1.3集合的基本运算专项练习
一、单选题
1．已知集合，．若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
2．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，，若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
4．设，，若，则实数的值不可以是（ ）
A．0 B． C． D．2
5．集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
6．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是（ ）
A．6 B．5 C．7 D．8
7．定义集合，若，，且集合有3个元素，则由实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（ ）
A．2 B．6 C．14 D．15
8．满足，且中的集合的个数是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．28
二、多选题
9．设集合，则的子集个数可能为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
10．已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．设全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．集合的真子集个数为8
12．定义，且，叫做集合的对称差，若集合，，则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和化学小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和物理小组的人数为 _______．
14．已知集合，，，则_______
15．若集合，且，则_________．
16．已知集合 ， 若 ， 则集合 的子集个数为________
四、解答题
17．已知全集，集合，．
(1)时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
18．已知集合，集合.
（1）求；
（2）若集合，，求实数的取值范围.
19．已知集合，.若，求m的取值范围.1.3集合的基本运算专项练习解析版
一、单选题
1．已知集合，．若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【分析】根据并集结果可知，进而可构造不等式，解不等式求得结果.
【详解】解：，
，且
，，，解得：且
的取值范围为且，故选：D
2．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意明确图中阴影部分表示的含义，即可根据集合的运算求得答案.
【详解】由题意知：图中阴影部分表示，而 ，
故，故选：D．
3．已知集合，，若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别分析每个选项，举出反例以否定错误选项.
【详解】对于选项A，当集合时，，故此选项错误；
对于选项B，当集合时，，故此选项错误；
对于选项C，当集合时，，故此选项错误；
对于选项D，因为，，且，所以，故此选项正确.故选：D.
4．设，，若，则实数的值不可以是（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据题意可以得到，进而讨论和两种情况，最后得到答案.
【详解】由题意，，因为，所以，若，则，满足题意；
若，则，因为，所以或，则或.
综上：或或.故选：D.
5．集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求得解.
【详解】解：图中阴影部分所表示的集合为.故选：B
6．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是（ ）
A．6 B．5 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据题意，作出维恩图，由数形结合列出方程求解即可.
【详解】作维恩图，如图所示，
则周一开车上班的职工人数为，周二开车上班的职工人数为，
周三开车上班的职工人数为，这三天都开车上班的职工人数为x.
则，得，
得，当时，x取得最大值6.故选：A
7．定义集合，若，，且集合有3个元素，则由实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（ ）
A．2 B．6 C．14 D．15
【答案】B
【分析】根据集合的新定义运算，再由集合有3个元素确定出n的取值集合，求解即可.
【详解】因为，，，
所以，又集合有3个元素，
当时，即时，满足题意，
当时，即，（舍去）时，，不符合题意，
当时，即时，满足题意，
当时，即，（舍去）时，，不符合题意.
综上，，故所构成集合的非空真子集的个数为.故选：B
8．满足，且中的集合的个数是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．28
【答案】C
【解析】根据集合间的关系及集合的运算，设，求得满足条件集合的个数，进而得到满足时的集合的个数.
【详解】由题意，集合，
若集合，可得，所以集合的个数为个，
即当时，可得集合的个数为个.故选：C.
【点睛】本题主要考查了集合件的关系的应用，以及集合的交集的概念及运算，其中解答中熟记集合件的关系，求得集合的子集的个数是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
二、多选题
9．设集合，则的子集个数可能为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】BC
【分析】讨论、确定集合A，在的情况继续讨论、确定的元素个数，即可求子集个数.
【详解】当时，，则：
若，则，子集有8个，
若，则，子集有4个；
当时，，此时，其子集有4个；
综上，的子集个数可能为4或8个.故选：BC.
10．已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据子集的概念，结合交集、并集的知识，对选项逐一分析，即可得出正确选项.
【详解】由于，即是的子集，
故，，故A正确，C错误；
从而，故BD正确.故选：ABD.
11．设全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．集合的真子集个数为8
【答案】AC
【分析】根据集合交集、补集、并集的定义，结合集合真子集个数公式逐一判断即可.
【详解】因为全集，集合，，
所以，，，
因此选项A、C正确，选项B不正确，
因为集合的元素共有3个，所以它的真子集个数为：，因此选项D不正确，
故选：AC
12．定义，且，叫做集合的对称差，若集合，，则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】根据反比例函数的性质可判断是否正确；然后先分别计算，，判断B选项是否正确，然后计算与，判断D选项是否成立.
【详解】∵，，故A正确；
∵定义且，
∴，，故B正确；
，故C错误；
，所以，故D正确．故选：ABD．
【点睛】本题考查集合的新定义问题，考查集合间的基本运算，属于基础题．解答时，根据题意化简集合，然后结合新定义计算法则计算即可得出答案．
三、填空题
13．某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和化学小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和物理小组的人数为 _______．
【答案】4
【分析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，根据容斥原理可求出结果.
【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和物理小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如图所示：
由图可知：，解得，
所以同时参加数学和化学小组有人.故答案为：4
14．已知集合，，，则_______
【答案】##
【分析】根据交集、补集的定义计算可得；
【详解】解：因为集合，，，所以
所以，故答案为：
15．若集合，且，则_________．
【答案】0或
【分析】根据两集合的关系运用分类讨论的思想求出集合B即可得出答案
【详解】
时，求得；
时，计算得集合，求得
或，故答案为：0或.
16．已知集合 ， 若 ， 则集合 的子集个数为________
【答案】32
【分析】由题知，进而结合题意得，再求子集个数即可.
【详解】解：由题意得，又，所以 ，
所以 或 或 或，或 ，
所以，集合，
所以其子集个数为. 故答案为：
四、解答题
17．已知全集，集合，．
(1)时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)或；(2)
【分析】（1）把代入确定出，求出与补集的并集即可；
（2）由与的交集为，得到为的子集，分为空集与不为空集两种情况求出的范围即可．
【解析】(1)把代入得：，
或，
，
或；
(2)，，
当，即，此时；
当，即，此时，只需，
解得：，此时，
综上，的范围是．
18．已知集合，集合.
（1）求；
（2）若集合，，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先利用分式不等式的解法化简集合B,再利用并集的运算求解.
（2）根据，则C A，然后分和 两种情况讨论求解.
【详解】（1）因为集合，集合，
所以；
（2）因为，
所以，
当时，，无解；
当时，则，
解得，所以实数的取值范围是
【点睛】本题主要考查集合的基本运算和集合基本关系的应用以及分式不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．已知集合，.若，求m的取值范围.
【答案】
【分析】（1）由可得，讨论和，求解即可.
【详解】因为，所以，
若，则，解得：，
若，则，解得：，
所以m的取值范围为：.
