4m(m>0)，则6m所对的角最大，故由余弦定理可得最大角的余弦值为＝.故选C.
11．【答案】30°
【详解】将c＝2b，代入a2－b2＝bc，得a2－b2＝6b2，即a2＝7b2.
由余弦定理得cos A＝＝＝＝.又∵0°12．【答案】D
【详解】由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2accos B，而B＝60°，b2＝ac，所以ac＝a2＋c2－2ac·，即(a－c)2＝0，所以a＝c.又B＝60°，所以△ABC一定是等边三角形．故选D.
13．【答案】A　
【解析】由 2a－b＝2ccos B及余弦定理，可得2a－b＝2c·，所以a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝，又C∈(0，π)，所以C＝.所以A＋B＝.因为cos A＋cos B＝1，所以cos A＋cos＝cos A＋cos cos A＋sin sin A＝cos A－cos A＋sin A＝1，即cos A＋sin A＝1，所以sin＝1.因为A∈(0，π)，所以＋A＝，A＝，从而B＝π－A－C＝.所以△ABC为等边三角形，故选A.
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