5.4 抛体运动的规律 高一物理下学期同步学案 典例 练习（人教版2019必修第二册）（含答案）

5.4 抛体运动的规律
一、平抛运动的速度
以速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)水平方向： ，加速度是 ，水平方向为 运动，vx＝v0.
(2)竖直方向：只受 力，由牛顿第二定律得到：mg＝ma.所以a＝ ；竖直方向的初速度为 ，所以竖直方向为 运动，vy＝ .
(3)合速度
大小：v＝＝ ；
方向：tan θ＝＝ (θ是v与水平方向的夹角).
二、平抛运动的位移与轨迹
1.水平位移：x＝v0t①
2.竖直位移：y＝gt2②
3.轨迹方程：由①②两式消去时间t，可得平抛运动的轨迹方程为y＝ ，由此可知平抛运动的轨迹是一条 .
三、一般的抛体运动
物体被抛出时的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做 (设v0与水平方向夹角为θ).
(1)水平方向：物体做 运动，初速度v0x＝ .
(2)竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度vy0＝ .如图所示.
考点一：平抛运动速度的计算
【例1】在某次投篮比赛中，运动员将篮球从地面上方B点以速度v0斜向上地出，恰好垂直击中篮板上A点。若运动员后撤到C点投篮，还要求垂直击中篮板上A点，不计空气阻力，下列做法可行的是（　　）
A．减小抛射角，同时增大抛射速度 B．减小抛射角，同时减小抛射速度
C．增大抛射角，同时增大抛射速度 D．增大抛射角，同时减小抛射速度
【变式练习】
1．某同学对着墙壁练习打乒乓球的示意图如图所示，某次球与墙壁碰撞后以v0的水平速度弹离墙面，恰好垂直落在球拍上，已知球拍与水平方向夹角θ=60°，忽略空气阻力，重力加速度为g，则球从离开墙面至碰到球拍的时间为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，窗子上、下沿间的高度差H=1.6m，墙的厚度d=0.4m。某人在到墙壁距离为L=1.4m距窗子上沿高度为h=0.2m处的P点将可视为质点的小物体以速度v水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，g取10m/s2，则v的取值范围是（　　）
A．v>2.3m/s B．2.3m/sC．3m/s考点二：平抛运动位移的计算
【例2】如图所示是消防车利用云梯（未画出）进行高层灭火，消防水炮离地的最大高度H=40m，出水口始终保持水平且出水方向可以水平调节，着火点在高h=20m的楼层，水水平射出的初速度在7.5m/s≤v0≤20m/s之间，可进行调节，出水口与着火点不能靠得太近，不计空气阻力，重力加速度取，则（　　）
A．如果要有效灭火，出水口与着火点间的水平距离x最大为15m
B．如果要有效灭火，出水口与着火点间的水平距离x最小为40m
C．如果出水口与着火点的水平距离x不能小于20m，则水水平射出的初速度最小为10m/s
D．若该着火点高度为40m，该消防车仍能有效灭火
【变式练习】
1．下列关于平抛运动的说法正确的是（　　）
A．由于速度方向随时间不断变化，所以相同时间内速度的变化量不同
B．对于相同初速度和高度的平抛运动，落地时在地球表面比在月球表面飞得更远
C．一个平抛的物体的速度从到增加所用的时间为从到所用时间的一半
D．将两物体以相同水平初速度先后间隔ls抛出，则在第二个物体抛出一分钟后二者相距一定超过600m
2．如图所示，某人在左侧的山坡上水平抛出两个质量不等的小石块，分别落在右侧的山坡上的A、B两处，不计空气阻力。则落到B处的石块（　　）
A．初速度小，运动时间长 B．初速度小，运动时间短
C．初速度大，运动时间长 D．初速度大，运动时间短
考点三：斜面上的平抛运动
【例3】如图，某人在斜坡滑雪，从最高点水平滑出，先后落在M、N两点，所用时间分别为、，初速度大小分别为、，则（ ）
A． B． C． D．
【变式练习】
1．如图所示，在斜面的上方A点，水平向右以初速度抛出一个小球，不计空气阻力，若小球击中斜面B点（图中未画出），且AB距离恰好取最小值，则小球做平抛运动的时间为（　　）
A． B． C． D．
2．如图所示，小球以初速度v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，重力加速度为g，若小球到达斜面的位移最小，则以下说法正确的是（　　）
A．小球在空中运动的时间为
B．小球的水平位移大小为
C．由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解
D．小球的竖直位移大小为
考点四：类平抛运动
【例4】如图，倾角的斜面体放在水平面上，斜面ABCD为边长为L的正方形，在斜面左上角A点沿AB方向水平抛出一个小球，小球做平抛运动，结果恰好落在斜面体的右下角C点。不计空气阻力，重力加速度为g，则小球水平抛出的初速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式练习】
1．如图所示，光滑固定斜面的倾角为，斜边长为L，斜面顶端有一小球以平行底边、大小为的速度水平抛出，则小球滑到底端时，水平方向的位移大小为（　　）
A． B． C． D．
2．如图所示，将质量为m的小球从倾角为θ=30°的光滑斜面上A点以速度v0=10m/s水平抛出（即v0∥CD），小球运动到B点，已知AB间的高度h=5m，g取10m/s2，则小球从A点运动到B点所用的时间和到达B点时的速度大小分别为（　　）
A．1s，20m/s B．1s，m/s
C．2s，20m/s D．2s，m/s
一、对平抛运动的理解
1.平抛运动的特点
(1)做平抛运动的物体水平方向不受力，做匀速直线运动；竖直方向只受重力，做自由落体运动；其合运动为匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线.
