6.2 向心力 高一物理下学期同步学案 典例 练习（人教版2019必修第二册）（含答案）

6.2 向心力
一、向心力
1.定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向 ，这个指向圆心的力叫作 .
2.方向：始终沿着 指向 .
3.作用：只改变速度的 ，不改变速度的 .
4.向心力是根据力的作用效果命名的，它由某个力或者几个力的合力提供.
5.表达式：
(1)Fn＝ (2)Fn＝ .
二、变速圆周运动和一般的曲线运动
1.变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图所示.
(1)跟圆周 的分力Ft：改变线速度的 .
(2)指向圆心的分力Fn：改变线速度的 .
2.一般的曲线运动的处理方法
(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动.
(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，每一小段可以看作 运动的一部分，分析质点经过曲线上某位置的 时，可以采用圆周运动的分析方法来处理.
考点一：用控制变量法验证向心力公式
【例1】 利用如图所示的装置可以探究影响向心力大小的因素。将小球放置在横臂的挡板处，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，两小球随之做匀速圆周运动。横臂的挡板对小球的压力提供了小球做匀速圆周运动的向心力，小球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，可显示两小球所受向心力的大小情况。通过本实验可以得到的正确结论是（　　）
A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比
C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成反比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
【变式练习】
1．如图所示，图甲为“向心力演示器验证向心力公式”的实验示意图，图乙为俯视图。图中A、B槽分别与a、b轮同轴固定，且a、b轮半径相同.让a、b轮在皮带传动下匀速转动，可以探究向心力大小与哪些因素有关。本实验采用的科学方法是（　　）
A．放大法 B．微元法
C．控制变量法 D．理想模型法
2．用如图所示的向心力演示器“探究向心力大小的表达式”实验中，用到的科学方法是（　　）
A．微元法 B．理想实验法 C．等效替代法 D．控制变量法
考点二：向心力的有关计算
【例2】如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，这个过程简化为下图的情景，水平板上放一个物体，使水平板和物体一起在竖直平面内做匀速圆周运动，为水平直径，为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，下列说法正确的是（　　）
A．在最低点时，物块所受支持力等于物块的重力
B．物块所受合外力不变
C．除c、d两点外，物块都要受摩擦力
D．c、d两点，物块所受支持力相同
【变式练习】
1．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。若圆筒和物体以更大的角速度做匀速转动，下列说法正确的是（　　）
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大 B．物体所受弹力增大，摩擦力减小
C．物体所受弹力减小，摩擦力也减小 D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
2．下课后，小丽在运动场上荡秋千，如右图所示。已知每根系秋千的绳子长为4m，小丽的质量为40kg，当秋干板摆到最低点时，速度为3m/s。问此时每根绳子的拉力是多少？（g =10m/s2，小丽看成质点处理，秋千绳、底座等不计质量）（　　）
A．490N B．245N C．400N D．310N
一、实验：探究向心力的大小与半径、角速度、质量的关系
探究方案一　用绳和沙袋定性研究
1.实验原理
如图(a)所示，绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此时沙袋所受的向心力近似等于绳对沙袋的拉力.
2.实验步骤
在离小沙袋重心40 cm的地方打一个绳结A，在离小沙袋重心80 cm的地方打另一个绳结B.同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤操作：
操作一　手握绳结A，如图(b)所示，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒转动1周.体会此时绳子拉力的大小.
操作二　手仍然握绳结A，但使沙袋在水平面内每秒转动2周，体会此时绳子拉力的大小.
操作三　改为手握绳结B，使沙袋在水平面内每秒转动1周，体会此时绳子拉力的大小.
操作四　手握绳结A，换用质量较大的沙袋，使沙袋在水平面内每秒转动1周，体会此时绳子拉力的大小.
(1)通过操作一和二，比较在半径、质量相同的情况下，向心力大小与角速度的关系.
(2)通过操作一和三，比较在质量、角速度相同的情况下，向心力大小与半径的关系.
(3)通过操作一和四，比较在半径、角速度相同的情况下，向心力大小与质量的关系.
3.实验结论：半径越大，角速度越大，质量越大，向心力越大.
