6.4 生活中的圆周运动 高一物理下学期同步学案 典例 练习（人教版2019必修第二册）（含答案）

6.4 生活中的圆周运动
一、火车转弯
1.如果铁道弯道的内外轨一样高，火车转弯时，由外轨对轮缘的 提供向心力，由于质量太大，因此需要很大的向心力，靠这种方法得到 ，不仅铁轨和车轮极易受损，还可能使火车侧翻.
2.铁路弯道的特点
(1)弯道处外轨略 于内轨.
(2)火车转弯时铁轨对火车的支持力不是竖直向上的，而是斜向弯道的内侧.支持力与重力的合力指向 .
(3)在修筑铁路时，要根据弯道的 和规定的行驶速度，适当选择内外轨的 ，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和弹力FN的合力来提供.
二、拱形桥
汽车过拱形桥 汽车过凹形桥
受力 分析
向心力 Fn＝mg－FN＝ Fn＝FN－mg＝
对桥的 压力 FN′＝ FN′＝
结论 汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力 汽车对桥的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力
三、航天器中的失重现象
1.向心力分析：宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力提供 ，由牛顿第二定律：mg－FN＝m，所以FN＝ .
2.完全失重状态：当v＝时，座舱对宇航员的支持力FN＝ ，宇航员处于完全 状态.
四、离心运动
1.定义：做圆周运动的物体沿 飞出或做逐渐远离 的运动.
2.原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力.
3.离心运动的应用和防止
(1)应用：离心干燥器；洗衣机的脱水筒；离心制管技术；分离血浆和红细胞的离心机.
(2)防止：转动的砂轮、飞轮的转速不能太高；在公路弯道，车辆不允许超过规定的速度.
考点一：绳球类模型及其临界条件
【例1】如图所示，轻质且不可伸长的细绳一端系一质量为的小球，另一端固定在天花板上的点。则小球在竖直平面内摆动的过程中，以下说法正确的是（　　）
A．小球在摆动过程中受到的外力的合力即为向心力
B．在最高点A、B，因小球的速度为零，所以小球受到的合力为零
C．小球在最低点所受的合力，即为向心力
D．小球在摆动过程中绳子的拉力使其速率发生变化
【变式练习】
1．如图所示，长度均为l＝1m的两根轻绳，一端共同系住质量为m＝0.5 kg的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为l，重力加速度g取10 m/s2。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，每根绳的拉力恰好为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小为（　　）
A． B．
C．15N D．
2．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点。当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动。关于小球的运动下列说法正确的是（　　）
A．小球过最高点时的最小速度为零
B．小球过最高点时最小速度为2
C．小球开始运动时绳对小球的拉力为
D．小球运动到与圆心等高处时向心力由细绳的拉力提供
考点二：杆球类模型及其临界条件
【例2】如图所示，一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　）
A．小球在最高点，杆对球的作用力不可能为0
B．小球在A处，杆对球的作用力一定沿杆的方向
C．从A到B过程中，重力做功的瞬时功率不变
D．小球在最低点，杆对球的拉力为
【变式练习】
1．如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球（直径略小于管内径）一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v。已知重力加速度为g，则下列叙述中正确的是（　　）
A．v的最小值为
B．当时，小球处于完全失重状态，不受力的作用
C．当时，轨道对小球的弹力方向竖直向下
D．当v由逐渐减小的过程中，轨道对小球的弹力也逐渐减小
2．如图所示，小球在竖直放置的内壁光滑的圆形细管内做圆周运动，则（　　）
A．小球通过最高点的最小速度为
B．小球通过最低点时一定受到外管壁向上的压力
C．小球通过最低点时可能受到内管壁向下的压力
D．小球通过最高点时一定受到内管壁向上的支持力
考点三：拱桥和凹桥模型
【例3】如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道固定在竖直平面内，A、B两点连线为半圆形轨道的竖直直径，一小球以某一速度从最低点A冲上轨道，运动到最高点B时，小球对轨道的压力大小为自身重力的一半。空气阻力不计，小球可视为质点，则小球落地点C到轨道最低点A的距离为（　　）
A． B．
C． D．
【变式练习】
1．城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，从A端以不变的速率驶过该立交桥，小汽车速度大小为，则（　　）
A．小汽车通过桥顶时处于超重状态
B．小汽车通过桥顶时处于平衡状态
C．小汽车在桥上最高点受到桥面的支持力大小为
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于
2．如图所示，质量为m的物块从半径为R的半球形碗边向碗底滑动，滑到最低点时的速度为，若物块滑到最低点时受到的摩擦力是，则物块与碗的动摩擦因数为（　　）
A． B．
C． D．
考点四：圆锥摆问题
【例4】两个质量相同的小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动则它们的（　　）
A．运动周期相同 B．运动的线速度相同
C．运动的向心力大小相同 D．向心加速度相同
【变式练习】
1．如图所示，一个质量为的小球在水平面内做圆锥摆运动，已知轻绳长度为，绳与竖直方向的夹角为，下述判断不正确的是（　　）
A．小球圆周运动半径
B．小球做圆周运动的向心力
C．绳子的拉力
D．若和不变，绳长增大则绳子的拉力也不变
2．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在水平转台上，转台竖直转轴与过陶罐球心O的对称轴重合。当转台匀速转动时，观察到陶罐内壁上质量为m的小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与的夹角。重力加速度大小为g。下列判断正确的是（ ）
A．转台的角速度一定等于 B．物块的线速度大小可能等于
C．物块所受合力的大小一定等于 D．陶罐壁对物块弹力的大小一定等于2mg
考点五：火车和飞机倾斜转弯问题
【例5】公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，为了减少交通事故的发生，以下措施可行的是（　　）
A．增大汽车的重量
B．提高汽车转弯时的速度
C．将转弯半径设计小些
D．将路面修成外侧路基比内侧路基高些
【变式练习】
1．一段铁路转弯处，内、外轨高度差为h，弯道半径为r，两轨间宽度为L，重力加速度的大小为g，该弯道的设计速度最为适宜的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列说法符合实际的是（　　）
A．汽车在水平路面转弯时，重力与支持力平衡
B．飞机转弯时升力与飞机重力平衡
C．火车转弯时超过规定的速度，内轨一定给轮缘作用力
D．链球运动员拉着链球在加速转动过程中，铁链的拉力一定指向链球运动的圆心
一、火车转弯问题
1.弯道的特点
铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝m，如图所示，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角.