(2)平抛运动的速度方向沿轨迹的切线方向，速度大小、方向不断变化.
2.平抛运动的速度变化
如图所示，由Δv＝gΔt知，任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，方向竖直向下.
二、平抛运动规律的应用
1.平抛运动的研究方法
(1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动.
(2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、位移等.
2.平抛运动的规律
(1)平抛运动的时间：t＝，只由高度决定，与初速度无关.
(2)水平位移(射程)：x＝v0t＝v0，由初速度和高度共同决定.
(3)落地速度：v＝＝，与水平方向的夹角为θ，tan θ＝＝，落地速度由初速度和高度共同决定.
3.平抛运动的推论
(1)做平抛运动的物体在某时刻，其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则有tan θ＝2tan α.
证明：如图所示，tan θ＝＝
tan α＝＝＝
所以tan θ＝2tan α.
(2)做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点.
证明：xA＝v0t，yA＝gt2，vy＝gt，
又tan θ＝＝，解得xA′B＝＝.
三、平抛运动的临界问题
分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找出满足临界状态的条件.
四、斜抛运动
1.斜抛运动的规律
(1)斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线.
(2)斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例说明，如图所示)
①水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0.
②竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg.
(3)斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动.
①速度公式：vx＝v0x＝v0cos θ
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt
②位移公式：x＝v0cos θ·t
y＝v0sin θ·t－gt2
2.斜抛运动的对称性
(1)时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间.
(2)速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等.
(3)轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称.
一、单选题
1．物体以某初速度做平抛运动，经过1s着地，取重力加速度大小，则物体下落的高度为（　　）
A．1m B．3m C．5m D．10m
2．在限速的平直公路上，一辆卡车与路旁障碍物相撞，交通警察发现路边泥地中有一块从车顶脱落的金属零件，测量下述哪组数据可以为卡车是否超速提供证据（　　）
A．金属零件的质量和车顶距泥地的高度
B．金属零件的质量和车顶距落地点的长度
C．事故地点与金属零件的水平距离和金属零件的质量
D．事故地点与金属零件的水平距离和车顶距泥地的高度
3．图甲是首钢滑雪大跳台又称“雪飞天”，是北京2022年冬奥会自由式滑雪和单板滑雪比赛场地，苏翊鸣和谷爱凌在此圆梦冠军。为研究滑雪运动员的运动情况，建立如图乙所示的模型。两个滑雪运动员A、B分别从斜面顶端O点沿水平方向飞出后，A落在斜面底端，B落在斜面的中点，不计空气阻力，则（ ）
A．运动员A、B在空中飞行的时间之比为2∶1
B．运动员A、B到达斜面时的速度之比为
C．运动员A、B从斜面顶端水平飞出的速度之比为2∶1
D．运动员A、B到达斜面时速度方向与水平方向夹角的正切值之比为
4．如图所示，将一软木板挂在竖直墙壁上，作为镖靶。将A、B两只相同的小金属飞镖从离墙壁一定距离的同一位置，分别将它们水平掷出，两只飞镖插在靶上的状态如图所示（侧视图），下列说法正确的是（　　）
A．飞镖A的初速度小于飞镖B的初速度
B．飞镖A的加速度小于飞镖B的加速度
C．飞镖A在空中运动的时间等于飞镖B在空中运动的时间
D．飞镖A在空中运动时的速度变化量小于飞镖B在空中运动时的速度变化量
5．某同学对着竖直墙面练习投篮，在同一高度的A、B两点先后将球斜向上投出，球均能垂直打在竖直墙上的同一点P点，不计空气阻力，则关于球投出后先后在空中的运动，下列说法正确的是（　　）
A．第二次球被抛出的速度大 B．第一次在空中运动的时间长