探究方案二　用向心力演示器定量探究
1.实验原理
向心力演示器如图所示，匀速转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动.皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动.小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值.
2.实验步骤
(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系.
(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系.
(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系.
探究方案三　利用力传感器和光电传感器探究
1.实验原理与操作
如图所示，利用力传感器测量重物做圆周运动的向心力，利用天平、刻度尺、光电传感器分别测量重物的质量m、做圆周运动的半径r及角速度ω.实验过程中，力传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示力的大小.光电传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示挡光杆挡光的时间，由挡光杆的宽度和挡光杆做圆周运动的半径，可得到重物做圆周运动的角速度.
实验时采用控制变量法，分别研究向心力与质量、半径、角速度的关系.
2.实验结论：
①在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比.
②在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比.
③在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比.
二、向心力的理解及来源分析
1.对向心力的理解
(1)向心力大小：Fn＝m＝mω2r＝m2r.
(2)向心力的方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力.
(3)向心力的作用效果——改变线速度的方向.由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小.
2.向心力的来源分析
向心力是根据力的作用效果命名的.它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供.
(1)当物体做匀速圆周运动时，由于物体线速度大小不变，沿切线方向的合外力为零，物体受到的合外力一定指向圆心，以提供向心力.
(2)当物体做非匀速圆周运动时，其向心力为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合外力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小.
三、匀速圆周运动问题分析
1.匀速圆周运动问题的求解方法
圆周运动问题仍属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况.
解答有关匀速圆周运动问题的一般方法步骤：
(1)确定研究对象、轨迹圆周(含圆心、半径和轨道平面).
(2)受力分析，确定向心力的大小(合成法、正交分解法等).
(3)根据向心力公式列方程，必要时列出其他相关方程.
(4)统一单位，代入数据计算，求出结果或进行讨论.
2.几种常见的匀速圆周运动实例
图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程及向心加速度
或mgtan θ＝mω2lsin θ
或mgtan θ＝mω2r
或mgtan θ＝mω2r
四、变速圆周运动和一般的曲线运动
1.变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向两个作用效果.
(2)某一点的向心力仍可用公式Fn＝m＝mω2r求解.
2.一般的曲线运动
曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理.
(1)合外力方向与速度方向夹角为锐角时，速率越来越大.
(2)合外力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小.
一、单选题
1．如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是（　　）
A．小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B．向心力由细线对小球的拉力提供
C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D．向心力的大小等于
2．在水平面上，小猴拉着水平绳子牵引小滑块做匀速圆周运动，O点为圆心，能正确地表示小滑块受到的绳子拉力F及摩擦力的图是（　　）
A． B．
C． D．
3．向心力演示器如图所示。把两个质量相同的小球分别放在长槽和短槽内，使它们做圆周运动的半径相同，依次调整塔轮上的皮带的位置，匀速转动手柄，可以探究（　　）
A．向心力的大小与质量的关系
B．向心力的大小与半径的关系
C．向心力的大小与角速度的关系
D．向心力的大小与手柄转速的关系
4．如图所示，位于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R，质量分别为m1和m2的两带孔小球穿于环上。当圆环最终以角速度ω绕竖直直径匀速转动时，发现两小球均离开了原位置，它们和圆心的连线与竖直方向的夹角分别记为θ1和θ2，下列说法正确的是（　　）
A．若m1>m2，则θ1>θ2
B．若m1θ2