2.速度与轨道压力的关系
(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时内外轨道对火车无挤压作用.
(2)当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力.
(3)当火车行驶速度v二、汽车过桥问题与航天器中的失重现象
1.拱形桥问题
(1)汽车过拱形桥
汽车在最高点满足关系：mg－FN＝m，即FN＝mg－m.
①当v＝时，FN＝0.
②当0≤v<时，0③当v>时，汽车将脱离桥面做平抛运动，易发生危险.
说明：汽车通过拱形桥的最高点时，向心加速度向下，汽车对桥的压力小于其自身的重力，而且车速越大，压力越小，此时汽车处于失重状态.
(2)汽车过凹形桥
汽车在最低点满足关系：FN－mg＝，即FN＝mg＋.
说明：汽车通过凹形桥的最低点时，向心加速度向上，而且车速越大，压力越大，此时汽车处于超重状态.由于汽车对桥面的压力大于其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱形桥多于凹形桥.
2.绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站处于完全失重状态.
(1)质量为M的航天器在近地轨道运行时，航天器的重力提供向心力，满足关系：Mg＝M，则v＝.
(2)质量为m的航天员：设航天员受到的座舱的支持力为FN，则mg－FN＝.
当v＝ 时，FN＝0，即航天员处于完全失重状态.
(3)航天器内的任何物体都处于完全失重状态.
三、离心运动
1.物体做离心运动的原因
提供向心力的合力突然消失，或者合力不能提供足够的向心力.
注意：物体做离心运动并不是物体受到“离心力”作用，而是由于合外力不能提供足够的向心力.所谓“离心力”实际上并不存在.
2.合力与向心力的关系.
(1)若F合＝mrω2或F合＝，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”.
(2)若F合>mrω2或F合>，物体做近心运动，即“提供过度”.
(3)若0(4)若F合＝0，则物体沿切线方向做直线运动.
一、单选题
1．汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧，两车沿半径方向受到的摩擦力分别为和以下说法正确的是（　　）
A．f甲小于f乙 B．f甲等于f乙
C．f甲大于f乙 D．f甲和f乙大小均与汽车速度无关
2．如图，紫贴圆筒内壁的小物块与圆筒一起绕竖直中心轴旋转。提供小物块在水平面内做匀速圆周运动向心力的是（　　）
A．重力 B．弹力
C．摩擦力 D．弹力与摩擦力的合力
3．如图所示，一个杯子放在水平餐桌转盘上随转盘做匀速圆周运动，角速度恒定，则（　　）
A．杯子受重力、支持力、摩擦力和向心力作用
B．杯子受到的摩擦力方向始终指向转盘中心
C．杯子离转盘中心越近越容易做离心运动
D．若给杯子中加水，杯子更容易做离心运动
4．下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是（　　）
A．在双人花样滑冰运动中，被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动，这是由于女运动员受到的拉力和重力平衡
B．洗衣机脱水桶的脱水原理是：水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线方向甩出
C．杂技演员表演“水流星”，当“水流星”恰好能通过最高点，处于完全失重状态时，只受重力的作用
D．在铁路的转弯处，通常要求内轨比外轨高，目的是减轻轮缘与内轨的挤压
5．如图，一质量为M的光滑大圆环，半径为R，用一细轻杆固定在竖直平面内，套在大圆环上的质量为m的小环（可视为质点），从大圆环的最高处由无初速度滑下，重力加速度为g，当小圆环滑到大圆环的最低点时，速度为v，大圆环对轻杆拉力的大小为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示，质量为m的小球（可视为质点）用长为l的轻质细线悬于B点，使小球在水平面内做匀速圆周运动，轨迹圆圆心为O，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．细线与竖直方向夹角为时，小球运动的角速度大小为
B．保持轨迹圆的圆心O到悬点B的距离不变时，细线越长，小球运动的周期越长
C．保持轨迹圆的圆心O到悬点B的距离不变时，细线越长，小球运动的周期越短
D．保持细线与竖直方向夹角不变时，细线越长，小球运动的角速度越小
7．铁路弯道处，外轨比内轨高。当火车以规定速度通过弯道时，所需的向心力完全由火车重力和轨道支持力的合力提供。若列车通过弯道的速度大于，则下列关于轨道与轮缘间侧压力和轨道支持力的说法正确的是（　　）
A．外轨与轮缘间产生侧压力，支持力比速度为时小
B．外轨与轮缘间产生侧压力，支持力比速度为时大