C．两次在空中运动的时间相等 D．两次在最高点时速度相等
6．如图所示，从水平地面上A、B两点同时抛出两个物体，初速度分别为v1和v2，与水平方向的夹角分别为30°和60°。某时刻两物体恰好在AB连线上一点O（图中未画出）的正上方相遇，且此时两物体的速度均沿水平方向（不计空气阻力）。则（　　）
A．v1＞v2 B．v1＝v2 C．OA＝OB D．OA＜OB
7．如图，在某次比赛中，排球从底线A点的正上方以某一速度水平发出，排球正好擦着球网落在对方底线的B点上，且AB平行于边界CD。已知网高为h，球场的长度为s，重力加速度为g，不计空气阻力且排球可看成质点，则排球被发出时，击球点的高度H和水平初速度v分别为（　　）
A．H＝2h B．H＝h C．v＝ D．v＝
8．如图所示，倾角为37°的斜面体固定放置在水平面上，斜面的高度为，点是A点正上方与点等高的点，让一小球（视为质点）从点水平向左抛出，落在斜面的点，已知、两点的连线与斜面垂直，重力加速度为g，、，下列说法正确的是（　　）
A．小球在点的速度为
B．小球从点到点的运动时间为
C．小球在点的速度大小为
D．小球在点的速度与水平方向夹角的正切值为2
二、多选题
9．以速度v0水平抛出一球，某时刻其竖直分位移与水平分位移相等，则下列判断中正确的是（　　）
A．竖直分速度等于水平分速度
B．此时球的速度大小为
C．运动时间为
D．运动的位移是
10．如图，倾角为α=45°的斜面ABC固定在水平面上，质量为m的小球从顶点A先后以初速度和向左水平抛出，分别落在斜面上的、点，经历的时间分别为、；A点与、之间的距离分别为和，不计空气阻力影响。下列说法正确的是（　　）
A．：=1：1
B．：=1：4
C．两球刚落到斜面上时的速度比为1：4
D．两球落到斜面上时的速度与斜面的夹角正切值的比为1：1
11．如图所示，a、b两点在同一竖直线上，现同时分别在a、b两点抛出两个小球甲、乙，甲球的速度大小为，方向水平向右，乙球的速度大小为，方向与水平方向的夹角为60°斜向右上方，两球在c点（未画出）相碰。已知碰前瞬间乙球速度方向水平，则下列判断正确的是（　　）
A．a、c两点竖直方向的距离等于b、c两点竖直方向的距离
B．甲，乙两球相碰前瞬间甲球的速率与乙球速率相等
C．甲、乙两球自抛出至相碰前瞬间速度变化相等
D．甲、乙两球抛出时的速度大小与之比为
三、实验题
12．平抛运动的轨迹是曲线，比直线运动复杂。我们可以按照把复杂的曲线运动分解为两个相对简单的直线运动的思路，分别研究物体在竖直方向和水平方向的运动特点。
如图1所示，将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上。钢球沿斜槽轨道PO滑下后从O点飞出，落在水平挡板MN上。由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。
（1）为了保证钢球从O点飞出的初速度是一定的，下列实验条件必须满足的是______。
A．斜槽轨道光滑
B．斜槽轨道末段水平
C．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球
（2）另一位同学做实验时，忘记了标记平抛运动的抛出点O，只记录了A、B、C三点，于是就取A点为坐标原点，建立了如图3所示的坐标系。平抛轨迹上的这三点坐标值图中已标出。根据图中数据判断，A点______（填“是”或“不是”）平抛运动的抛出点。小球平抛的初速度为_____m/s，小球抛出点的坐标为（____cm，_____cm）。（取g=10m/s2，计算结果均保留两位有效数字）。
四、解答题
13．如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度处有一小球以水平速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上，已知重力加速度为g，不计空气阻力。试求
（1）小球从抛出到落在斜面上的运动时间？
（2）小球从抛出到距斜面底端的高度？
14．甲、乙两名同学在操场上用两个篮球（可视为质点）玩“空中击球”游戏，如图所示，甲同学在O点将篮球A以速度v斜向上抛出，使得篮球能够从乙同学正上方经过，乙同学选择合适时机，将篮球B从与O点等高的Q点以的初速度竖直向上抛出，篮球A经过最高点M后，在下降过程中经过P点时被正在上升的篮球B恰好击中，N位于OQ连线上且在M点正下方，已知O、N两点距离，N、Q两点距离，P、Q两点距离，不计空气阻力，重力加速度，求：
（1）篮球A抛出的初速度v；
（2）篮球B延迟于篮球A多长时间抛出。
5.4 抛体运动的规律
一、平抛运动的速度
以速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)水平方向： ，加速度是 ，水平方向为 运动，vx＝v0.
(2)竖直方向：只受 力，由牛顿第二定律得到：mg＝ma.所以a＝ ；竖直方向的初速度为 ，所以竖直方向为 运动，vy＝ .