C．θ1和θ2总是相等，与m1和m2的大小无关
D．以上说法均错误
5．如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗的碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使得木块的速率不变，则（　　）
A．木块下滑的过程中受重力、弹力、摩擦力和向心力4个力作用
B．因为速率不变，所以木块加速度为零
C．木块下滑的过程中所受的合力越来越大
D．木块下滑过程中加速度大小不变，方向时刻指向球心
6．飞机由俯冲转为上升的一段轨迹可以看成圆弧，如图所示，如果这段圆弧的半径r=800m，飞行员能承受的力最大为自身重力的8倍。飞机在最低点P的速率不得超过（g=10m/s2）（　　）
A．m/s B． C． D．
7．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（　　）
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了
C．物体所受弹力和摩擦力都减小了
D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
8．过山车的部分轨道可简化为半径为、的圆，其底部位于同一水平面上，。质量为的一节过山车（可简化为质点）以某一速度滑上半径为的轨道时，恰好能通过轨道的最高点；若过山车通过轨道的最高点时速度恰好与通过的最高点时相等，则过山车通过的最高点时对轨道压力为（　　）
A．0 B． C． D．
二、多选题
9．在地球上空的空间站中，宇航员长期处于失重状态。为缓解这种状态带来的不适，科学家设想建造一种环形空间站，如图所示，圆环绕中心轴匀速旋转，宇航员站在旋转舱内的侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。已知地球表面的重力加速度大小为g，圆环中心轴到旋转舱内侧壁的距离为圆环的半径r，宇航员可视为质点，那么在实验过程中，下列分析正确的是（　　）
A．宇航员在旋转舱内的侧壁上随着旋转舱做匀速圆周运动
B．旋转舱绕其轴线转动的角速度大小为
C．旋转舱绕其轴线转动的周期大小为
D．航天员在旋转舱内的惯性消失，惯性大小与在地球上明显不同了
10．如图所示，在光滑水平面上，质量为m1、m2的两个小球用原长为l0的轻弹簧连接在一起，再用长为l1的细线拴在轴O上，使m1和m2都以相同的角速度ω绕轴O做匀速圆周运动，并保证m1、m2、O点三者始终在同一条直线上。若m1、m2两球之间的距离为l2，则下列说法正确的是（　　）
A．m1的向心力由细线拉力提供，m2的向心力由弹簧拉力提供
B．弹簧的劲度系数为
C．烧断细线的瞬间m1的加速度大小为
D．烧断细线的瞬间m1的加速度大小为
11．如图所示，甲、乙两水平圆盘紧靠在一块，甲圆盘为主动轮，乙靠摩擦随甲无打滑转动。甲圆盘与乙圆盘的半径之比为r甲∶r乙＝2∶1，两圆盘和小物体m1、m2之间的动摩擦因数相同，m1距O点为2r，m2距O′点为r，当甲缓慢转动起来且转速慢慢增加时（　　）。
A．与圆盘相对滑动前m1与m2的角速度之比ω1∶ω2＝2∶1
B．与圆盘相对滑动前m1与m2的向心加速度之比a1∶a2＝1∶2
C．随转速慢慢增加，m1先开始滑动
D．随转速慢慢增加，m2先开始滑动
三、实验题
12．小吴同学用如题图甲所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度和半径r之间的关系，塔轮自上而下有三层，每层左右半径之比由上至下分别是1：1，2：1和3：1（如题图乙所示）。左右塔轮通过不打滑的传动皮带连接，并可通过改变传动皮带所处的层来改变左右塔轮的角速度之比，实验时，将两个小球分别放在短槽的C处和长槽的A（或B）处，A、C分别到左右塔轮中心的距离相等，B到左塔轮中心的距离是A到左塔轮中心距离的2倍，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮一起匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值。请回答相关问题：
（1）在某次实验中，小吴同学把两个质量相等的钢球放在B、C位置，将传动皮带调至第一层塔轮，转动手柄，观察左右标出的刻度，此时可研究向心力的大小与_________的关系；A．质量m　　B．角速度　　C．半径r
（2）若传动皮带套在塔轮第三层，则塔轮转动时，A、C两处的角速度之比为_________；
（3）在另一次实验中，小吴同学把两个质量相等的钢球放在A、C位置。传动皮带位于第二层，转动手柄，则当塔轮匀速转动时，左右两标尺的露出的格子数之比为_________。
四、解答题
13．如图（a）所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，小球C用细绳拴在铁钉B上（细绳能承受足够大的拉力），A、B、C在同一直线上。时，给小球一个垂直于绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动。在时间内，细绳的拉力随时间变化的规律如图（b）所示，则：
（1）两钉子间的距离为绳长的几分之几？
（2）时细绳的拉力大小？
（3）时细绳的拉力大小？
14．如图所示，轻线一端系一质量为的小球，另一端套在图钉A上，此时小球在光滑的水平平台上做半径为、角速度为的匀速圆周运动。现拔掉图钉A让小球飞出，此后细绳又被A正上方距A高为的图钉B套住，达到稳定后，小球又在平台上做匀速圆周运动。求：
（1）图钉A拔掉前，细绳对小球的拉力大小；
（2）从拔掉图钉A到细绳被图钉B套住前小球做什么运动？所用的时间为多少。
6.2 向心力
一、向心力
1.定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向 ，这个指向圆心的力叫作 .
