3.3幂函数专项练习
一、单选题
1．下列函数是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“幂函数在上单调递减”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．既不充分也不必要 D．充要
3．下列函数中，在上为单调递减的偶函数是（ ）
A． B． C． D．
4．已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列关于幂函数的命题中正确的有（ ）
A．幂函数图象都通过点
B．当幂指数时，幂函数的图象都经过第一、三象限
C．当幂指数时，幂函数是增函数
D．若，则函数图象不通过点
7．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．已知幂函数，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的定义域是
C．是偶函数
D．不等式的解集是
9．（多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．图象关于点成中心对称
C．函数的单调递减区间是
D．幂函数在上为减函数，则的值为1
11．幂函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．函数是偶函数
C． D．函数的值域为
三、填空题
12．若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是__________．
13．设幂函数同时具有以下两个性质：①函数在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数___________.
14．不等式的解为______.
15．已知，则的定义域为____________.
四、解答题
16．已知幂函数的图象经过点.
(1)求该函数的表达式；
(2)证明该幂函数的图象关于原点成中心对称；
(3)证明该幂函数在区间上是严格增函数.
17．已知是幂函数，且在上单调递增，
(1)求m的值
(2)求函数在区间上的值域
18．已知幂函数的图象经过点，函数为奇函数.
(1)求幂函数的解析式及实数的值；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用的数单调性定义证明.
19．已知幂函数，在上单调递增，
(1)求；
(2)当满足时，求实数的范围.
20．已知幂函数．
(1)若的定义域为R，求的解析式；
(2)若为奇函数，，使成立，求实数k的取值范围．3.3幂函数专项练习解析版
一、单选题
1．下列函数是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义即可求解.
【详解】根据幂函数的定义：形如，而，符合幂函数的定义,正确.
ABD在形式上都不符合幂函数定义，错误.故选：C
2．“”是“幂函数在上单调递减”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．既不充分也不必要 D．充要
【答案】D
【分析】由题知，解得，再根据充要条件的概念判断即可.
【详解】解：因为幂函数在上单调递减，
所以，解得，
所以“”是“幂函数在上单调递减”的充要条件.故选：D
3．下列函数中，在上为单调递减的偶函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂函数以及复合函数的单调性可判断函数在上的单调性，若单调递减，则代入得到解析式，判断可得到奇偶性，即可得到答案.
【详解】对于A项，设，因为函数幂指数，所以在上为单调递减；
定义域为关于原点对称，又，所以是偶函数，故A项正确；
对于B项，因为函数幂指数，所以在上为单调递增，故B项错误；
对于C项，因为函数幂指数，所以在上为单调递增，故C项错误；
对于D项，设，因为函数幂指数，所以在上为单调递增，所以函数在上为单调递减；
定义域为R关于原点对称，又，所以是奇函数，故D项错误；故选：A.
4．已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用幂函数的概念求得，再利用幂函数的定义域与单调性即可解得不等式.
【详解】因为为幂函数，所以，则，
故的定义域为，且在定义域上为增函数，
所以由，可得，解得，
故a的取值范围为.故选：B.
5．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出函数的解析式，根据函数的定义域和单调性得解.
【详解】设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点，
所以，即，解得，即函数，也即，
则函数的定义域为，所以排除选项CD；
又，函数单调递减，故排除B，故选：A.
6．下列关于幂函数的命题中正确的有（ ）
A．幂函数图象都通过点
B．当幂指数时，幂函数的图象都经过第一、三象限
C．当幂指数时，幂函数是增函数
D．若，则函数图象不通过点
【答案】B
【分析】根据幂函数的性质，结合取值的情况，一一判断各选项的正误，可得答案.
【详解】对于A，当时，幂函数图象不通过点，A错误；
对于B，幂指数时，幂函数分别为 ，三者皆为奇函数，
图象都经过第一、三象限，故B正确；
对于C，当时，幂函数在上皆单调递减，C错误；
对于D，若，则函数图象不通过点，通过点，D错误，故选：B
7．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过观察三个数的特征可知，很难化成同底形式，所以可通过构造幂函数，利用其单调性即可比较得出结果.
【详解】由题意可知，，
，
因为在上是增函数，，所以.故选：D.
二、多选题
8．已知幂函数，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的定义域是
C．是偶函数
D．不等式的解集是
【答案】ACD
【分析】首先求函数的解析式，再根据幂函数的性质，判断定义域，奇偶性，以及解不等式.
【详解】因为函数是幂函数，所以，得，即，
，故A正确；函数的定义域是，故B不正确；
，所以函数是偶函数，故C正确；
函数在是减函数，不等式等价于，解得：，且，得，且，即不等式的解集是，故D正确.故选：ACD
9．若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】先通过分析，得到若在上单调递增，则函数为“理想函数”，然后依次判断四个选项能否满足题意.