(3)合速度
大小：v＝＝ ；
方向：tan θ＝＝ (θ是v与水平方向的夹角).
二、平抛运动的位移与轨迹
1.水平位移：x＝v0t①
2.竖直位移：y＝gt2②
3.轨迹方程：由①②两式消去时间t，可得平抛运动的轨迹方程为y＝ ，由此可知平抛运动的轨迹是一条 .
三、一般的抛体运动
物体被抛出时的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做 (设v0与水平方向夹角为θ).
(1)水平方向：物体做 运动，初速度v0x＝ .
(2)竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度vy0＝ .如图所示.
【参考答案】不受力 0 匀速直线 重 g 0 自由落体 gt x2 抛物线 斜抛运动 匀速直线 v0cos θ v0sin θ
考点一：平抛运动速度的计算
【例1】在某次投篮比赛中，运动员将篮球从地面上方B点以速度v0斜向上地出，恰好垂直击中篮板上A点。若运动员后撤到C点投篮，还要求垂直击中篮板上A点，不计空气阻力，下列做法可行的是（　　）
A．减小抛射角，同时增大抛射速度 B．减小抛射角，同时减小抛射速度
C．增大抛射角，同时增大抛射速度 D．增大抛射角，同时减小抛射速度
【答案】A
【解析】根据题意可知篮球两次都是斜抛运动，且垂直击中篮板上的A点，根据抛体运动的特点，可以逆向看成篮球从A点做两次平抛，分别运动到B点和C点。因为A点距离B点、C点的高度相等，竖直方向上都是自由落体运动，由
解得
可知，篮球从A点运动到B点、C点的时间相等，由
vy=gt
可知B点、C点的竖直速度相等。又因为水平方向上是匀速直线运动，有
可知，相等时间内C点对应的水平位移大，所以C点的水平速度大，所以由
可得，篮球在C点对应的速度大，即从B点撤到C点时需要增大抛出速度v0。由几何关系可得
因为竖直速度相等，C点的水平速度较大，所以C点的速度与水平方向的夹角较小，即从B点撤到C点需要减小抛射角θ。故选A。
【变式练习】
1．某同学对着墙壁练习打乒乓球的示意图如图所示，某次球与墙壁碰撞后以v0的水平速度弹离墙面，恰好垂直落在球拍上，已知球拍与水平方向夹角θ=60°，忽略空气阻力，重力加速度为g，则球从离开墙面至碰到球拍的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设球从离开墙面至碰到球拍的时间为t，根据的速度的合成与分解可知，乒乓球碰到球拍前瞬间，有
解得
故选D。
2．如图所示，窗子上、下沿间的高度差H=1.6m，墙的厚度d=0.4m。某人在到墙壁距离为L=1.4m距窗子上沿高度为h=0.2m处的P点将可视为质点的小物体以速度v水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，g取10m/s2，则v的取值范围是（　　）
A．v>2.3m/s B．2.3m/sC．3m/s【答案】C
【解析】小物体做平抛运动，根据平抛运动规律可知，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时初速度v最大，此时水平方向有
L=vmaxt
竖直方向有
h=gt2
联立解得
vmax=7m/s
恰好擦着窗子下沿左侧穿过时初速度v最小，此时水平方向有
L+d=vmint'
竖直方向有
H+h=gt'2
解得
vmin=3m/s
所以v的取值范围是
3m/s故选C。
考点二：平抛运动位移的计算
【例2】如图所示是消防车利用云梯（未画出）进行高层灭火，消防水炮离地的最大高度H=40m，出水口始终保持水平且出水方向可以水平调节，着火点在高h=20m的楼层，水水平射出的初速度在7.5m/s≤v0≤20m/s之间，可进行调节，出水口与着火点不能靠得太近，不计空气阻力，重力加速度取，则（　　）
A．如果要有效灭火，出水口与着火点间的水平距离x最大为15m
B．如果要有效灭火，出水口与着火点间的水平距离x最小为40m
C．如果出水口与着火点的水平距离x不能小于20m，则水水平射出的初速度最小为10m/s
D．若该着火点高度为40m，该消防车仍能有效灭火
【答案】C
【解析】AB．出水口与着火点之间的高度差为
又
解得
又
因此出水口与着火点的水平距离x的范围
即出水口与着火点间的水平距离x最小为15m，出水口与着火点间的水平距离x最大为40m，AB错误；
C．如果出水口与着火点的水平距离x不能小于20m，由
可知水水平射出的初速度最小为10m/s，C正确；D．如果着火点高度为40 m，着火点与出水口等高，保持出水口水平，则水不能到达着火点，D错误；故选C。
【变式练习】
1．下列关于平抛运动的说法正确的是（　　）
A．由于速度方向随时间不断变化，所以相同时间内速度的变化量不同
B．对于相同初速度和高度的平抛运动，落地时在地球表面比在月球表面飞得更远
C．一个平抛的物体的速度从到增加所用的时间为从到所用时间的一半
D．将两物体以相同水平初速度先后间隔ls抛出，则在第二个物体抛出一分钟后二者相距一定超过600m
【答案】D
【解析】A．根据
