2.2基本不等式专项练习解析版
一、单选题
1．若正实数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】由基本不等式，且为正实数可得，代入即可得解.
【详解】由为正实数，所以：
，
当且仅当，即时取等号，故选：B
2．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意当时，不等式恒成立，由于的最小值等于3，可得，从而求得答案．
【详解】当时，不等式恒成立，
对均成立．
由于，
当且仅当时取等号，
故的最小值等于3，
，则实数a的取值范围是．故选：D．
3．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（ ）
A．36 B．4 C．16 D．9
【答案】D
【分析】根据题意得到，进而通过基本不等式求得答案.
【详解】由题意，，，所以，当且仅当时取“=”.故选：D.
4．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【详解】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．
5．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】D
【分析】根据均值不等式得到，计算得到答案.
【详解】因为，所以.
又.所以，当且仅当时，等号成立.故选：D
6．若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】A
【分析】由已知得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，即可得出实数的最大值.
【详解】已知正数、满足，可得，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为，
.
因此，实数的最大值为.故选：A.
7．已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．9 B．25 C．16 D．12
【答案】B
【分析】根据题目所给条件可知，实数均满足是正数，再利用基本不等式“1”的妙用即可求出实数的最大值.
【详解】由得，
又因为，所以实数均是正数，
若不等式恒成立，即；
，
当且仅当时，等号成立；
所以，，即实数的最大值为25. 故选：B.
8．若 ， 则 的最小值为（ ）
A．16 B．8 C．20 D．12
【答案】A
【分析】利用基本不等式,应用常值代换法求解即可.
【详解】由题意得 ，
当且仅当 ， 即 时等号成立,故 的最小值为 16 ．故选:.
二、多选题
9．已知x，y都为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据基本不等式分别求解，从而得到答案，C选项涉及到1的妙用.
【详解】A选项：∵
∴，当且仅当时等号成立，故A正确；
B选项：∵，∴，当且仅当时等号成立，故B错误；
C选项：，当且仅当时等号成立，故C正确；
D选项：根据B选项可以得到，
∴，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：ACD.
10．已知，，则下列表达式正确的是（ ）
A．， B．的最小值为3
C．的最小值为8 D．的最小值为4
【答案】ACD
【分析】对A，通过用表示以及用表示，即可求出范围，对B，对等式变形得，利用乘“1”法即可得到最值，对C直接利用基本不等式构造一元二次不等式即可求出最小值，对D通过多变量变单变量结合基本不等式即可求出最值.
【详解】对A选项，，即，则，
则，且解得，
，则则，且，解得，故A正确；
对B选项，，两边同除得，
则，
当且仅当，且，即时等号成立，故B错误；
对C选项，，，解得，故，
当且仅当，且，即时等号成立，故C正确；
对D选项，由A选项代入得
，
当且仅当，，即时，此时时，等号成立，故D正确.
故选：ACD.
11．若，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为 B．的最大值为2
C．的最小值为2 D．的最小值为4
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式，结合已知条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对：，，即，当且仅当时，等号成立，
此时ab取得最大值，故正确；
对：由可得，
当且仅当时取得最小值2，即有最小值2 ，故错误，正确；
对：由，得，
当且仅当，即时等号成立，即取得最小值4，故正确. 故选：
三、填空题
12. 已知实数，，且，则mn的最大值为______，的最小值为______．
【答案】 ##0.25 ##
【分析】根据基本不等式可求得mn的最大值；根据“1”的代换，变形求解即可.
【详解】由已知及基本不等式可得，，
当且仅当时，等号成立；
，
又，，且，
则，
当且仅当，即，时等号成立.
故答案为：；.
13．已知，则的最小值为__________.
【答案】3
【分析】由基本不等式求解，
【详解】由得，
当且仅当时等号成立，即的最小值为3，故答案为：3
14．已知，则的最小值为，取得最小值时，则______．
【答案】
【分析】利用基本不等式可求得的值，利用等号成立的条件可求得的值，进而可求得的值.