C．外轨与轮缘间产生侧压力，支持力与速度为时相等
D．内轨与轮缘间产生侧压力，支持力与速度为时相等
8．关于下列各图，说法正确的是（　　）
A．图甲中，传动装置转动过程中a，b两点的角速度相等
B．图乙中，无论用多大的力打击，A、B两钢球总是同时落地
C．图丙中，汽车通过拱桥顶端的速度越大，汽车对桥面的压力就越大
D．图丁中，火车以大于规定速度经过外轨高于内轨的弯道，内外轨对火车都有侧压力
二、多选题
9．如图所示为向心力演示仪，质量相同的钢球①、②分别固定在A、B盘的边缘，A、B两盘的半径之比为3:1，a、b分别是与A盘、B盘一起同轴转动的轮，a、b轮半径之比为1:3，a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动，且皮带与轮间不打滑，下列说法正确的是（　　）
A．钢球①、②角速度大小之比ω1:ω2=3:1
B．钢球①、②线速度大小之比v1:v2=3:1
C．钢球①、②加速度大小之比a1:a2=27:1
D．钢球①、②受到的向心力大小之比F1:F2=1:1
10．如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．小球通过最高点时的最小速度
B．小球通过最高点时的最小速度
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
D．小球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
11．高空滑索是勇敢者的运动。如图所示一个人用轻绳通过轻质滑环悬吊在足够长的倾斜钢索上运动（设钢索是直的），下滑过程中到达图中A位置时轻绳与竖直线有夹角，到达图中B位置时轻绳竖直向下。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．在A位置时，人的加速度可能为零
B．在A位置时，钢索对轻绳的作用力小于人的重力
C．在B位置时，钢索对轻环的摩擦力为零
D．若轻环在B位置突然被卡住，则此时轻绳对人的拉力大于人的重力
三、解答题
12．小李同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球恰好能在竖直平面内做完整的圆周运动。再次加速甩动手腕，当球某次运动到最低点A时，绳恰好断掉，如题图所示。已知握绳的手离地面高度为2L，手与球之间的绳长为L，绳能承受的最大拉力为9mg，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。求：
（1）为使小球能在竖直平面内作完整的圆周运动，小球过最高点B时的最小速度；
（2）绳断时球的速度大小；
（3）绳断后，小球落地点与抛出点A的水平距离。
13．如图所示，一个可视为质点的小物块从水平平台上的P点以初速度5m/s向右滑动，小物块与水平平台间的动摩擦因数为0.3，小物块运动到A点时以4m/s的速度水平抛出，当小物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入半径为2.75m的固定圆弧轨道BC，圆弧轨道的圆心角∠BOC＝37°。小物块滑动至C点时，对圆弧轨道C点的压力为25.4N。然后小物块滑到与C端切线平齐的长木板上、已知长木板与地面间的动摩擦因数为0.2，小物块与长木板之间的动摩擦因数为0.6，小物块的质量为1.1kg，长木板的质量为3.9kg，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，。
（1）求水平平台上P点到A点的距离l；
（2）求小物块运动至B点时的速度大小；
（3）长木板至少为多长时才能保证小物块不滑出长木板？
6.4 生活中的圆周运动
一、火车转弯
1.如果铁道弯道的内外轨一样高，火车转弯时，由外轨对轮缘的 提供向心力，由于质量太大，因此需要很大的向心力，靠这种方法得到 ，不仅铁轨和车轮极易受损，还可能使火车侧翻.
2.铁路弯道的特点
(1)弯道处外轨略 于内轨.
(2)火车转弯时铁轨对火车的支持力不是竖直向上的，而是斜向弯道的内侧.支持力与重力的合力指向 .
(3)在修筑铁路时，要根据弯道的 和规定的行驶速度，适当选择内外轨的 ，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和弹力FN的合力来提供.
二、拱形桥
汽车过拱形桥 汽车过凹形桥
受力 分析
向心力 Fn＝mg－FN＝ Fn＝FN－mg＝
对桥的 压力 FN′＝ FN′＝
结论 汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力 汽车对桥的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力
三、航天器中的失重现象
1.向心力分析：宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力提供 ，由牛顿第二定律：mg－FN＝m，所以FN＝ .