可知相同时间内速度的变化量相同，A错误；B．平抛运动竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速直线运动，则有
，
联立解得
对于相同初速度和高度的平抛运动，由于地球表面重力加速度大于月球表面重力加速度，可知落地时在地球表面比在月球表面飞得更近，B错误；C．一个平抛的物体的速度从到增加所用的时间为
从到所用时间为
C错误；D．将两物体以相同水平初速度先后间隔ls抛出，则在第二个物体抛出一分钟后，竖直方向两物体相距为
设水平方向两物体相距为，则两物体的距离满足
D正确。故选D。
2．如图所示，某人在左侧的山坡上水平抛出两个质量不等的小石块，分别落在右侧的山坡上的A、B两处，不计空气阻力。则落到B处的石块（　　）
A．初速度小，运动时间长 B．初速度小，运动时间短
C．初速度大，运动时间长 D．初速度大，运动时间短
【答案】D
【解析】根据平抛运动可得
落在B处的小石块下落的高度小，石块运动时间短，而其水平位移大，可知石块初速度大。
故选D。
考点三：斜面上的平抛运动
【例3】如图，某人在斜坡滑雪，从最高点水平滑出，先后落在M、N两点，所用时间分别为、，初速度大小分别为、，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】AB．人做平抛运动，根据平抛运动的特点可知，人下落的高度
则下落的时间为
由图可知，则，故A、B错误；CD．设斜面与水平面的夹角为，根据平抛运动特点可知
斜面倾角不变，由可知，故C正确，D错误。故选C。
【变式练习】
1．如图所示，在斜面的上方A点，水平向右以初速度抛出一个小球，不计空气阻力，若小球击中斜面B点（图中未画出），且AB距离恰好取最小值，则小球做平抛运动的时间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若小球击中斜面B点，且AB距离恰好取最小值，则AB垂直斜面，此时有
可得
故选C。
2．如图所示，小球以初速度v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，重力加速度为g，若小球到达斜面的位移最小，则以下说法正确的是（　　）
A．小球在空中运动的时间为
B．小球的水平位移大小为
C．由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解
D．小球的竖直位移大小为
【答案】B
【解析】如图所示，过抛出点A作斜面的垂线，当小球落在斜面上的B点时，位移最小。
设运动的时间为t，则在水平方向上有
在竖直方向上有
根据几何关系知
联立解得
小球的水平位移大小为
竖直位移大小为
由水平位移和竖直位移的合成可求出小球位移的大小。故B正确，ACD错误。故选B。
考点四：类平抛运动
【例4】如图，倾角的斜面体放在水平面上，斜面ABCD为边长为L的正方形，在斜面左上角A点沿AB方向水平抛出一个小球，小球做平抛运动，结果恰好落在斜面体的右下角C点。不计空气阻力，重力加速度为g，则小球水平抛出的初速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】小球从A点开始做类平抛运动到C点，沿斜面向下有
水平方向位移
解得
A正确，BCD错误。故选A。
【变式练习】
1．如图所示，光滑固定斜面的倾角为，斜边长为L，斜面顶端有一小球以平行底边、大小为的速度水平抛出，则小球滑到底端时，水平方向的位移大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】小球的运动可看成类平抛运动，将小球的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿斜面向下初速度为零的匀加速直线运动，在水平方向上有
沿斜面向下有
沿斜面方向，由牛顿第二定律有
联立解得
故选D。
2．如图所示，将质量为m的小球从倾角为θ=30°的光滑斜面上A点以速度v0=10m/s水平抛出（即v0∥CD），小球运动到B点，已知AB间的高度h=5m，g取10m/s2，则小球从A点运动到B点所用的时间和到达B点时的速度大小分别为（　　）
A．1s，20m/s B．1s，m/s
C．2s，20m/s D．2s，m/s
【答案】D
【解析】小球在斜面上做类平抛运动，平行于CE方向，由牛顿第二定律及位移公式分别可得
联立解得小球从A点运动到B点所用的时间为
到达B点时的速度大小为
代入数据解得
故选D。
一、对平抛运动的理解
1.平抛运动的特点
(1)做平抛运动的物体水平方向不受力，做匀速直线运动；竖直方向只受重力，做自由落体运动；其合运动为匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线.
(2)平抛运动的速度方向沿轨迹的切线方向，速度大小、方向不断变化.
2.平抛运动的速度变化
如图所示，由Δv＝gΔt知，任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，方向竖直向下.
