6.1.1向量的实际背景与概念课时练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

2022-2023学年度高一数学人教A版（2019）课时练习
6.1.1向量的实际背景与概念
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等
C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动
2．下列命题中正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则与可能共线 D．若，则一定不与共线
3．在等式①; ②；③；④；⑤若，则；正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．下列命题中，正确的个数是（ ）
①单位向量都相等；
②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若，满足且与同向，则；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若∥∥，则∥．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
5．下列四个命题正确的是（ ）
A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
6．给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
7．下列说法中错误的是
A．向量与是共线向量,则A，B，C，D四点必在一条直线上
B．零向量与零向量共线
C．若，则
D．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量
8．下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
三、填空题
9．向量=____.
10．如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．
（1）单位向量共有______个；
（2）模为的向量有______；
（3）与相等的向量有______；
11．已知是两个非零向量，且，，则的最大值为_____．
12．若，，则______.
四、解答题
13．图是中国象棋的半个棋盘示意图，“马走日”是象棋中“马”的走法，“马”可从A跳到，也可从A跳到，用向量，表示“马”走了“一步”，试在图中画出“马”分别在B，C处走了“一步”的所有情况.
14．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且.
（1）画出所有的向量；
（2）求的最大值与最小值．
15．一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角度，继续按直线方向前进1m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角度，然后继续按直线方向前进1m，…，按此方法继续操作下去.
（1）作图说明当时，最少操作几次可使赛车的位移为0？
（2）按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的操作.
16．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
参考答案
1．B
【分析】A.由相反向量判断；B.由单位向量判断；C.由向量的长度是数量判断；D.由相等向量判断.
【详解】A.和长度相等，方向相反，故正确；
B.单位向量长度都为1，但方向不确定，故错误；
C.向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故正确；
D.向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故正确.
故选：B.
2．C
【解析】利用共线向量、模的计算公式，即可得出.
【详解】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同 大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A错误；
两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；
无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C正确，D错误.
故选：C
3．C
【解析】由零向量、向量数乘、点乘等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案.
【详解】零向量与任何向量的数量积都为0，错误；
0乘以任何向量都为零向量，正确；
向量的加减、数乘满足结合律，而向量点乘不满足结合律，错误；
向量模的平方等于向量的平方，正确；
不一定有，故错误；
故选：C
4．A
【解析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.
【详解】解：对于①，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，故①错误；
对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；
对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；
对于④，向量是可以自由平移的矢量，
当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；
对于⑤，时，若，则与不一定平行．
综上，以上正确的命题个数是0．
故选：A．
5．B
【解析】由相等向量、共线向量的概念逐一核对四个选项得答案．
【详解】解：两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；
若与不共线，则与都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线；
共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；
两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移．
故选：B．
6．C
【分析】根据零向量及单位向量的概念即可求解.
【详解】解：对①：零向量的方向是任意的，故①错误；
对②：零向量的长度为0，故②正确；
对③：零向量的方向是任意的，故③正确；
对④：单位向量的模都等于1，故④正确.
故选：C.
7．AD
【解析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故A错误；
零向量与任一向量共线，故B正确；
若，则，故C正确；
温度是数量，只有正负，没有方向，故D错误.
故选：AD
8．AD
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】对于A，由相反向量的概念可知A正确；
对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；
对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；
对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，
可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；
若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，
此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.
故选：AD.
9．-
【分析】根据相等向量和相反向量的概念即可写出答案.
【详解】和是相反向量，故填-
故答案为：-
10． 、、、、、、、; 、、
【分析】根据单位向量、模、相等向量的概念结合图形进行分析求解.
【详解】（1）、由题意可知，，所以单位向量有、、、、、、、共个；
（2）、由图可知，在长方体中，，，所以左右两个侧面的对角线长度均为，即，所以模为的向量有：、、、、、、、;
（3）、由图可知，与相等的向量除它本身外有、、共个.
故答案为： ；、、、、、、、；、、
11．
【分析】构造，从而可知，于是的最大值可以利用基本不等式得到答案.
【详解】由题意，令，所以，，所以，所以，所以，当且仅当，且时取等号.故答案为.
12．或
【分析】根据和，确定模长和方向得到答案.
【详解】，故模相同，方向相同或相反
故或
故答案为：或
13．见解析
【解析】根据“马”走“日”得到答案.
【详解】解：如图所示.
（1）在B处“马”有3种走法，而在C处“马”有8种走法.
（2）用有向线段表示向量，一定要注意其方向，并用箭头在图中标出.
14．(1)见解析；(2)最大值为，最小值为.
【详解】试题分析：
（1）由||=及点C为小正方形的顶点和点A的位置可确定点C的位置，然后可画出．（2）根据（1）中的点C，逐一求得||后，可求得||的最大值为，最小值为．
试题解析：
(1)画出所有的向量，如图所示：
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值=；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值=；
所以||的最大值为，最小值为．
15．（1）8次（2）答案不唯一，具体见解析
【解析】（1）位移为0表明赛车最后回到了出发点，作图时要弄清题意；
（2）讨论不同的的值求解即可.
【详解】
解：记出发点A.
（1）当时，如图①，赛车行进路线构成一个正八边形，最少操作8次可使赛车的位移为0，赛车所行路程是8m.
（2）当时，如图②，赛车行进路线构成一个正三角形，最少操作3次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为3m；
当时，如图③，赛车行进路程构成一个正方形，最少操作4次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为4m；
当时，如图④，赛车行进路线构成一个正六边形，最少操作6次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为6m.
16．（1）见解析；（2）米
【解析】（1）利用方位根据向量的定义作出向量.
（2）根据（1）作出的平面图形，利用平面几何知识求解.
【详解】（1）作出向量，，；如图所示：
（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，
所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，
所以AD＝＝(米)，
所以|米.