2.完全失重状态：当v＝时，座舱对宇航员的支持力FN＝ ，宇航员处于完全 状态.
四、离心运动
1.定义：做圆周运动的物体沿 飞出或做逐渐远离 的运动.
2.原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力.
3.离心运动的应用和防止
(1)应用：离心干燥器；洗衣机的脱水筒；离心制管技术；分离血浆和红细胞的离心机.
(2)防止：转动的砂轮、飞轮的转速不能太高；在公路弯道，车辆不允许超过规定的速度.
【参考答案】弹力 向心力 高 圆心 半径 高度差 m m mg－m mg＋m 越小
越大 向心力 mg－m 0 失重 切线 圆心
考点一：绳球类模型及其临界条件
【例1】如图所示，轻质且不可伸长的细绳一端系一质量为的小球，另一端固定在天花板上的点。则小球在竖直平面内摆动的过程中，以下说法正确的是（　　）
A．小球在摆动过程中受到的外力的合力即为向心力
B．在最高点A、B，因小球的速度为零，所以小球受到的合力为零
C．小球在最低点所受的合力，即为向心力
D．小球在摆动过程中绳子的拉力使其速率发生变化
【答案】C
【详解】A．小球摆动过程中，沿绳子方向的合力提供向心力，不是受到的外力的合力提供向心力，故A错误；B．在最高点A和B，小球的速度为零，向心力为零，但是小球所受的合力不为零，合力的方向沿切线方向，故B错误；C．小球在最低点，受重力和拉力，两个力的合力竖直向上，合力提供向心力，故C正确；D．小球在摆动的过程中，由于绳子的拉力与速度方向垂直，拉力不会致使小球速率的变化，故D错误。故选C。
【变式练习】
1．如图所示，长度均为l＝1m的两根轻绳，一端共同系住质量为m＝0.5 kg的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为l，重力加速度g取10 m/s2。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，每根绳的拉力恰好为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小为（　　）
A． B．
C．15N D．
【答案】A
【详解】小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，由牛顿第二定律得
当小球在最高点的速率为2v时，由牛顿第二定律得
解得
故选A。
2．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点。当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动。关于小球的运动下列说法正确的是（　　）
A．小球过最高点时的最小速度为零
B．小球过最高点时最小速度为2
C．小球开始运动时绳对小球的拉力为
D．小球运动到与圆心等高处时向心力由细绳的拉力提供
【答案】D
【详解】AB．根据
得小球通过最高点的最小速度
故AB错误；C．在最低点，根据牛顿第二定律得
解得绳子对小球的拉力
故C错误；D．在与圆心等高处，重力竖直向下，小球做圆周运动的向心力指向圆心，由绳子拉力提供，故D正确。故选D。
考点二：杆球类模型及其临界条件
【例2】如图所示，一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　）
A．小球在最高点，杆对球的作用力不可能为0
B．小球在A处，杆对球的作用力一定沿杆的方向
C．从A到B过程中，重力做功的瞬时功率不变
D．小球在最低点，杆对球的拉力为
【答案】D
【详解】A．当小球在最高点速度刚好等于时，杆与球间的作用力为0，A错误；
B．小球做匀速圆周运动，在A处杆提供的力在竖直方向与重力平衡，在水平方向要充当向心力，因此杆对球的作用力一定不沿杆的方向，B错误；C．从A到B过程中，重力方向的速度一直在变化，故重力做功的瞬时功率一直在改变，C错误；D．小球在最低点，根据牛顿第二定律得
解得
D正确；故选D。
【变式练习】
1．如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球（直径略小于管内径）一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v。已知重力加速度为g，则下列叙述中正确的是（　　）
A．v的最小值为
B．当时，小球处于完全失重状态，不受力的作用
C．当时，轨道对小球的弹力方向竖直向下
D．当v由逐渐减小的过程中，轨道对小球的弹力也逐渐减小
【答案】C
【详解】A．小球通过最高点时细管可以提供竖直向上的支持力，当支持力的大小等于小球重力的大小，小球的最小速度为零，故A错误；
B．根据公式可知，当时，小球的加速度为
方向竖直向下，则小球处于完全失重状态，只受重力作用，故B错误；
C．当时，小球需要的向心力为
则可知，轨道对小球的弹力大小为，方向竖直向下，故C正确；D．当时，小球需要的向心力
可知，小球受轨道竖直向上的弹力，由牛顿第二定律有
可得
则逐渐减小的过程中，轨道对小球的弹力逐渐增大，故D错误。
故选C。
2．如图所示，小球在竖直放置的内壁光滑的圆形细管内做圆周运动，则（　　）
A．小球通过最高点的最小速度为
B．小球通过最低点时一定受到外管壁向上的压力
C．小球通过最低点时可能受到内管壁向下的压力
D．小球通过最高点时一定受到内管壁向上的支持力
【答案】B
【详解】A．由于细管内能支撑小球，所以小球通过最高点的最小速度为零，不是，故A错误；
BC．小球通过最低点时向心力向上，重力向下，则外管壁对小球的弹力必定向上，故B正确，C错误；D．若小球通过最高点时速度
小球的向心力小于重力，受到向上的支持力；若
不受圆管的作用力；若
小球的向心力大于重力，受到向下的压力，故D错误。故选B。
考点三：拱桥和凹桥模型
【例3】如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道固定在竖直平面内，A、B两点连线为半圆形轨道的竖直直径，一小球以某一速度从最低点A冲上轨道，运动到最高点B时，小球对轨道的压力大小为自身重力的一半。空气阻力不计，小球可视为质点，则小球落地点C到轨道最低点A的距离为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】小球在B点时，由牛顿第二定律
解得