2.方向：始终沿着 指向 .
3.作用：只改变速度的 ，不改变速度的 .
4.向心力是根据力的作用效果命名的，它由某个力或者几个力的合力提供.
5.表达式：
(1)Fn＝ (2)Fn＝ .
二、变速圆周运动和一般的曲线运动
1.变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图所示.
(1)跟圆周 的分力Ft：改变线速度的 .
(2)指向圆心的分力Fn：改变线速度的 .
2.一般的曲线运动的处理方法
(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动.
(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，每一小段可以看作 运动的一部分，分析质点经过曲线上某位置的 时，可以采用圆周运动的分析方法来处理.
【参考答案】圆心 向心力 半径 圆心 方向 大小 m mω2r 相切 大小 方向
圆周 运动
考点一：用控制变量法验证向心力公式
【例1】 利用如图所示的装置可以探究影响向心力大小的因素。将小球放置在横臂的挡板处，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，两小球随之做匀速圆周运动。横臂的挡板对小球的压力提供了小球做匀速圆周运动的向心力，小球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，可显示两小球所受向心力的大小情况。通过本实验可以得到的正确结论是（　　）
A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比
C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成反比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
【答案】B
【详解】A．根据
可知，在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的平方成正比，故A错误；B．根据
可知，在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比，故B正确；C．根据
在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比，故C错误；D．根据
在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比，故D错误。故选B。
【变式练习】
1．如图所示，图甲为“向心力演示器验证向心力公式”的实验示意图，图乙为俯视图。图中A、B槽分别与a、b轮同轴固定，且a、b轮半径相同.让a、b轮在皮带传动下匀速转动，可以探究向心力大小与哪些因素有关。本实验采用的科学方法是（　　）
A．放大法 B．微元法
C．控制变量法 D．理想模型法
【答案】C
【详解】该实验要探究向心力与质量、角速度和半径的关系，则采用的方法是控制变量法。
故选C。
2．用如图所示的向心力演示器“探究向心力大小的表达式”实验中，用到的科学方法是（　　）
A．微元法 B．理想实验法 C．等效替代法 D．控制变量法
【答案】D
【详解】在探究“向心力大小的表达式”实验中，用到的主要科学方法为控制变量法，即控制质量、角速度、轨道半径三个物理量中的两个保持不变，探究向心力与另一个物理量的关系。故选D。
考点二：向心力的有关计算
【例2】如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，这个过程简化为下图的情景，水平板上放一个物体，使水平板和物体一起在竖直平面内做匀速圆周运动，为水平直径，为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，下列说法正确的是（　　）
A．在最低点时，物块所受支持力等于物块的重力
B．物块所受合外力不变
C．除c、d两点外，物块都要受摩擦力
D．c、d两点，物块所受支持力相同
【答案】C
【详解】AD．物块做匀速圆周运动，向心力大小始终不变，根据牛顿第二定律，在c点有
解得
在d点有
解得
故AD错误；B．物块所受合外力提供向心力，大小不变，但方向始终变化，故B错误；C．物体所受重力和支持力始终在竖直方向，而向心力方向始终指向圆心，只有在c、d两点，仅靠重力和支持力的合力就可以提供向心力，而在c、d两点外，物块都要受摩擦力，才能使合外力满足指向圆心，故C正确。故选C。
【变式练习】
1．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。若圆筒和物体以更大的角速度做匀速转动，下列说法正确的是（　　）
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大 B．物体所受弹力增大，摩擦力减小
C．物体所受弹力减小，摩擦力也减小 D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
【答案】D
【详解】物体在竖直方向上静摩擦力始终平衡重力，所以摩擦力不变。水平方向上，物体所受弹力提供向心力，由于物体随圆筒转动的角速度增大，向心力增大，所以弹力增大。故选D。
2．下课后，小丽在运动场上荡秋千，如右图所示。已知每根系秋千的绳子长为4m，小丽的质量为40kg，当秋干板摆到最低点时，速度为3m/s。问此时每根绳子的拉力是多少？（g =10m/s2，小丽看成质点处理，秋千绳、底座等不计质量）（　　）
A．490N B．245N C．400N D．310N
【答案】B
【详解】以秋千板在最低点时进行受力分析，设每根绳子的拉力为T，则
代入数据解得T=245N，故B正确。故选B。
一、实验：探究向心力的大小与半径、角速度、质量的关系
探究方案一　用绳和沙袋定性研究
1.实验原理
如图(a)所示，绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此时沙袋所受的向心力近似等于绳对沙袋的拉力.