【详解】不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”．
A选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
B选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
C选项中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义；
D选项中．该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义．故选：ABD．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．图象关于点成中心对称
C．函数的单调递减区间是
D．幂函数在上为减函数，则的值为1
【答案】BD
【分析】计算抽象函数定义域得到A错误；根据平移法则得到B正确；计算单调区间得到C错误；根据幂函数的定义结合单调性计算得到D正确 ，得到答案.
【详解】对选项A：函数的定义域为，则函数的定义域为满足，解得，故定义域为，错误；
对选项B：，函数可以由奇函数，向左平移2个单位，向上平移1个单位得到，故图象关于点成中心对称，正确；
对选项C：函数的单调递减区间是和，错误；
对选项D：幂函数，则，解得或，当时，在上为增函数，排除；当，，满足条件，故，正确.故选：BD
11．幂函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．函数是偶函数
C． D．函数的值域为
【答案】ABD
【分析】根据幂函数定义可知，即可解得的值，结合是正整数即可对选项做出判断.
【详解】由幂函数定义可知，系数，解得或，
又因为，所以；故A正确；
时，，其定义域为，且满足，所以函数是偶函数，即B正确；
由可知，函数在为单调递减，所以，所以C错误；
函数的值域为，即D正确；故选：ABD.
三、填空题
12．若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．
【详解】设幂函数，其图像过点，则，解得；
∴，函数定义域为，在上单调递增，
不等式等价于，解得；
则实数的取值范围是.故答案为：
13．设幂函数同时具有以下两个性质：①函数在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数___________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用幂函数的图像、单调性得到指数满足的条件，写出一个满足题意的幂函数即可.
【详解】由题意可得，幂函数需满足在第二象限内有图象且在上是单调递减即可，所以，故满足上述条件的可以为.故答案为：（答案不唯一）.
14．不等式的解为______.
【答案】
【分析】根据幂函数的性质确定幂函数的奇偶性与单调性即可解不等式.
【详解】解：幂函数的定义域为，且函数在上单调递增，
又，则为偶函数，所以在上单调递减，
则由不等式可得，平方后整理得，
即，解得，则不等式的解集为.故答案为：.
15．已知，则的定义域为____________.
【答案】
【分析】根据根式，分式与幂函数的定义域求解即可.
【详解】要使函数有意义，则需，解得且，所以其定义域为.
故答案为：.
四、解答题
16．已知幂函数的图象经过点.
(1)求该函数的表达式；
(2)证明该幂函数的图象关于原点成中心对称；
(3)证明该幂函数在区间上是严格增函数.
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析
【分析】（1）把点的坐标代入函数的解析式即得解；
（2）利用函数的奇偶性定义证明；
（3）利用函数单调性的定义证明.
【详解】（1）解：由题得.
所以函数的表达式为.
（2）证明：设，
所以函数是奇函数，所以该幂函数的图象关于原点成中心对称.
（3）证明：设
所以，
因为所以，
所以，所以该幂函数在区间上是严格增函数.
17．已知是幂函数，且在上单调递增，
(1)求m的值
(2)求函数在区间上的值域
【答案】(1)3；(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义及幂函数的单调性求出m即可；
（2）利用二次函数的单调性求函数的最值即可得出值域.
【解析】(1)由题意知，则
当时，在上单调递减，不符合题意，舍去
当时，在上单调递增，符合题意
综上可知，；
(2)
则
当时，；当时，
综上可知，的值域为.
18．已知幂函数的图象经过点，函数为奇函数.
(1)求幂函数的解析式及实数的值；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用的数单调性定义证明.
【答案】(1)；；(2)在上单调递增，证明见解析
【分析】（1）首先代点，求函数的解析式，利用奇函数的性质，求，再验证；
（2）函数单调性的定义，设，作差，判断符号，即可判断函数的单调性.
【详解】（1）由条件可知，所以，即，所以，
因为是奇函数，所以，即，
满足是奇函数，所以成立；
（2）函数在区间上单调递增，证明如下，
由（1）可知，
在区间上任意取值，且，
，
因为，所以，，
所以，
即，所以函数在区间上单调递增.
19．已知幂函数，在上单调递增，
(1)求；
(2)当满足时，求实数的范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用幂函数的定义及性质即可求解；
（2）根据（1）的结论及幂函数的性质，结合函数的单调性即可求解.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，即，解得或.
又因为在上单调递增，所以.
（2）由（1）知，，所以的解析式为，
由幂函数的性质知，在上单调递增，且，
所以，解得. 所以实数的范围为.
20．已知幂函数．
(1)若的定义域为R，求的解析式；
(2)若为奇函数，，使成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由题意可知，求解的值，并验证定义域即可求解；
（2）由（1）可知，，使成立，即，使成立，令，则，判断函数的单调性并求最值即可求解
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，解得或，
当时，，定义域为，符合题意；
当时，，定义域为，不符合题意；所以；
（2）由（1）可知为奇函数时，，
，使成立，即，使成立，
所以，使成立，
令，则，
且，则
，
因为，
所以，
所以，即，
所以在上是减函数，
所以，
所以，解得，所以实数k的取值范围是