【详解】因为，所以，
当且仅当时取等号．故，，所以，．故答案为：.
15．已知x > 0，y > 0，，则的最小值为 _________ .
【答案】##
【分析】化简原式为，再利用基本不等式求解.
【详解】原式=
（当且仅当时等号成立）
,
（当且仅当时等号成立）
综合得当时，原式取到最小值.故答案为：
四、解答题
16．某乡镇响应“绿水背山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．
(1)求函数的解析式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400元
【分析】（1）利用，即可求解；
（2）对进行化简，得到，然后分、讨论的取值，进而得到答案.
【详解】（1）根据题意，，化简得，
；
（2）由（1）得
，
当时，，
当时，，所以
，
当且仅当时，即时等号成立，
因为，所以当时，，
故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400元.
17．（1）对于两个正数，，我们把称为它们的调和平均数，称为它们的几何平均数. 求证：两个正数的调和平均数不大于它们的几何平均数；
（2）已知，，且，求的最小值及取最小值时，的值.
【答案】（1）见解析；（2）；
【分析】（1）利用完全平方公式得到，再将其变形转化即可证得；
（2）利用基本不等“1”的妙用即可得解.
【详解】（1）因为，，所以，
所以，即，故，
所以，则，即，故，
上述不等式当且仅当，即时，等号成立，所以.
（2）因为，，，
所以，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最小值为，此时.
18．已知都是正实数，解决下列问题：
(1)若，求的最小值.
(2)若，求的最小值.
(3)若,求的取值范围.
【答案】(1)5. (2)18. (3).
【分析】（1）将化为，利用基本不等式即可求得答案；
（2）利用，将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案；
（3）利用基本不等式将化为，换元后结合解一元二次不等式即可得答案.
【详解】（1）由题意，知，
所以，
（当且仅当 ，即取等号），
故的最小值为5.
（2）因为都是正实数，，
所以
，
当且仅当 即时取等号，
故的最小值为18；
（3）由都是正实数,得，
当且仅当时取等号，
即有，
设 ，则，解得(舍去)或，
∴的范围为.
19．（1）已知，且，求的最大值；
（2）已知，求的最大值．
【答案】（1）；（2）1.
【分析】（1）直接利用基本不等式求出的最大值；（2）先求出，进而求出.
【详解】（1）因为，且，
所以，即（当且仅当即时等号成立）.
所以的最大值为.
（2）因为，所以.
所以（当且仅当，即时等号成立）.
所以（当时等号成立）.
即的最大值为1.2.2基本不等式专项练习
一、单选题
1．若正实数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
2．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（ ）
A．36 B．4 C．16 D．9
4．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
A． B． C．5 D．6
5．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
6．若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（ ）
A．4 B． C． D．8
7．已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．9 B．25 C．16 D．12
8．若 ， 则 的最小值为（ ）
A．16 B．8 C．20 D．12
二、多选题
9．已知x，y都为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，则下列表达式正确的是（ ）
A．， B．的最小值为3
C．的最小值为8 D．的最小值为4
11．若，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为 B．的最大值为2
C．的最小值为2 D．的最小值为4
三、填空题
12．已知实数，，且，则mn的最大值为______，的最小值为______．
13．已知，则的最小值为__________.
14．已知，则的最小值为，取得最小值时，则______．
15．已知x > 0，y > 0，，则的最小值为 _________ .
四、解答题
16．某乡镇响应“绿水背山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．
(1)求函数的解析式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
（1）对于两个正数，，我们把称为它们的调和平均数，称为它们的几何平均数. 求证：两个正数的调和平均数不大于它们的几何平均数；
（2）已知，，且，求的最小值及取最小值时，的值.
18．已知都是正实数，解决下列问题：
(1)若，求的最小值.
(2)若，求的最小值.
(3)若,求的取值范围.
19．（1）已知，且，求的最大值；
（2）已知，求的最大值．