2.实验步骤
在离小沙袋重心40 cm的地方打一个绳结A，在离小沙袋重心80 cm的地方打另一个绳结B.同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤操作：
操作一　手握绳结A，如图(b)所示，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒转动1周.体会此时绳子拉力的大小.
操作二　手仍然握绳结A，但使沙袋在水平面内每秒转动2周，体会此时绳子拉力的大小.
操作三　改为手握绳结B，使沙袋在水平面内每秒转动1周，体会此时绳子拉力的大小.
操作四　手握绳结A，换用质量较大的沙袋，使沙袋在水平面内每秒转动1周，体会此时绳子拉力的大小.
(1)通过操作一和二，比较在半径、质量相同的情况下，向心力大小与角速度的关系.
(2)通过操作一和三，比较在质量、角速度相同的情况下，向心力大小与半径的关系.
(3)通过操作一和四，比较在半径、角速度相同的情况下，向心力大小与质量的关系.
3.实验结论：半径越大，角速度越大，质量越大，向心力越大.
探究方案二　用向心力演示器定量探究
1.实验原理
向心力演示器如图所示，匀速转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动.皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动.小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值.
2.实验步骤
(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系.
(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系.
(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系.
探究方案三　利用力传感器和光电传感器探究
1.实验原理与操作
如图所示，利用力传感器测量重物做圆周运动的向心力，利用天平、刻度尺、光电传感器分别测量重物的质量m、做圆周运动的半径r及角速度ω.实验过程中，力传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示力的大小.光电传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示挡光杆挡光的时间，由挡光杆的宽度和挡光杆做圆周运动的半径，可得到重物做圆周运动的角速度.
实验时采用控制变量法，分别研究向心力与质量、半径、角速度的关系.
2.实验结论：
①在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比.
②在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比.
③在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比.
二、向心力的理解及来源分析
1.对向心力的理解
(1)向心力大小：Fn＝m＝mω2r＝m2r.
(2)向心力的方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力.
(3)向心力的作用效果——改变线速度的方向.由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小.
2.向心力的来源分析
向心力是根据力的作用效果命名的.它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供.
(1)当物体做匀速圆周运动时，由于物体线速度大小不变，沿切线方向的合外力为零，物体受到的合外力一定指向圆心，以提供向心力.
(2)当物体做非匀速圆周运动时，其向心力为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合外力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小.
三、匀速圆周运动问题分析
1.匀速圆周运动问题的求解方法
圆周运动问题仍属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况.
解答有关匀速圆周运动问题的一般方法步骤：
(1)确定研究对象、轨迹圆周(含圆心、半径和轨道平面).
(2)受力分析，确定向心力的大小(合成法、正交分解法等).
(3)根据向心力公式列方程，必要时列出其他相关方程.
(4)统一单位，代入数据计算，求出结果或进行讨论.
2.几种常见的匀速圆周运动实例
图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程及向心加速度
或mgtan θ＝mω2lsin θ
或mgtan θ＝mω2r
或mgtan θ＝mω2r
四、变速圆周运动和一般的曲线运动
1.变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向两个作用效果.
(2)某一点的向心力仍可用公式Fn＝m＝mω2r求解.
2.一般的曲线运动
曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理.
(1)合外力方向与速度方向夹角为锐角时，速率越来越大.