小球从B到C做平抛运动，则有
联立解得
故选B。
【变式练习】
1．城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，从A端以不变的速率驶过该立交桥，小汽车速度大小为，则（　　）
A．小汽车通过桥顶时处于超重状态
B．小汽车通过桥顶时处于平衡状态
C．小汽车在桥上最高点受到桥面的支持力大小为
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于
【答案】C
【详解】ABC．由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得
解得小汽车在桥上最高点受到桥面的支持力大小为
物体处于失重状态，故AB错误，C正确；D．由
解得
故D错误。故选C。
2．如图所示，质量为m的物块从半径为R的半球形碗边向碗底滑动，滑到最低点时的速度为，若物块滑到最低点时受到的摩擦力是，则物块与碗的动摩擦因数为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】物块滑到最低点时受竖直方向的重力、支持力和水平方向的摩擦力三个力作用，根据牛顿第二定律得
又
联立解得
故选B。
考点四：圆锥摆问题
【例4】两个质量相同的小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动则它们的（　　）
A．运动周期相同 B．运动的线速度相同
C．运动的向心力大小相同 D．向心加速度相同
【答案】A
【详解】C．根据题意，对其中一个小球受力分析，受重力，绳子的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故合力提供向心力，设细线与竖直方向的夹角为，如图所示
由几何关系可得，合力为
由于细线与竖直方向的夹角不同，则运动的向心力大小不同，故C错误；
A．根据题意，设小球到悬点的竖直高度为，由几何关系可得，小球做圆周运动的半径为
设小球做圆周运动的角速度为，则有
解得
又有
则有
由于相同，则运动的角速度和周期相同，故A正确；B．根据题意，由公式可知，由于两球转动的半径不同，则运动的线速度不同，故B错误；D．根据题意，由公式可知，由于两球转动的半径不同，则向心加速度不同，故D错误。故选A。
【变式练习】
1．如图所示，一个质量为的小球在水平面内做圆锥摆运动，已知轻绳长度为，绳与竖直方向的夹角为，下述判断不正确的是（　　）
A．小球圆周运动半径
B．小球做圆周运动的向心力
C．绳子的拉力
D．若和不变，绳长增大则绳子的拉力也不变
【答案】B
【详解】A．小球在水平面内做圆周运动，由几何关系可知，轨道半径为
选项A正确；B．小球做圆周运动的向心力
选项B错误；C．绳子拉力
选项C正确；
D．若m和θ不变，则小球做圆周运动的过程中
关系保持不变，则绳子拉力大小也不变，选项D正确。此题选择不正确的选项，故选B。
2．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在水平转台上，转台竖直转轴与过陶罐球心O的对称轴重合。当转台匀速转动时，观察到陶罐内壁上质量为m的小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与的夹角。重力加速度大小为g。下列判断正确的是（ ）
A．转台的角速度一定等于 B．物块的线速度大小可能等于
C．物块所受合力的大小一定等于 D．陶罐壁对物块弹力的大小一定等于2mg
【答案】B
【详解】AB．小物块绕轴上等高位置做匀速圆周运动，一定受重力、支持力，可能受摩擦力，若摩擦力为0，则有
解得
则此时线速度为
当小物块受摩擦力不为0时，则角速度不等于，物块的线速度也不等于，故A错误，B正确；CD．当小物块受摩擦力为0时，物块所受合力的大小为0，则小物块受弹力不等于，合力也不等于2mg，故CD错误。故选B。
考点五：火车和飞机倾斜转弯问题
【例5】公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，为了减少交通事故的发生，以下措施可行的是（　　）
A．增大汽车的重量
B．提高汽车转弯时的速度
C．将转弯半径设计小些
D．将路面修成外侧路基比内侧路基高些
【答案】D
【详解】ABC．汽车转弯时需要向心力，根据公式
可知，增大汽车的重量、提高汽车转弯时的速度、或者将转弯半径设计小些，都将导致汽车需要更大的向心力，当路面提供的摩擦力不足以提供向心力时，将导致汽车冲向公路外侧的严重事故，故ABC提供的措施不可行；D．将路面修成外侧路基比内侧路基高些，将使路面的支持力偏向公路内侧；在合适的弯道半径和行驶速度下，汽车所受的重力和支持力将指向公路内侧，恰好提供汽车所需要的向心力，使汽车安全驶过弯道，故D提供的措施可行。故选D。
【变式练习】
1．一段铁路转弯处，内、外轨高度差为h，弯道半径为r，两轨间宽度为L，重力加速度的大小为g，该弯道的设计速度最为适宜的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当火车以设计速度v运行时，其受力如图所示
此时火车轮与内外轨道无挤压，恰好由支持力与重力的合力作为向心力，根据牛顿第二定律可得
斜面的倾角正切值满足
联立解得
故选C。
2．下列说法符合实际的是（　　）
A．汽车在水平路面转弯时，重力与支持力平衡
B．飞机转弯时升力与飞机重力平衡
C．火车转弯时超过规定的速度，内轨一定给轮缘作用力
D．链球运动员拉着链球在加速转动过程中，铁链的拉力一定指向链球运动的圆心
【答案】A
【详解】A．汽车在水平路面转弯时，重力与支持力平衡，静摩擦力提供向心力，选项A正确；B．飞机转弯时升力与飞机重力的合力提供向心力，不是一对平衡力，选项B错误；C．火车转弯时超过规定的速度，则火车的重力和轨道支持力和合力不足以提供向心力，则火车有做离心运动的趋势，则外轨一定给轮缘作用力，选项C错误；D．链球运动员拉着链球在加速转动过程中，铁链的拉力一定不指向链球运动的圆心，其中沿切线方向的分力使链球加速，选项D错误。故选A。
一、火车转弯问题
1.弯道的特点
铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝m，如图所示，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角.
