3.4函数的应用（一） 专项练习解析版
一、单选题
1．用一段长为的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设矩形模型的长和宽分别为，，根据题意得出，再利用基本不等式可求出这个模型的面积的最大值．
【详解】解：设矩形模型的长和宽分别为，，则，，由题意可得，所以，
所以矩形菜园的面积，当且仅当时取等号，
所以当矩形菜园的长和宽都为时，面积最大，为．故选：．
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解本题的关键在于对代数式的灵活配凑，考查计算能力，属于中档题．
2．一等腰三角形的周长是，底边是关于腰长的函数，它的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件可得出函数解析式，结合三角形三边关系可得出的取值范围.
【详解】依题意得，所以，
由三边形三边关系可得，即，解得.
因此，函数解析式为.故选：D.
3．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位
【答案】D
【分析】设生产每单位试剂的成本为，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出，然后利用基本不等式求解最值即可．
【详解】解：设每生产单位试剂的成本为，
因为试剂总产量为单位，则由题意可知，原料总费用为元，
职工的工资总额为元，后续保养总费用为元，
则，
当且仅当，即时取等号，
满足，
所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．
4．向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】从所给函数的图象可以看出，V不是h的正比例函数，由体积公式可排除D选项；从函数图象的单调性及切线的斜率的变化情况看，又可排除A、C选项，从而可得正确答案．
【详解】解：当容器是圆柱时，容积V=πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象是过原点的直线，∴选项D不满足条件；
由函数图象可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，
∴容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小，
∴A、C不满足条件，而B满足条件. 故选：B．
5．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多
C．甲比乙先到达终点 D．甲、乙两人的速度相同
【答案】C
【分析】结合图像逐项求解即可.
【详解】结合已知条件可知，甲乙同时出发且跑的路程都为，故AB错误；
且当甲乙两人跑的路程为时，甲所用时间比乙少，故甲先到达终点且甲的速度较大，
故C正确，D错误. 故选：C.
6．一元二次方程的两根均大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据条件需满足，，对称轴即可求出m的取值范围.
【详解】关于x的一元二次方程的两根均大于2，
则，解得.故选：C.
【点睛】本题考查一元二次方程的根的分布，属于基础题.
二、多选题
7．(多选)如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示.
则下列说法中，正确的有（ ）
A．图②的建议：提高成本，并提高票价
B．图②的建议：降低成本，并保持票价不变
C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变
D．图③的建议：提高票价，并降低成本
【答案】BC
【分析】根据题意和图②知，此建议是降低成本而保持票价不变，由图③可以看出，此建议是提高票价而保持成本不变.
【详解】根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确；
由图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确.故选：BC.
【点睛】本题考查了函数图象的应用，属于基础题.
8．若函数的图像在R上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（ ）
A．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B．在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D．在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
【答案】ABD
【解析】根据的图像在上连续不断，，，，结合零点存在定理，判断出在区间和上零点存在的情况，得到答案．
【详解】由题知，所以根据函数零点存在定理可得在区间上一定有零点，
又，无法判断在区间上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点．故选：．
9．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费：超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是（ ）
A．出租车行驶2km，乘客需付费8元
B．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元
C．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元
D．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用
【答案】CD
【解析】依题意分别计算各选项的情形，判断正误.
【详解】解：在中，出租车行驶2km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，错误；在中，出租车行驶4km，乘客需付费元，错误；
在中，出租车行驶10km，乘客需付费元，正确；
在中，乘出租车行驶5km，乘客需付费元，乘坐两次需付费26.6元，，正确；故选：．
【点睛】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
三、填空题
10．函数图象的对称中心为_____
【答案】
【分析】设对称中心的坐标为，利用对任意均成立可求出，.
【详解】由题意设对称中心的坐标为，则有对任意均成立，
代入函数解析式得，
整理得到：
，
整理得到 对任意均成立，
所以 ，所以，，即对称中心．故答案为．
【点睛】若，则的图像关于直线对称；若，则的图像关于点对称．
11．已知函数满足， 若函数与图像的交点为，则它们的纵坐标之和等于___．
【答案】4044
【分析】由函数则函数关于点对称，知函数关于点对称，又也关于点对称，关于点对称性即可求出纵坐标之和.