(2)合外力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小.
一、单选题
1．如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是（　　）
A．小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B．向心力由细线对小球的拉力提供
C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D．向心力的大小等于
【答案】C
【详解】ABC．对小球受力分析可知，小球受到重力、细线的拉力两个力，这两个力的合力提供向心力，也可把拉力分解，拉力的水平分力提供向心力，如图所示，AB错误，C正确；D．向心力的大小
D错误。故选C。
2．在水平面上，小猴拉着水平绳子牵引小滑块做匀速圆周运动，O点为圆心，能正确地表示小滑块受到的绳子拉力F及摩擦力的图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】小滑块做匀速圆周运动，绳子拉力和摩擦力的合力充当向心力，指向圆心。而摩擦力总是与滑块的速度方向相反，故摩擦力方向为轨迹的切线方向，故拉力应有与摩擦力方向相反的分力，同时有指向圆心的分力。故选A。
3．向心力演示器如图所示。把两个质量相同的小球分别放在长槽和短槽内，使它们做圆周运动的半径相同，依次调整塔轮上的皮带的位置，匀速转动手柄，可以探究（　　）
A．向心力的大小与质量的关系
B．向心力的大小与半径的关系
C．向心力的大小与角速度的关系
D．向心力的大小与手柄转速的关系
【答案】C
【详解】根据
F=mω2r
两球质量相同，转动半径相同，则依次调整塔轮上的皮带的位置可改变角速度，则该实验可以探究向心力的大小与角速度的关系。故选C。
4．如图所示，位于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R，质量分别为m1和m2的两带孔小球穿于环上。当圆环最终以角速度ω绕竖直直径匀速转动时，发现两小球均离开了原位置，它们和圆心的连线与竖直方向的夹角分别记为θ1和θ2，下列说法正确的是（　　）
A．若m1>m2，则θ1>θ2
B．若m1θ2
C．θ1和θ2总是相等，与m1和m2的大小无关
D．以上说法均错误
【答案】C
【详解】小球所受重力和环的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律可得
解得
说明小球和圆心的连线与竖直方向的夹角θ与小球的质量无关，故ABD错误，C正确。故选C。
5．如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗的碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使得木块的速率不变，则（　　）
A．木块下滑的过程中受重力、弹力、摩擦力和向心力4个力作用
B．因为速率不变，所以木块加速度为零
C．木块下滑的过程中所受的合力越来越大
D．木块下滑过程中加速度大小不变，方向时刻指向球心
【答案】D
【详解】A．木块下滑的过程中受重力、弹力、摩擦力3个力作用，这3个力的合力提供木块所需要的向心力，故A错误；B．木块下滑时速率不变，速度方向发生变化，木块做变速运动，所以木块加速度不为零，故B错误；C．木块下滑时做匀速圆周运动，所受的合力提供木块所需要的向心力，即合力大小为
即合力大小不变，故C错误；D．木块下滑时做匀速圆周运动，加速度大小不变，方向时刻指向球心，故D正确。故选D。
6．飞机由俯冲转为上升的一段轨迹可以看成圆弧，如图所示，如果这段圆弧的半径r=800m，飞行员能承受的力最大为自身重力的8倍。飞机在最低点P的速率不得超过（g=10m/s2）（　　）
A．m/s B． C． D．
【答案】D
【详解】飞机在最低点做圆周运动，飞行员能承受的力最大不得超过8mg才能保证飞行员安全，设飞机给飞行员竖直向上的力为FN，则有
且
FN≤8mg
解得
故飞机在最低点P的速率不得超过。故选D。
7．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（　　）