2.速度与轨道压力的关系
(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时内外轨道对火车无挤压作用.
(2)当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力.
(3)当火车行驶速度v二、汽车过桥问题与航天器中的失重现象
1.拱形桥问题
(1)汽车过拱形桥
汽车在最高点满足关系：mg－FN＝m，即FN＝mg－m.
①当v＝时，FN＝0.
②当0≤v<时，0③当v>时，汽车将脱离桥面做平抛运动，易发生危险.
说明：汽车通过拱形桥的最高点时，向心加速度向下，汽车对桥的压力小于其自身的重力，而且车速越大，压力越小，此时汽车处于失重状态.
(2)汽车过凹形桥
汽车在最低点满足关系：FN－mg＝，即FN＝mg＋.
说明：汽车通过凹形桥的最低点时，向心加速度向上，而且车速越大，压力越大，此时汽车处于超重状态.由于汽车对桥面的压力大于其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱形桥多于凹形桥.
2.绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站处于完全失重状态.
(1)质量为M的航天器在近地轨道运行时，航天器的重力提供向心力，满足关系：Mg＝M，则v＝.
(2)质量为m的航天员：设航天员受到的座舱的支持力为FN，则mg－FN＝.
当v＝ 时，FN＝0，即航天员处于完全失重状态.
(3)航天器内的任何物体都处于完全失重状态.
三、离心运动
1.物体做离心运动的原因
提供向心力的合力突然消失，或者合力不能提供足够的向心力.
注意：物体做离心运动并不是物体受到“离心力”作用，而是由于合外力不能提供足够的向心力.所谓“离心力”实际上并不存在.
2.合力与向心力的关系.
(1)若F合＝mrω2或F合＝，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”.
(2)若F合>mrω2或F合>，物体做近心运动，即“提供过度”.
(3)若0(4)若F合＝0，则物体沿切线方向做直线运动.
一、单选题
1．汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧，两车沿半径方向受到的摩擦力分别为和以下说法正确的是（　　）
A．f甲小于f乙 B．f甲等于f乙
C．f甲大于f乙 D．f甲和f乙大小均与汽车速度无关
【答案】A
【详解】由于摩擦力提供汽车做匀速圆周运动的向心力，则有
可知在速率一定的情况下，半径越大，向心力越小，即
故选A。
2．如图，紫贴圆筒内壁的小物块与圆筒一起绕竖直中心轴旋转。提供小物块在水平面内做匀速圆周运动向心力的是（　　）
A．重力 B．弹力
C．摩擦力 D．弹力与摩擦力的合力
【答案】B
【详解】竖直方向重力与摩擦力平衡，提供小物块在水平面内做匀速圆周运动向心力的是弹力。
故选B。
3．如图所示，一个杯子放在水平餐桌转盘上随转盘做匀速圆周运动，角速度恒定，则（　　）
A．杯子受重力、支持力、摩擦力和向心力作用
B．杯子受到的摩擦力方向始终指向转盘中心
C．杯子离转盘中心越近越容易做离心运动
D．若给杯子中加水，杯子更容易做离心运动
【答案】B
【详解】A．小物块受到重力、支持力和摩擦力三个力，向心力不是物体的实际受力，故A错误。B．圆盘做匀速圆周运动，向心力由摩擦力提供，始终指向转盘中心，故B正确；C．圆盘做匀速圆周运动
f=mω2r
离转盘中心越近，摩擦力越小，不会达到最大静摩擦力，越不容易做离心运动，故C错误；D．根据
所以给杯子中加水，杯子不会做离心运动，故D错误。故选B。
4．下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是（　　）
A．在双人花样滑冰运动中，被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动，这是由于女运动员受到的拉力和重力平衡
B．洗衣机脱水桶的脱水原理是：水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线方向甩出
C．杂技演员表演“水流星”，当“水流星”恰好能通过最高点，处于完全失重状态时，只受重力的作用
D．在铁路的转弯处，通常要求内轨比外轨高，目的是减轻轮缘与内轨的挤压
【答案】C