二、平抛运动规律的应用
1.平抛运动的研究方法
(1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动.
(2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、位移等.
2.平抛运动的规律
(1)平抛运动的时间：t＝，只由高度决定，与初速度无关.
(2)水平位移(射程)：x＝v0t＝v0，由初速度和高度共同决定.
(3)落地速度：v＝＝，与水平方向的夹角为θ，tan θ＝＝，落地速度由初速度和高度共同决定.
3.平抛运动的推论
(1)做平抛运动的物体在某时刻，其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则有tan θ＝2tan α.
证明：如图所示，tan θ＝＝
tan α＝＝＝
所以tan θ＝2tan α.
(2)做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点.
证明：xA＝v0t，yA＝gt2，vy＝gt，
又tan θ＝＝，解得xA′B＝＝.
三、平抛运动的临界问题
分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找出满足临界状态的条件.
四、斜抛运动
1.斜抛运动的规律
(1)斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线.
(2)斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例说明，如图所示)
①水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0.
②竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg.
(3)斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动.
①速度公式：vx＝v0x＝v0cos θ
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt
②位移公式：x＝v0cos θ·t
y＝v0sin θ·t－gt2
2.斜抛运动的对称性
(1)时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间.
(2)速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等.
(3)轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称.
一、单选题
1．物体以某初速度做平抛运动，经过1s着地，取重力加速度大小，则物体下落的高度为（　　）
A．1m B．3m C．5m D．10m
【答案】C
【解析】物体在竖直方向上做自由落体运动，则
故ABD错误，C正确。故选C。
2．在限速的平直公路上，一辆卡车与路旁障碍物相撞，交通警察发现路边泥地中有一块从车顶脱落的金属零件，测量下述哪组数据可以为卡车是否超速提供证据（　　）
A．金属零件的质量和车顶距泥地的高度
B．金属零件的质量和车顶距落地点的长度
C．事故地点与金属零件的水平距离和金属零件的质量
D．事故地点与金属零件的水平距离和车顶距泥地的高度
【答案】D
【解析】由题意可知，金属零件做平抛运动，且金属零件的初速度为卡车的行驶速度，根据公式，水平方向
竖直方向
联立等出
故求卡车的行驶速度，要知道金属零件的水平位移和车顶距泥地的高度才能等出卡车的行驶速度，故D正确，ABC错误。故选D。
3．图甲是首钢滑雪大跳台又称“雪飞天”，是北京2022年冬奥会自由式滑雪和单板滑雪比赛场地，苏翊鸣和谷爱凌在此圆梦冠军。为研究滑雪运动员的运动情况，建立如图乙所示的模型。两个滑雪运动员A、B分别从斜面顶端O点沿水平方向飞出后，A落在斜面底端，B落在斜面的中点，不计空气阻力，则（ ）
A．运动员A、B在空中飞行的时间之比为2∶1
B．运动员A、B到达斜面时的速度之比为
C．运动员A、B从斜面顶端水平飞出的速度之比为2∶1
D．运动员A、B到达斜面时速度方向与水平方向夹角的正切值之比为
【答案】B
【解析】A．滑雪运动员从O点飞出后做平抛运动，根据几何知识B落点的高度是A落点高度的一半，根据
得
A错误；
BCD．根据题意A、B做平抛运动得位移与水平方向夹角相等，则根据位移与水平方向夹角正切值有
得
则运动员A、B到达斜面时的速度之比
运动员A、B到达斜面时速度方向与水平方向夹角的正切值之比为
B正确，CD错误。故选B。
4．如图所示，将一软木板挂在竖直墙壁上，作为镖靶。将A、B两只相同的小金属飞镖从离墙壁一定距离的同一位置，分别将它们水平掷出，两只飞镖插在靶上的状态如图所示（侧视图），下列说法正确的是（　　）