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了
C．物体所受弹力和摩擦力都减小了
D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
【答案】D
【详解】物体做匀速圆周运动，合力指向圆心，对物体受力分析，受重力、竖直向上的静摩擦力、指向圆心的支持力，如图所示
重力G与静摩擦力f平衡，即
G = f
则静摩擦力不变，且与物体的角速度无关，因为支持力N提供向心力，即
N = mrω2
所以当圆筒的角速度ω增大以后，需要的向心力变大，则物体所受弹力N增大。故选D。
8．过山车的部分轨道可简化为半径为、的圆，其底部位于同一水平面上，。质量为的一节过山车（可简化为质点）以某一速度滑上半径为的轨道时，恰好能通过轨道的最高点；若过山车通过轨道的最高点时速度恰好与通过的最高点时相等，则过山车通过的最高点时对轨道压力为（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【详解】过山车恰好经过半径为轨道的最高点，由牛顿第二定律得
解得
以同样速度通过半径为轨道的最高点时
由于，解得
故ABD错误，C正确。故选C。
二、多选题
9．在地球上空的空间站中，宇航员长期处于失重状态。为缓解这种状态带来的不适，科学家设想建造一种环形空间站，如图所示，圆环绕中心轴匀速旋转，宇航员站在旋转舱内的侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。已知地球表面的重力加速度大小为g，圆环中心轴到旋转舱内侧壁的距离为圆环的半径r，宇航员可视为质点，那么在实验过程中，下列分析正确的是（　　）
A．宇航员在旋转舱内的侧壁上随着旋转舱做匀速圆周运动
B．旋转舱绕其轴线转动的角速度大小为
C．旋转舱绕其轴线转动的周期大小为
D．航天员在旋转舱内的惯性消失，惯性大小与在地球上明显不同了
【答案】AB
【详解】A．由题意可知宇航员在旋转舱内的侧壁上随着旋转舱做匀速圆周运动，故A正确；B．为了使航天员受到与他站在地球表面时相同大小的支持力，设旋转舱绕其轴线转动的角速度大小为ω，根据牛顿第二定律有
解得
故B正确；C．旋转舱绕其轴线转动的周期大小为
故C错误；D．航天员的惯性与航天员的质量有关，与所处位置和运动状态无关，所以航天员在空间站内的惯性大小与他在地球上相同，故D错误。故选AB。
10．如图所示，在光滑水平面上，质量为m1、m2的两个小球用原长为l0的轻弹簧连接在一起，再用长为l1的细线拴在轴O上，使m1和m2都以相同的角速度ω绕轴O做匀速圆周运动，并保证m1、m2、O点三者始终在同一条直线上。若m1、m2两球之间的距离为l2，则下列说法正确的是（　　）
A．m1的向心力由细线拉力提供，m2的向心力由弹簧拉力提供
B．弹簧的劲度系数为
C．烧断细线的瞬间m1的加速度大小为
D．烧断细线的瞬间m1的加速度大小为
【答案】BD
【详解】A．m1的向心力由细线拉力和弹簧弹力的合力提供，m2的向心力由弹簧拉力提供，故A错误；B．设弹簧的劲度系数为k，对m2根据牛顿第二定律有
解得
故B正确；CD．烧断细线的瞬间，细线对m1的拉力突变为0，而弹簧对m1的弹力不发生突变，所以根据牛顿第二定律可得m1的加速度为
故C错误，D正确。故选BD。
11．如图所示，甲、乙两水平圆盘紧靠在一块，甲圆盘为主动轮，乙靠摩擦随甲无打滑转动。甲圆盘与乙圆盘的半径之比为r甲∶r乙＝2∶1，两圆盘和小物体m1、m2之间的动摩擦因数相同，m1距O点为2r，m2距O′点为r，当甲缓慢转动起来且转速慢慢增加时（　　）。
A．与圆盘相对滑动前m1与m2的角速度之比ω1∶ω2＝2∶1
B．与圆盘相对滑动前m1与m2的向心加速度之比a1∶a2＝1∶2
C．随转速慢慢增加，m1先开始滑动
D．随转速慢慢增加，m2先开始滑动
【答案】BD
【详解】A．m1的角速度设为ω1，则有
ω1r甲＝ω2r乙
所以有
ω1∶ω2＝1∶2
A错误。B．m1的向心加速度
a1＝2rω12
同理m2的向心加速度
a2＝rω22
所以发现相对滑动前
a1∶a2＝1∶2
B正确。CD．随着转盘慢慢滑动，静摩擦力提供向心力，当开始发生相对滑动时，对m1有