【详解】A．在双人花样滑冰运动中，被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动，女运动员受到的拉力和重力的合力提供向心力，故A错误；B．洗衣机脱水桶的脱水原理是：水滴受到的实际力不足以提供所需的向心力，所以水滴做离心运动，从而沿切线方向甩出，故B错误；C．杂技演员表演“水流星”，当“水流星”恰好通过最高点时，处于完全失重状态，只受重力的作用，故C正确；D．在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，由重力和支持力的合力提供向心力，从而减轻轮缘对外轨的挤压，故D错误。故选C。
5．如图，一质量为M的光滑大圆环，半径为R，用一细轻杆固定在竖直平面内，套在大圆环上的质量为m的小环（可视为质点），从大圆环的最高处由无初速度滑下，重力加速度为g，当小圆环滑到大圆环的最低点时，速度为v，大圆环对轻杆拉力的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当小圆环滑到大圆环的最低点时，对小圆环，根据牛顿第二定律
解得大圆环对小圆环向上的支持力
根据牛顿第三定律小圆环对大圆环向下的拉力
对大圆环，根据平衡条件
解得轻杆对大圆环的拉力
根据牛顿第三定律大圆环对轻杆拉力的大小为
故选C。
6．如图所示，质量为m的小球（可视为质点）用长为l的轻质细线悬于B点，使小球在水平面内做匀速圆周运动，轨迹圆圆心为O，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．细线与竖直方向夹角为时，小球运动的角速度大小为
B．保持轨迹圆的圆心O到悬点B的距离不变时，细线越长，小球运动的周期越长
C．保持轨迹圆的圆心O到悬点B的距离不变时，细线越长，小球运动的周期越短
D．保持细线与竖直方向夹角不变时，细线越长，小球运动的角速度越小
【答案】D
【详解】AD．细线与竖直方向夹角为时，有
解得
保持细线与竖直方向夹角不变时，细线越长，小球运动的角速度越小，故A错误，D正确；BC．保持轨迹圆的圆心到悬点B的距离不变，改变绳长，根据牛顿第二定律得
解得
可知角速度与无关，故BC错误。故选D。
7．铁路弯道处，外轨比内轨高。当火车以规定速度通过弯道时，所需的向心力完全由火车重力和轨道支持力的合力提供。若列车通过弯道的速度大于，则下列关于轨道与轮缘间侧压力和轨道支持力的说法正确的是（　　）
A．外轨与轮缘间产生侧压力，支持力比速度为时小
B．外轨与轮缘间产生侧压力，支持力比速度为时大
C．外轨与轮缘间产生侧压力，支持力与速度为时相等
D．内轨与轮缘间产生侧压力，支持力与速度为时相等
【答案】B
【详解】当火车以规定速度通过弯道时，所需的向心力完全由火车重力和轨道支持力的合力提供。受力如图所示
竖直方向有
若列车通过弯道的速度大于，火车将做离心运动，外轨与轮缘间产生侧压力，方向与支持力方向垂直，如图所示
竖直方向有
可知列车通过弯道的速度大于时，支持力比速度为时大，故B正确，ACD错误。
故选B。
8．关于下列各图，说法正确的是（　　）
A．图甲中，传动装置转动过程中a，b两点的角速度相等
B．图乙中，无论用多大的力打击，A、B两钢球总是同时落地
C．图丙中，汽车通过拱桥顶端的速度越大，汽车对桥面的压力就越大
D．图丁中，火车以大于规定速度经过外轨高于内轨的弯道，内外轨对火车都有侧压力
【答案】B
【详解】A．图甲中，传动装置转动过程中a，b两点在两齿轮的边缘，线速度大小相等，角速度不相等，A错误；B．图乙中，由平抛运动的规律可知，无论用多大的力打击，A、B两钢球总是同时落地，B正确；C．图丙中，由牛顿第二定律可得
汽车通过拱桥顶端的速度越大，桥面对汽车的支持力就越小，由牛顿第三定律可知，汽车对桥面的压力就越小，C错误；D．图丁中，当火车以规定速度经过外轨高于内轨的弯道时，火车的重力与斜轨道的支持力的合力恰好等于向心力，内外轨对火车均无侧压力，若火车以大于规定速度经过外轨高于内轨的弯道时，火车有做离心运动的趋势，则有外轨对火车有侧压力，D错误。故选B。
二、多选题
9．如图所示为向心力演示仪，质量相同的钢球①、②分别固定在A、B盘的边缘，A、B两盘的半径之比为3:1，a、b分别是与A盘、B盘一起同轴转动的轮，a、b轮半径之比为1:3，a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动，且皮带与轮间不打滑，下列说法正确的是（　　）
A．钢球①、②角速度大小之比ω1:ω2=3:1
B．钢球①、②线速度大小之比v1:v2=3:1
C．钢球①、②加速度大小之比a1:a2=27:1
D．钢球①、②受到的向心力大小之比F1:F2=1:1
【答案】AC
【详解】A．皮带传送边缘上的点线速度大小相等，所以
根据线速度与角速度的关系
可得
根据同轴转动角速度相等，钢球①、②角速度大小之比
故A正确；B．根据线速度与角速度的关系
可得，钢球①、②线速度大小之比
故B错误；C．钢球①、②加速度大小之比
故C正确；D．钢球①、②受到的向心力大小之比
故D错误。故选AC。