A．飞镖A的初速度小于飞镖B的初速度
B．飞镖A的加速度小于飞镖B的加速度
C．飞镖A在空中运动的时间等于飞镖B在空中运动的时间
D．飞镖A在空中运动时的速度变化量小于飞镖B在空中运动时的速度变化量
【答案】D
【解析】ABC．由题意可知，两飞镖做平抛运动，则加速度都为重力加速度，在竖直方向上由公式
解得
可知飞镖B下落的高度大，则飞镖B在空中运动时间比飞镖A在空中运动时间长，由
由于两飞镖的水平位移相等，则飞镖A的初速度大于飞镖B的初速度，故ABC错误；
D．两飞镖的加速度相等，都是重力加速度g，因飞镖A在空中运动时间小于飞镖B在空中运动时间，由
可知，飞镖A在空中运动时的速度变化量小于飞镖B在空中运动时的速度变化量，故D正确。故选D。
5．某同学对着竖直墙面练习投篮，在同一高度的A、B两点先后将球斜向上投出，球均能垂直打在竖直墙上的同一点P点，不计空气阻力，则关于球投出后先后在空中的运动，下列说法正确的是（　　）
A．第二次球被抛出的速度大 B．第一次在空中运动的时间长
C．两次在空中运动的时间相等 D．两次在最高点时速度相等
【答案】C
【解析】BC．根据题意，将篮球看成反向平抛运动，篮球在竖直方向的高度相同，根据公式可得，篮球在空中的飞行时间为
可知，两次在空中运动的时间相等，故B错误，C正确；
D．根据题意，将篮球看成反向平抛运动，篮球在最高点的速度即为平抛运动的初速度，由图可知，从最高点平抛运动到点的水平距离较大，由水平方向上公式可得，
可知，从最高点平抛运动到点的初速度较大
即从点抛出的篮球在最高点的速度大，故D错误；
A．根据题意，将篮球看成反向平抛运动，由平抛运动规律可知，落地速度为
由于
可得
即第一次抛出时的速度大，故A错误。故选C。
6．如图所示，从水平地面上A、B两点同时抛出两个物体，初速度分别为v1和v2，与水平方向的夹角分别为30°和60°。某时刻两物体恰好在AB连线上一点O（图中未画出）的正上方相遇，且此时两物体的速度均沿水平方向（不计空气阻力）。则（　　）
A．v1＞v2 B．v1＝v2 C．OA＝OB D．OA＜OB
【答案】A
【解析】AB．两小球在竖直方向做竖直上抛运动，设t时刻两物体恰好在AB连线上一点O的正上方相遇，则竖直方向有
即
故A正确，B错误；
CD．两小球在水平方向做匀速直线运动，则有
，
可得
故CD错误。故选A。
7．如图，在某次比赛中，排球从底线A点的正上方以某一速度水平发出，排球正好擦着球网落在对方底线的B点上，且AB平行于边界CD。已知网高为h，球场的长度为s，重力加速度为g，不计空气阻力且排球可看成质点，则排球被发出时，击球点的高度H和水平初速度v分别为（　　）
A．H＝2h B．H＝h C．v＝ D．v＝
【答案】D
【解析】AB．排球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，有
x＝vt
则排球从初位置运动到网的位置与排球从初位置到落地的时间之比为
t1∶t2＝∶s＝1∶2
排球在竖直方向上做自由落体运动，由
H－h＝gt12，H＝gt22
得
＝＝
解得
H＝h
故AB错误；
CD．排球从被发出至落在B点的过程中有
s＝vt
所以
v＝＝
故C错误，D正确。故选D。
8．如图所示，倾角为37°的斜面体固定放置在水平面上，斜面的高度为，点是A点正上方与点等高的点，让一小球（视为质点）从点水平向左抛出，落在斜面的点，已知、两点的连线与斜面垂直，重力加速度为g，、，下列说法正确的是（　　）
A．小球在点的速度为
B．小球从点到点的运动时间为
C．小球在点的速度大小为
D．小球在点的速度与水平方向夹角的正切值为2
【答案】A
【解析】AB．过点作的垂线与的交点为，设平抛运动的水平位移为，即、两点之间的距离为，如图所示
由几何关系可得
由平抛运动的规律可得
，
解得
、、
A正确、B错误；
CD．小球在点沿竖直方向的分速度为
小球在点的速度大小为
与水平方向夹角的正切值为
解得
，
CD错误。故选A。
二、多选题
9．以速度v0水平抛出一球，某时刻其竖直分位移与水平分位移相等，则下列判断中正确的是（　　）
A．竖直分速度等于水平分速度
B．此时球的速度大小为
C．运动时间为
D．运动的位移是
【答案】BCD
【解析】AC．设物体抛出后经时间t竖直分位移和水平分位移相等，此时有
解得
竖直分速度为
vy=gt=2v0
故A错误，C正确；
B．根据速度的合成可知瞬时速度为
故B正确；
D．水平分位移为
则物体运动的合位移为
故D正确。故选BCD。
10．如图，倾角为α=45°的斜面ABC固定在水平面上，质量为m的小球从顶点A先后以初速度和向左水平抛出，分别落在斜面上的、点，经历的时间分别为、；A点与、之间的距离分别为和，不计空气阻力影响。下列说法正确的是（　　）
A．：=1：1
B．：=1：4
C．两球刚落到斜面上时的速度比为1：4
D．两球落到斜面上时的速度与斜面的夹角正切值的比为1：1
【答案】BD
【解析】A．小球从顶点A先后水平抛出，都落在斜面上，斜面倾角α即为平抛的位移与水平方向的夹角，设θ为平抛的末速度与水平方向的夹角，则有