μm1g＝m12rω1′2
可得此时角速度
ω1′＝
此时m2的角速度
ω2′＝2ω1′＝2
此时，m2的向心力
m2rω2′2＝2μm2g
此时已经大于最大静摩擦力μm2g，即m2早于m1开始发生相对滑动，C错误，D正确。故选BD。
三、实验题
12．小吴同学用如题图甲所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度和半径r之间的关系，塔轮自上而下有三层，每层左右半径之比由上至下分别是1：1，2：1和3：1（如题图乙所示）。左右塔轮通过不打滑的传动皮带连接，并可通过改变传动皮带所处的层来改变左右塔轮的角速度之比，实验时，将两个小球分别放在短槽的C处和长槽的A（或B）处，A、C分别到左右塔轮中心的距离相等，B到左塔轮中心的距离是A到左塔轮中心距离的2倍，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮一起匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值。请回答相关问题：
（1）在某次实验中，小吴同学把两个质量相等的钢球放在B、C位置，将传动皮带调至第一层塔轮，转动手柄，观察左右标出的刻度，此时可研究向心力的大小与_________的关系；A．质量m　　B．角速度　　C．半径r
（2）若传动皮带套在塔轮第三层，则塔轮转动时，A、C两处的角速度之比为_________；
（3）在另一次实验中，小吴同学把两个质量相等的钢球放在A、C位置。传动皮带位于第二层，转动手柄，则当塔轮匀速转动时，左右两标尺的露出的格子数之比为_________。
【答案】 C 1:3 1:4
【详解】（1）[1] 第一层皮带传送时线速度相等且半径相等，则两盘转动的角速度相等，将质量相等的两个小球分别放置挡板B和C处，就能保证有不同的半径，根据，可知探究的是向心力和半径的关系；
故选C。
（2）[2] 若传动皮带套在塔轮第三层，同一皮带的线速度相等，而两轮的半径之比为3:1，由可知，两塔轮的角速度之比为1:3；（3）[3]两个球的质量相等，传动皮带位于第二层时因两轮的半径之比为2:1，则由可知，两塔轮的角速度之比为1:2；A、C分别到左右塔轮中心的距离相等即转动时的半径相等，根据可知向心力之比为1:4，左右两标尺的露出的格子数向心力的大小关系，则格子数之比为1:4。
四、解答题
13．如图（a）所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，小球C用细绳拴在铁钉B上（细绳能承受足够大的拉力），A、B、C在同一直线上。时，给小球一个垂直于绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动。在时间内，细绳的拉力随时间变化的规律如图（b）所示，则：
（1）两钉子间的距离为绳长的几分之几？
（2）时细绳的拉力大小？
（3）时细绳的拉力大小？
【答案】（1）；（2）6N；（3）7.5N
【详解】（1）设细绳长为L，由图b可知，在0~6s时间内细绳拉力大小不变，可知
6~10s时间内细绳拉力大小不变，则有
因为
可得
即两钉子间的距离为绳长的。
（2）由图b可知，小球在第一个半圈经历时间为6s，则有
小球在第二个半圈经历时间为
在时，小球在转第二个半圈，则有细绳的拉力大小为6N。
（3）小球转第三个半圈的时间
在时，小球转动的半径为
解得细绳的拉力大小为
14．如图所示，轻线一端系一质量为的小球，另一端套在图钉A上，此时小球在光滑的水平平台上做半径为、角速度为的匀速圆周运动。现拔掉图钉A让小球飞出，此后细绳又被A正上方距A高为的图钉B套住，达到稳定后，小球又在平台上做匀速圆周运动。求：
（1）图钉A拔掉前，细绳对小球的拉力大小；
（2）从拔掉图钉A到细绳被图钉B套住前小球做什么运动？所用的时间为多少。
【答案】（1）；（2）匀速直线运动，
【详解】（1）图钉A拔掉前，细绳对小球的拉力提供向心力，大小为
（2）从拔掉图钉A到细绳被图钉B套住前小球所受合外力为零，做匀速直线运动；小球沿轨迹切线飞出时的速度大小为
飞出后当小球到圆心的距离变为h+a时细绳被图钉B套住，根据几何关系可知小球的位移大小为
所以从拔掉图钉A到细绳被图钉B套住所用的时间为