10．如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．小球通过最高点时的最小速度
B．小球通过最高点时的最小速度
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
D．小球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】BD
【详解】AB．小球在最高点时，由于管道内侧能提供支持力，其通过的速度可以为零，A错误，B正确；
CD．小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力与小球的重力在背离圆心方向的分力的合力提供向心力，即
因此，外侧管壁对球一定有作用力，此时内侧管壁对球一定无作用力，C错误，D正确。故选BD。
11．高空滑索是勇敢者的运动。如图所示一个人用轻绳通过轻质滑环悬吊在足够长的倾斜钢索上运动（设钢索是直的），下滑过程中到达图中A位置时轻绳与竖直线有夹角，到达图中B位置时轻绳竖直向下。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．在A位置时，人的加速度可能为零
B．在A位置时，钢索对轻绳的作用力小于人的重力
C．在B位置时，钢索对轻环的摩擦力为零
D．若轻环在B位置突然被卡住，则此时轻绳对人的拉力大于人的重力
【答案】BD
【详解】A．在A位置时，人受到重力竖直向下，轻绳的拉力沿绳子向上，如图所示
可知合力不为零，则人的加速度不可能为零，故A错误；B．由矢量三角形可知此时人所受的拉力小于重力，由牛顿第三定律可知，钢索对轻绳的作用力等于人所受的拉力，所以钢索对轻绳的作用力小于人的重力，故B正确；C．在B位置时，人受到重力竖直向下，细绳的拉力竖直向上，受力如图，合力为零，则人匀速下滑，以轻环为研究对象，受到轻绳竖直向下的拉力，垂直钢索向上的力，受力如图，此时钢索对轻环的摩擦力等于轻绳对轻环拉力沿钢索方向的分力，钢索对轻环的摩擦力不为零，故C错误；D．若轻环在B位置突然被卡住，则此时人将以B为圆心做圆周运动，根据
可知，轻绳对人的拉力大于人的重力，故D正确。故选D。
三、解答题
12．小李同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球恰好能在竖直平面内做完整的圆周运动。再次加速甩动手腕，当球某次运动到最低点A时，绳恰好断掉，如题图所示。已知握绳的手离地面高度为2L，手与球之间的绳长为L，绳能承受的最大拉力为9mg，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。求：
（1）为使小球能在竖直平面内作完整的圆周运动，小球过最高点B时的最小速度；
（2）绳断时球的速度大小；
（3）绳断后，小球落地点与抛出点A的水平距离。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）为使小球能在竖直平面内作完整的圆周运动，小球过最高点B时，当
得
小球过最高点B时的最小速度。
（2）绳断时
绳断时球的速度大小
（3）绳断后，小球做平抛运动，竖直方向
得
小球落地点与抛出点A的水平距离
13．如图所示，一个可视为质点的小物块从水平平台上的P点以初速度5m/s向右滑动，小物块与水平平台间的动摩擦因数为0.3，小物块运动到A点时以4m/s的速度水平抛出，当小物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入半径为2.75m的固定圆弧轨道BC，圆弧轨道的圆心角∠BOC＝37°。小物块滑动至C点时，对圆弧轨道C点的压力为25.4N。然后小物块滑到与C端切线平齐的长木板上、已知长木板与地面间的动摩擦因数为0.2，小物块与长木板之间的动摩擦因数为0.6，小物块的质量为1.1kg，长木板的质量为3.9kg，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，。
（1）求水平平台上P点到A点的距离l；
（2）求小物块运动至B点时的速度大小；
（3）长木板至少为多长时才能保证小物块不滑出长木板？
【答案】（1）l＝1.5m；（2）；（3）3m
【详解】（1）小物块从P点运动到A点是做匀减速运动，加速度大小
根据公式
解得
l＝1.5m
（2）进入圆弧轨道时，小物块的速度方向与水平面的夹角为37°，有
则小物块运动到B点时的速度
（3）小物块运动到C点时，有
解得
长木板与地面间的最大静摩擦力
由题意可知小物块与长木板间的摩擦力
因为，所以小物块在长木板上滑动时，长木板保持静止不动。设小物块在长木板上做匀减速运动，运动至长木板最右端时速度刚好为0，则长木板长度
所以长木板至少为3m时才能保证小物块不滑出长木板