所以
A错误；D．由以上分析得，两球末速度与水平方向的夹角相等，则两球落到斜面上时的速度与斜面的夹角也相等，D正确；B．由几何关系得
B正确；C．两球刚落到斜面上时的速度比为
C错误。故选BD。
11．如图所示，a、b两点在同一竖直线上，现同时分别在a、b两点抛出两个小球甲、乙，甲球的速度大小为，方向水平向右，乙球的速度大小为，方向与水平方向的夹角为60°斜向右上方，两球在c点（未画出）相碰。已知碰前瞬间乙球速度方向水平，则下列判断正确的是（　　）
A．a、c两点竖直方向的距离等于b、c两点竖直方向的距离
B．甲，乙两球相碰前瞬间甲球的速率与乙球速率相等
C．甲、乙两球自抛出至相碰前瞬间速度变化相等
D．甲、乙两球抛出时的速度大小与之比为
【答案】ACD
【解析】A．设经过时间t，两球相遇，在竖直方向上，球a做自由落体运动，相遇时的竖直分速度
下降的高度
在竖直方向上，球b做竖直上抛运动，相遇时竖直分速度减小到零，因此
竖直初速度
上升的高度
A正确；
B．由于在空中相遇，两球水平分速度相等，相遇前瞬间，球a的竖直分速度为gt，而球b的竖直分速度为零，因此两球的速率不同，B错误；C．根据
两球的加速度均为重力加速度，运动时间相等，因此速度变化相等，C正确；D．由于两球的水平分速度相等，即
可知
D正确。故选ACD。
三、实验题
12．平抛运动的轨迹是曲线，比直线运动复杂。我们可以按照把复杂的曲线运动分解为两个相对简单的直线运动的思路，分别研究物体在竖直方向和水平方向的运动特点。
如图1所示，将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上。钢球沿斜槽轨道PO滑下后从O点飞出，落在水平挡板MN上。由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。
（1）为了保证钢球从O点飞出的初速度是一定的，下列实验条件必须满足的是______。
A．斜槽轨道光滑
B．斜槽轨道末段水平
C．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球
（2）另一位同学做实验时，忘记了标记平抛运动的抛出点O，只记录了A、B、C三点，于是就取A点为坐标原点，建立了如图3所示的坐标系。平抛轨迹上的这三点坐标值图中已标出。根据图中数据判断，A点______（填“是”或“不是”）平抛运动的抛出点。小球平抛的初速度为_____m/s，小球抛出点的坐标为（____cm，_____cm）。（取g=10m/s2，计算结果均保留两位有效数字）。
【答案】 （1）BC （2）不是 1.5 -30 -20
【解析】（1）[1] A．斜槽轨道是否光滑对实验无影响，故A错误；
B．为保证小球到达斜槽末端时水平抛出，则必须要使斜槽末端水平，故B正确；
C．为保证小球到达斜槽末端的速度相同，则小球每次都从斜槽的同一位置从静止滚下，故C正确。故选BC。
（2）[2]因A点到B点与B点到C点的水平位移相等，则时间相等；而竖直位移之比为3：5，不是从1开始的连续奇数比，可知A点不是平抛的起点。
[3][4][5]根据
可得
则初速度
点竖直方向的速度为
解得从抛出点到B点的时间
则抛出点到B点竖直方向位移
水平方向的位移
根据
解得
四、解答题
13．如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度处有一小球以水平速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上，已知重力加速度为g，不计空气阻力。试求
（1）小球从抛出到落在斜面上的运动时间？
（2）小球从抛出到距斜面底端的高度？
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设小球打到斜面上的时间为t，恰好垂直打在斜面上，根据几何关系可得
解得
（2）根据平抛运动规律有
小球垂直打到斜面上，根据几何关系得
将代入解得
14．甲、乙两名同学在操场上用两个篮球（可视为质点）玩“空中击球”游戏，如图所示，甲同学在O点将篮球A以速度v斜向上抛出，使得篮球能够从乙同学正上方经过，乙同学选择合适时机，将篮球B从与O点等高的Q点以的初速度竖直向上抛出，篮球A经过最高点M后，在下降过程中经过P点时被正在上升的篮球B恰好击中，N位于OQ连线上且在M点正下方，已知O、N两点距离，N、Q两点距离，P、Q两点距离，不计空气阻力，重力加速度，求：
（1）篮球A抛出的初速度v；
（2）篮球B延迟于篮球A多长时间抛出。
【答案】（1）15m/s；（2）0.8s
【解析】（1）设M、N间距为H，篮球A抛出的初速度为v，其水平和竖直分速度分别为vx和vy则有
解得
t1=1.2s
t2=0.4s
v=15m/s
（2）B球上抛过程有
解得
t3=0.8
或
t3=1.6s（舍去）
所以篮球B延迟于篮球A的时间为