【详解】函数满足知，
函数关于点对称，
又也关于点对称
故函数与图像的交点也关于点对称
所以成对出现，且关于点对称
所以，故答案为：4044.
12．若直线经过和两点，则不等式组的解集为_________．
【答案】
【分析】将A、B两点坐标代入直线方程，求出k、b的值，再将k、b的值代入不等式组，解得即可.
【详解】因为直线经过和两点，所以 解得则不等式组可化为，解得 .故答案为：
四、解答题
13．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1); (2)100（百辆），2300万元.
【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案.
【详解】（1）由题意知利润收入-总成本，
所以利润
,
故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 .
（2）当时，，
故当时，；
当时，,
当且仅当， 即时取得等号；
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．
14．2022年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度单位：毫克/立方米随着时间单位：小时变化的关系如下：当时，；当时，若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于毫克/立方米时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用.
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值.精确到，参考数据：取
【答案】(1)8； (2)1.6
【分析】（1）根据喷洒4个单位的净化剂后浓度为，由求解；
（2）得到从第一次喷洒起，经小时后，浓度为，化简利用基本不等式求解.
【详解】（1）解：因为一次喷洒4个单位的净化剂，
所以其浓度为，
当时，，解得，此时，
当时，，解得，此时，
综上，所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时；
（2）设从第一次喷洒起，经小时后，
其浓度为，
，
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立；
所以其最小值为，
由，解得，所以a的最小值为.
15．武汉城市圈城际铁路，实现了武汉城市圈内半小时经济圈体系.据悉一辆城际列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额（元）与发车时间间隔（分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比；当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为.
(1)求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式；
(2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值.
【答案】(1).(2)时，,
【分析】（1）由题意设当时的函数表达式，由时满载求得比例系数，进而求得当时表达式，写为分段函数形式，即得答案；
（2）由题意可得，，采用换元并结合二次函数性质,求得答案.
【详解】（1）当时，设，a为比例系数，
由时满载可知，
即，则，
当时，，
故当时，,
故.
（2）由题意可得，，
化简得，，
令，则，
当，即时，符合题意，此时.
16．某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元；当年销售量x不低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元
(1)写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式；
(2)年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润．
【答案】(1)；(2)38万部时，最大利润为7170万元.
【分析】（1）依题意，分和两段分别求利润=收入-成本，即得结果；
（2）分和两段分别求函数的最大值，再比较两个最大值的大小，即得最大利润.
【详解】（1）依题意，生产万部手机，成本是（万元），
故利润，而，
故，整理得，；
（2）时，，开口向下的抛物线，在时，利润最大值为；
时，，
其中，在上单调递减，在上单调递增，因为 ，故 时，取得最小值
故在 时，y取得最大值
而，故年销售量为38万部时，利润最大，最大利润为7170万元.3.4函数的应用（一）专项练习
一、单选题
1．用一段长为的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为
A． B． C． D．
2．一等腰三角形的周长是，底边是关于腰长的函数，它的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位
4．向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（ ）
A． B． C． D．
5．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多
C．甲比乙先到达终点 D．甲、乙两人的速度相同
6．一元二次方程的两根均大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．(多选)如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示.
则下列说法中，正确的有（ ）
A．图②的建议：提高成本，并提高票价
B．图②的建议：降低成本，并保持票价不变
C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变
D．图③的建议：提高票价，并降低成本
8．若函数的图像在R上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（ ）
A．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B．在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D．在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
9．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费：超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是（ ）
A．出租车行驶2km，乘客需付费8元
B．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元
C．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元
D．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用
E．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km
三、填空题
10．函数图象的对称中心为_____
11．已知函数满足， 若函数与图像的交点为，则它们的纵坐标之和等于___．
12．若直线经过和两点，则不等式组的解集为_________．
四、解答题
13．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
14．2022年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度单位：毫克/立方米随着时间单位：小时变化的关系如下：当时，；当时，若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于毫克/立方米时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用.
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值.精确到，参考数据：取
15．武汉城市圈城际铁路，实现了武汉城市圈内半小时经济圈体系.据悉一辆城际列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额（元）与发车时间间隔（分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比；当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为.
(1)求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式；
(2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值.
16．某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元；当年销售量x不低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元
(1)写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式；
(2)年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润．
